Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017

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Minna Dieter
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1 4 Elemete der Mathemati - Witer 201/2017 Prof. Dr. Peter Koepe, Regula Krapf Übugsblatt 8 Aufgabe 33 ( Pute). Beweise Sie folgede Idetitäte durch vollstädige Idutio: (a) 0 2 (1)(21), N. (b) 2 (1 1 ) 1 2 2, 2. Lösug. (a) Idutiosafag: Für 0 gilt (01)(2 01). Idutiosaahme: Wir ehme a, dass 0 2 (1)(21) für ei beliebiges fest gewähltes N gilt. Idutiosschluss: Es gilt ( 1) 2 0 ( 1)(2 1) ( 1) 2 ( 1)((2 1) ( 1)) ( 1)(22 7 ) ( 1)( 2)(2 3) ( 1)( 2)(2( 1) 1). Damit habe wir gezeigt, dass 0 2 (1)(21) für edes N gilt. (b) Idutiosafag: Für 2 gilt Idutiosaahme: Wir ehme a, dass die Gleichheit 1 ) für ei beliebiges, aber fest gewähltes 2 gilt. 2 (1

2 Idutiosschluss: Es gilt ( 1) ( 1)2 1 ( 1) ( 1) ( 2) 2( 1) 2 2( 1). Damit habe wir gezeigt, dass 2 (1 1 ) für ede atürliche Zahl 2 gilt. Aufgabe 34 (2 Pute). Eiem Boer Mathematistudete ist es edlich geluge, die erste These der Julirevolutio ( Alle Mesche sid gleich ) wisseschaftlich zu beweise. Ist ämlich M eie Mege mit edlich viele Elemete, so gilt a b für a, b M. Beweis durch Idutio: Idutiosafag: Hat M geau ei Elemet, M {a}, so ist die Aussage richtig. Idutiosaahme (IA): Die Aussage sei richtig für alle Mege mit geau Elemete. Idutiosschluss: Es sei M eie Mege mit geau 1 Elemete. Für b M sei N : M \ {b}. Die Elemete vo N sid ach (IA) eiader gleich. Es bleibt zu zeige: b c, we c M. Dazu etfert ma ei aderes Elemet d aus M ud weiss da: b M \ {d}. Die Elemete dieser Mege sid ach (IA) wiederum eiader gleich. Wege der Trasitivität der Gleichheitsbeziehug folgt da die Behauptug. (Trasitivität: a b ud b c impliziere a c) Was ist falsch a diesem Schluss? Lösug. Das Problem liegt im Idutiosschluss für 2-elemetige Mege. Ist ämlich M {b, d}, so habe wir (M \ {b}) (M \ {d}). Da aber lässt sich die Trasitivität der Gleichheit icht mehr awede. Aufgabe 35 (3 Pute). Beweise Sie, dass die Ebee R 2, die durch edlich viele Gerade geteilt wird, mit zwei Farbe so eigefärbt werde a, dass e 5

3 zwei beachbarte Teile (d.h. mit eier gemeisame Kate) ie vo der gleiche Farbe sid. Lösug. Idutiosafag: Sei 0. Da a ma die Ebee mit eier eizige Farbe färbe. (Alterativ a ma mit 1 afage, da teilt die Gerade die Ebee i zwei Teile; davo färbt ma eie mit der eie Farbe ud de adere mit der adere Farbe.) Idutiosaahme: Wir ehme a, dass eie durch Gerade geteilte Ebee mit zwei Farbe eigefärbt werde a. Idutiosschluss: Wir wolle zeige, dass die Aussage auch fr 1 richtig ist. We wir 1 Gerade habe, wähle wir eie beliebige Gerade g aus. Die Fläche, die durch die übrige Gerade etstehe, öe wir gemäss der Idutiosaahme mit zwei Farbe färbe. Die Gerade g teilt die Ebee i zwei Hälfte H 1 ud H 2. Auf der Seite H 1 lasse wir die Färbug. Auf der Seite H 2 färbe wir alle Fläche um. Dadurch etsteht eie Färbug der durch 1 Gerade geteilte Ebee mit zwei Farbe. Aufgabe 3 (3 Pute). Bestimme Sie die Summe der Iewiel eies -Ecs, ud beweise Sie Ihre Formel mit Hilfe des Prizips der vollstädige Idutio. Lösug. Wir behaupte, dass die Iewielsumme i eiem -Ec (für 3) ( 2) π ( 2) 180 beträgt. Idutiosafag: Falls 3, so ist die Iewielsumme eies Dreiecs π (3 2)π. Idutiosaahme: Wir ehme a, dass die Iewielsumme eies beliebige -Ecs ( 3) ( 2)π beträgt. Idutiosschluss: Sei u ei ( 1)-Ec gegebe. Wir betrachte zu chst das -Ec, welches etsteht, we aus ( 1)-Ec eie Ece überspruge wird, d.h. wir verbide zwei Ece, zwische dee geau eie Ece liegt.

4 Dadurch wird das ( 1)-Ec i ei -Ec ud ei Dreiec geteilt, ud die Wieliesumme des ( 1)-Ecs ist gleich der Wieliesumme des -Ecs plus der Wieliesumme des Dreiecs, also (uter Verwedug der Idutiosaahme) ( 2)π π ( 1)π (( 1) 2)π. Aufgabe 37 ( Pute). Wir defiiere 0! : 1 ud für 1! : Weiter defiiere wir die Biomialoeffiziete durch :!!( )! ( 1) ( 1),.! (a) Erläre Sie iformell, wieso die Azahl der -elemetige Teilmege vo {1,..., } ist. (b) Begrüde Sie die Formel 0 2 mit Hilfe vo (a). (c) Beweise Sie die Formel i (b) mit Hilfe vo vollstädiger Idutio. Hiweis: Beweise Sie zuerst die Gleichheit 1 1. Lösug. (a) Es gibt ( 1) ( 1) Möglicheite ei geordetes -Tupel aus {1,..., } auszuwähle. Da für us aber die Reihefolge eie Rolle spielt, dividiere wir durch die Azahl aller Permutatioe (Vertauschuge) der Elemete des -Tupels. Diese ist!, de für die ma hat Möglicheite für das 1. Elemet, 1 Möglicheite für das 2. Elemet,... ud 1 Möglicheit für das -te Elemet, also isgesamt ( 1),..., 1!. (b) 0 ist die Azahl aller 0-elemetige Teilmege vo {1,..., } die Azahl aller 1-elemetige Teilmege... die Azahl aller -elemetige Teilmege vo {1,... }. Isgesamt ist 0 also die Azahl aller Teilmege vo {1,..., }, also P({1,..., }) 2 (siehe Aufgabe 29 (c)). (c) Wir beweise die Aussage mittels Idutio über. Idutiosafag: Sei 0. Da ist Also stimmt die Aussage fr 0. Idutiosaahme: Wir ehme a, die Aussage sei richtig fr ei beliebiges, aber fest gewhltes. Idutiosschluss: Wir wolle zeige, dass die Aussage auch fr (1) richtig 7

5 8 ist. Es gilt , 1 1 wobei wir beim zweite Gleichheitszeiche de Hiweis verwedet habe ud beim dritte Gleichheitszeiche, dass ist. Mit der Idutiosaahme (wir wede sie zweimal a) erhalte wir Wir beweise och de Hiweis:! 1 ( 1)!( 1)!!!( )!! ( 1)!!( 1)! ( 1)!!( 1)! ( 1)!!( 1 )! 1.

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