Seminar: Randomisierte Algorithmen Routenplanung in Netzwerken

Transkript

1 Semiar: Radomisierte Algorithme Routeplaug i Netzwerke Marie Gotthardt 3. Oktober 008 Ihaltsverzeichis 1 Routeplaug i Netzwerke 1.1 Laufzeit eies determiistische Algorithmus' Radomisierter Algorithmus zur Beschleuigug der Zustellug vo Pakete i Netzwerke Laufzeitaalyse des radomisierte Algorithmus' Die Berstei-Chero-Schrake 6 1

2 1 Routeplaug i Netzwerke Bei der Routeplaug i Netzwerke ist das Ziel, Nachrichte eier bestimmte Läge, sogeate Datepakete, vo eiem Prozessor möglichst eziet zu eiem adere zu beförder. Wir modelliere das Problem, idem wir eie Boolesche Würfel V {0, 1} mit E {v, w : v j w j 1} betrachte, desse Kote die Prozessore darstelle. Der Boolesche Würfel hat V Kote ud E gerichtete Kate. Etlag der Kate ka i eiem Zeitschritt jeweils geau ei Paket befördert werde, jeder Kote ka beliebig viele Pakete aufehme. Um das Problem für usere Aalyse zu vereifache, ehme wir a, dass sich im Zeitpukt 0 i jedem Kote geau ei Paket bedet. Diese Pakete solle da i miimaler Zeit zu eier Permutatio πv trasportiert werde. Um dieses Problem zu löse, wird ei Algorithmus beötigt, der sowohl die Route der eizele Pakete festlegt, als auch bestimmt, wie vorgegage wird, we sich mehrere Pakete i eiem Kote gestaut habe. Wir wolle hier ur sogeate Scheuklappe- Algorithme, also solche, bei dee die Zustellugsroute eies Paketes uabhägig vo de Route adere Pakete ist, betrachte. 1.1 Laufzeit eies determiistische Algorithmus' Ei sehr eifaches Beispiel für eie determiistische Algorithmus ist das Sukzessive Ausrichte der Bits. Hierbei wird i jedem Zeitschritt, das erste Bit i der Adresse des Paketes, das icht mit der Zieladresse übereistimmt, umgekehrt. We also ei Paket vom Kote 0011 zum Kote 1000 zugestellt werde soll, passiert es die Adresse 1011 ud 1001 bevor es im letzte Schritt bei 1000 akommt. Auällig ist, dass die Laufzeit dieses Algorithmus` sehr stark vo der Permutatio π abhägt. Will ma beispielweise jedes Paket i V {v : v j 0, < j } eiem Kote i W {w : w j 0, 1 < j } zustelle, so passiert jedes dieser Pakete de Kote 0,..., 0. Da V Pakete a diesem Kote vorbei müsse ud i jedem Zeitschritt ur maximal Pakete de Kote verlasse köe, braucht dieser Prozess midestes Zeitschritte. We ma es mit eiem ugüstige π zu tu hat, steigt die Laufzeit dieses Algorithmus also expoetiell. Dieses problematische Verhalte zeigt allerdigs icht ur der ebe vorgestellte Algorithmus. I eier Veröetlichug vo Kaklamais, C., Krizac, D. ud Tsatilas, T. aus dem Jahr 1991 wird folgeder Satz bewiese: Satz. Zu jedem determiistische Scheuklappe Algorithmus existiert eie Permutatio π, bei der der Algorithmus Ω Schritte bis zur Zustellug des letzte Pakets beötigt. 1. Radomisierter Algorithmus zur Beschleuigug der Zustellug vo Pakete i Netzwerke Um die Worst-Case-Laufzeit zu verbesser, stelle Valiat, L. G. ud Breber, G. J. im Jahr 1981 eie Algorithmus vor, der de obe beschriebee Algorithmus radomisiert.

3 Dazu seie die σi, 1 i rei zufällig, uabhägig gewählte Kote aus V. Im 1. Schritt werde u die Pakete wie im obige Algorithmus durch sukzessives Ausrichte der Bits ach σi befördert. Im. Schritt werde die Pakete ach der gleiche Methode zu ihrem eigetliche Ziel, πv, gebracht. Evetuell etstehede Warteschlage werde i der Reihefolge, i der die Pakete agekomme sid, abgefertigt First I First Out. Satz. Sei X der Zeitpukt der Zustellug des letzte der Pakete durch de radomisierte Algorithmus. Für jede Permutatio π π auf {0, 1} ud jedes c > gilt P{X c} Θ c, 1, wobei Θ c c 3 e < 1. c c Laufzeitaalyse des radomisierte Algorithmus' Um die Laufzeit des Algorithmus zu erhalte geügt es, die erste Phase des Algorithmus' zu aalysiere. Aus Symmetriegrüde folgt daraus die Gesamtlaufzeit. Die Beförderugsdauer eies eizele Pakets T i setzt sich aus der Läge der Route R i ud der Dauer des Verzugs V i, also der Azahl der Zeitschritte, die das Paket i eier Warteschleife verbrigt, zusamme. Oesichtlich etspricht max 1 i T i der Laufzeit der erste Phase. Um die Dauer des Verzugs V i ach obe abzuschätze hilft die Beobachtug, dass das gemeisame Wegstück zweier Route R i ud R j immer zusammehäged ist. Der Verzug V i ist also durch die Azahl der Route, mit dee die Route R i ei gemeisames Wegstück hat ach obe beschräkt. Deiere A i : {j i : R i ud R j habe eie gemeisame Wegstrecke} ud H ij : 1 {j Ai }, da gilt V i A i Dies lässt sich achvollziehe, we ma jedem Zuwachs im Verzug des Pakets i ijektiv ei Paket aus der Mege A i zuordet. Aders ausgedrückt bedeutet das, dass ma für jede Zeitschritt, de ei Paket i warte muss, ei Paket aus der Mege A i veratwortlich mache ka. Für jede feste Route der Läge l sid die H ij, für 1 j, uabhägig. Also gilt für alle x 1,..., x P{H ij x j, 1 j R i e 1,..., e l } H ij. P{H ij x j R i e 1,..., e l } 3

4 Um letztedlich die Berstei-Chero-Schrake awede zu köe, muss der bedigte Erwartugswert E H ij R i e 1,..., e l ach obe abgeschätzt werde. Sei Y e die Azahl der Route, die die Kate e beutze, also Y e : 1 {e Rj }. Es gilt H ii 0 ach Deitio ud die Idikatorvariable 1 {j Ai } ist durch die Läge des gemeisame Weges vo R i ud R j beschräkt. Daraus folgt H ij 1 e Rj Y e 1. j i e R i e R i Der bedigte Erwartugswert der gemeisame Teilstücke zweier Route der Läge l lässt sich da folgedermaÿe abschätze: E Desweitere gilt H ij R i e 1,..., e l E Y e 1 R i e 1,..., e l e Ri E Y e k 1 e k R i k1 E 1 {ek R j } e k R i j i k1 E 1 {ek R j } j i k1 EY e k k1 also EY e E e E Y e E E V E R 1 E 1 H ij R i e 1,..., e l l. 4

5 Dadurch, dass die Chero-Schrake ur vom Erwartugswert abhäge, lasse sie sich awede, obwohl wir ur eie obere Greze für de Erwartugswert habe. D.h. we gilt µ ν, so ka ma µ auf beide Seite durch ν ersetze. Ma wählt dazu p i p i, 1 i mit p i ν ud kostruiert uabhägige Beroulli- Zufallsvariable X i mit P{X i 1 X i 1} 1 ud P{X i 1 X i 0} p i p i 1 p i. Für S : X i gilt da P{S S } 1 ud die Behauptug folgt mittels der Berstei-Chero Schrake für S. Die obere Schrake für de Erwartugswert lässt sich also für die Abschätzug verwede. Eisetze i die zweite Chero-Schrake ergibt { P V i 1 + δ } R i e 1,..., e l P Mit dem Satz der totale Wahrscheilichkeit folgt u { P V i 1 + δ } Durch die Wahl vo δ : c 3 ergibt sich { c } P V i 1 H ij 1 + δ R i e 1,..., e l e δ 1 + δ 1+δ. e δ 1 + δ 1+δ e c 3 c c 1. Θc Jede der Route hat höchstes die Läge, d.h. max 1 i V i + max 1 i T i, also folgt { P max T 1 i i c } { c } P max V 1 i i 1 { c } P V 1 1 Θ c. Aus Symmetriegrüde lasse sich alle durchgeführte Berechuge auch auf die. Phase des Algorithmus' übertrage. Die Wahrscheilichkeit, dass der Algorithmus' ach c Schritte och icht beedet ist, ist also höchstes Θ c.. 5

6 Die Berstei-Chero-Schrake Seie X i, i 1 uabhägige Beroulli verteilte Zufallsvariable zum Parameter p i : P{X i 1}. Sei S : X i ud µ : ES p i, 1. Da gilt e δ µ P{S 1 + δ µ } für alle 1 + δ 1+δ δ 0, 1 1 P{S 1 δ µ } exp δ µ für alle 0 δ < 1, 1 Beweis vo 1 Aufgrud der Mootoie der Expoetialfuktio gilt für beliebiges λ > 0 P{S 1 + δ µ } P {exp λs exp λ 1 + δ µ } exp λ 1 + δ µ E exp λs. Die letzte Abschätzug folgt durch Awedug der Markov-Ugleichug. Aus der Uabhägigkeit der X i ergibt sich def E exp λs E exp λx i Weil 1 + x e x für alle x 0 gilt folgt E exp λx i 1 + p i e λ 1 E exp λx i p i e λ + 1 p i 1 + p i e λ 1. exp exp exp p i e λ 1 p i e λ 1 µ e λ 1 6

7 Durch Kombiatio der Ergebisse ergibt sich P{S 1 + δ µ } exp λ 1 + δ µ E exp λs exp µ e λ 1 λ 1 + δ. Da λ frei wählbar ist leitet ma de Ausdruck e λ 1 λ 1 + δ ach λ ab ud erhält de Wert log 1 + δ, der die Rechte Seite der Ugleichug miimiert ud damit zur bestmögliche Schrake führt. Durch Eisetze folgt die Behauptug. 7