und x D auftreten. Außerdem werden aller Wörter aus den Buchstaben 0 und 1 der Länge n mit genau k Elementen 1 gilt inv( w)

Transkript

1 3 q-stirligzahle I diesem Abschitt wird mit Hilfe vo Iversioe ud dem Maor Idex ei q Aalogo der Stirligzahle defiiert Es wird gezeigt, dass diese q Stirligzahle auch i atürlicher Weise beim Vergleich der Operatore ( xd ) ud x D auftrete Außerdem werde q Aaloga der fallede Fatorielle ud des Differezeoperators agegebe ud eiige wichtige Resultate über Stirligzahle auf ihre q Aaloga übertrage Wir habe bereits gesehe, dass für die Mege W, aller Wörter aus de Buchstabe ud der Läge mit geau Elemete gilt iv( w) q = w W (3), MacMaho hat gesehe, dass dasselbe gilt, we ma die Azahl der Iversioe durch de sogeate Maor Idex ma( w ) ersetzt Dieser ist folgedermaße defiiert: Sei w= aa a Da versteht ma uter der Abstiegsmege die Mege Dw ( ) = { i: ai > a i + }, also die Mege der i, wo ai =, a i + = ist, ud defiiert ma( w) = i i D( w) Ordet ma eiem Wort aus W, eie Gitterweg vo (, ) ach (, ) zu, idem ma edem eie Aufstieg (,) ud edem eie Abstieg (, ) zuordet, da besteht die Abstiegsmege aus alle Gipfel /\ dieses Weges Sei zb w W4,8 = Hier ist ( ) { 3,7,9} Der zugehörige Gitterweg schaut folgedermaße aus: Dw = ud ma( w ) = = 9 MacMaho hat u gezeigt, dass Satz 3 gilt f(, ) (3) ma( w) = q = ww, 34

2 Zum Beweis zeige wir, dass bei festem f(, ) = f(, ) + f(, ) + ( q ) f(, ) (33) für alle gilt Für f (, ) gilt f(, ) = =, f(,) = = ud f(, ) = = sost Für f (, ) gilt aalog f (,) = =, f(,) = + q=, f (,) = = ud f(, ) = = sost Um (33) zu zeige, schaue wir, wie das Wort edet We es auf edet, ist D( w) ud daher ma( w) = + ma( v) mit v W, Edet es auf oder, so ist ma( w) = ma( v) mit v W, We es schließlich mit edet, da ist w= v mit v W, \ W, Daraus folgt sofort (33), we wir f (, ), das och icht defiiert ist, geeiget wähle Es zeigt sich, dass wir f(, ) = [ = ] = setze müsse, damit die Reurrez auch für = stimmt Nu ist lar, dass f (, ) durch (33) eideutig festgelegt ist We wir zeige öe, dass f(, ) = ebefalls diese Reurrez erfüllt, ist (3) bewiese Das folgt edoch sofort aus ( q ) ( q ) q + + = + + = + = Ma et iv( w ) ud ma( w ) eie Statisti auf de Wörter w Nu wolle wir etwas Ähliches für Partitioe vo Mege mache Eie Partitio π der Mege {,, } ist eie Zerlegug i ichtleere Teilmege, sogeate Blöce, B,, B Sei S (, ) die Mege aller Partitioe i Blöce Wir schreibe π i der folgede aoische Form: π = B/ B / / B, wobei die Blöce ach wachsedem leistem Elemet geordet sid: mi B < mi B < < mi B Die Azahle S (, ) = S (, ) der Partitioe i Blöce werde Stirligzahle der zweite Art geat Wir suche u q Aaloga der Stirligzahle Dazu wolle wir die beide obige Statistie auf diese Fall übertrage Wir defiiere zuächst iv( π ) 35

3 Defiitio Eie Iversio vo π = B/ B / / B ist ei Paar ( bb, ), wobei b Bi, i<, ud b> mi B ist Die Azahl aller Iversioe wird mit iv( π ) bezeichet Die Partitio π = 38/ / 467 / 59 = B/ B / B3/ B4 hat die Iversioe (3, B),(8, B),(8, B3),(8, B4),(6, B4),(7, B 4), daher ist iv( π ) = 6 iv( π ) Wir orde u eder Partitio π das Gewicht q zu ud defiiere die q Stirligzahl der zweite Art S [, ] als das Gesamtgewicht aller Partitioe mit Blöce: Defiitio Die q Stirligzahl der zweite Art ist defiiert durch iv( π ) S [, ] = q (34) π S(, ) Da gilt S [, ] = S, + S, (35) De wir öe zwei Fälle uterscheide: ) / ist ei Bloc ud daher der letzte Das Gesamtgewicht aller derartige Partitioe ist S, offebar ) Das Elemet liegt i eiem der Blöce We es im erste liegt, da hat es mit edem der folgede Blöce eie Iversio, we es im zweite liegt, da mit de folgede Blöce, usw Also ist das Gesamtgewicht aller Partitioe, die aus eier gegebee Partitio π durch Eifüge vo i eie der vorhadee Blöce etstehe, gerade ( + q+ q ) mal dem Gewicht vo π We ma über alle π summiert, ergibt sich S[, ] Für die Matrix ( S[, ] ), ergibt sich + q + q+ q + q+ q Dabei ist S[, ] so gewählt, dass die Reursio (35) auch für = richtig bleibt Als Spezialfälle ergebe sich die Werte S [,] = S [, ] = für ud S q q q [, ] = + ( ) + ( 3)

4 Als ächstes wolle wir de Maor Idex auf diese Fall übertrage Sei d i die Azahl der Elemete b Bi mit b> mi B i + Die Abstiegsmultimege D( π ) ist d d d ( ),, ( ) di D π =, wobei i bedeutet, dass i di mal wiederholt wird Der Maor Idex ist da die Summe der Abstiege (36) i D( π ) ma( π ) = i = d + d + + ( ) d Zum Beispiel ist für π = 38 / / 467 / 59 die Abstiegsmultimege ma( π ) = = 8,, 3, 3 =, 3 ud Da gilt Satz 3 ma( π ) q = S[, ] (37) π S(, ) Beweis Da die Summe auf der lie Seite dieselbe Radwerte wie S[, ] besitzt, brauche wir ur zu zeige, dass auch dieselbe Reursio erfüllt ist Sei also π eie Partitio vo {,, } Ma fügt wieder hizu We / eie Bloc für sich bildet, omme eie eue Abstiege dazu ud es gilt ma( π ) = ma( π ) Sei u im Bloc B i vo π ethalte Da ist ma( π ) + i, we i< ma( π ) = ma( π ), we i= Daher ergibt sich ma( π ) ma( π) ma( π) + i q = q + q π S(, ) π S(, ) i= π S(, ) woraus alles folgt Aus der Vorlesug Disrete Mathemati ist beat, dass die Stirligzahle der zweite Art durch die Polyomidetität S (, )( x) = x eideutig festgelegt sid Hier ist ( x) = x( x ) ( x + ) Um ei q Aalogo dieser Idetität zu erhalte, beachte wir, m m dass eierseits ( xd )( x ) = mx ud daher ( xd ) x m = m x m ist ud dass adererseits m m x D x = ( m) x gilt Daraus folgt, dass die Stirligzahle auch durch die Operatoridetität SxD (, ) = ( xd) charaterisiert sid, welche eie gewisse Aussage über die Kommutierugseigeschafte des Multipliatiosoperators ud des Differetiatiosoperators mache 37,

5 Wir suche u eie aaloge Formel für de q Differetiatiosoperator Ma sieht sofort, dass ( xd) = S[, ] q x D (38) = gilt De das stimmt für = ud ergibt sich mit Idutio aus S [ +, q ] xd = xdxd ( ) = Sq [, ] xdxd = Sq [, ] xqxd ( + x ) D = Sq [, ] x D + Sq [, ] xd = ( S [, ] + S [, ]) q xd Für q = werde die Stirligzahle s (, ) der erste Art durch ( x) Diese Idetität schreibt sich i Operatorform xd = s (, )( xd) = sx (, ) defiiert Defiitio Uter de q Stirligzahle s [, ] der erste Art verstehe wir die eideutig bestimmte Koeffiziete i der Etwiclug Da ist q x D = s[, ]( xd) (39) ( ) s [ +, ]( xd) = q x D = qq x xd = q x q xd D + ( ) = q x Dx D D= q xd( xd) q xd = s [, ]( xd) s [, ]( xd) Koeffizietevergleich ergibt Durch diese Reursio ud s[, ] [ ] eideutig festgelegt s, Für die Matrix ( ), s [ +, ] = s [, ] [ s ] [, ] (3) = =, sowie s [, ] = für < sid die s [, ] ergibt sich + q ( + q) 3 ( + q+ q ) 3+ 4q+ 3 q + q (3+ q+ q ) 38

6 Es ist lar, dass die Matrize der beide Arte vo q Stirligzahle ivers zueiader sid S [, s ] [, ] = [ = ] (3) Als Spezialfälle ergebe sich s [ ] s [, ] = S [, ] [,] = ( )! für, s [, ] = ud Als ächstes wolle wir schaue, was sich als Aalogo vo ( x ) ergibt Ma rechet leicht ach, dass m m m q x D ( x ) = q m m m + x = m ( m ) ( m ) x gilt Daher defiiere wir x = x( x )( x ) ( x ) (3) Satz 33 Die q Stirligzahle sid durch die Gleichuge S [, ] x = x (33) ud eideutig festgelegt sx [, ] = x (34) Wir wolle zuächst die Polyome x äher studiere Wir betrachte dazu die lieare Abbildug W : ( q)[ x] ( q)[ x], die durch W( x ) = ( + ( q ) x) (35) für alle defiiert ist Es ist lar, dass W Produte wieder i Produte überführt, also W( f( x) g( x)) = W( f( x)) W( g( x)) erfüllt Daraus folgt, dass der Multipliatiosoperator x i de Multipliatiosoperator ( + ( q ) x) übergeht, WxW = + ( q ) x (36) Das ist gleichbedeuted mit W( x ) W = ( q ) x (37) Außerdem ist D WDW = (38) ( q ) De WD x = ( + ( q )) ud Wir zeige zuerst, dass gilt DWx D q x q q x = ( + ( ) ) = ( ) ( + ( ) ) x W ( x ) = (39) ( q ) 39

7 x q W( x) q ( q ) x+ q De aus W = = = x ergibt sich q q q ( x ) W ( x ) x = = ( q ) = Jeder lieare Operator A auf ( q)[ x] geht durch W i eie lieare Operator über Speziell erfüllt = = = Daher ist WAW ( x ) ( x ) W( q ) DW x ( q ) WD W x ( q ) ( q ) W( q ) DW ei q Aalogo des Differezeoperators, der durch f ( x) = f( x+ ) f( x) defiiert ist De ( x) = ( x+ ) x( x + ) x( x ) ( x + ) = ( x+ ( x + ) )( x) = ( x) Wir defiiere daher de q Differezeoperator durch W q DW = ( ) (3) Dieser ist charaterisiert durch (( + ( q ) x) ) = ( q )( + ( q ) x) (3) ud auch durch x =, (3) Nu ist WεW = E, (33) wobei E( p( x)) = p( qx+ ) (34) ist De W EW( x ) = W E ( + ( q ) x) = W ( + ( q )( + qx)) = q W ( + ( q ) x) = ε ( x ) ( ) ( ) ( ) Daher ist = W q DW = W W = W W W W = E x x + ( q ) x ( ) ( ε ) ( ε ) ( ) Satz 34 Der q Differezeoperator erfüllt f ( qx + ) f ( x) f( x) = + ( q ) x (35) I der Etwiclug ( + ( q ) x) = a x ergibt sich wege (3) ud L( x ) = [ = ], dass! a = L (( + ( q ) x) ) = ( q ) ( q + ), also ( ) a = q ist 4

8 Wir erhalte daher ( q ) x = ( + ( q ) x) = ( q ) x Diese ützliche Formel ergibt sich übriges auch sofort aus x = ( x ), = we ma darauf W awedet (36) (36) ist auch äquivalet mit der Formel x ( q ) t e(( + ( q ) x) t) = (37)! e( t) Diese ergibt sich auch aus ( x ) t e( xt) W = W! e( t) Ma a alle betrachtete lieare Operatore auf ( q) [ x] auch durch eifache formale Potezreihe, die de Differetiatiosoperators D ethalte, darstelle Der Operator ε hat die Gestalt (( q ) x) ε = D (38) =! De wedet ma die rechte Seite auf x a, so ergibt sich (( q ) x) D x = (( q ) x) x = ( x+ ( q ) x) = q x = ε x =! Aus (38) ergibt sich, dass der q Verschiebugsoperator E( f( x) ) = f( qx+ ) die Darstellug ( + ( q ) x) E = D (39) =! besitzt (( q ) x) ( + ( q ) x) De E = WεW = W W WDW = D!! = = Eie adere Darstellug ist E e D = ε (33) De ε( ) ε D ( qx + ) = ( x + ) = e ( x ) Wege Dε = qε D ist E ( f( x)) = f( q x+ ) E [ D ], = ε e also Ebeso folgt, dass gilt ( q ) x D= D (33)! = 4

9 Daraus ergibt sich ( + ( q ) x) = D (33)! = Das folgt auch, we ma diese Formel auf ( + ( q ) x) awedet De die lie Seite ergibt ( q )( + ( q ) x) wege (3) Für die rechte Seite ergibt sich ebefalls ( + ( q ) x) D (( + ( q ) x) ) = ( q ) ( + ( q ) x) = ( q )( + ( q ) x) =! = Speziell ist ( x ) = ( + ( q ) x) x = Wedet ma ( ε ) m auf x a, so ergibt sich m m m m m m ( ε ) ( x ) = ( q )( q q) ( q q ) x = q ( q ) x D ( x ) Das ergibt die Formel aus welcher sofort folgt Das a auch i der Form geschriebe werde q ( q ) x D = ( ε ), (333) q ( + ( q ) x) = ( E ) (334) q = ( ) E q (335) ( + ( q ) x) Daraus öe wir u eie explizite Formel für die q Stirligzahle der zweite Art ableite: Aus (33) ergibt sich = q q + = S [, ] = L ( x) = L ( E ) ( x) = ( ) q LE ( x)!!! ( ( q ) x) Nu ist E x q x ( ) = ( + ), wie ma sofort achrechet Daher erhalte wir schließlich Satz 35 Eie explizite Darstellug der q Stirligzahle der zweite Art ist gegebe durch q S [, ] = L ( x) = ( ) q!! = (336) 4

10 Aus dieser Formel öe wir eie erzeugede Futio ableite Wir bilde Sz [, ] = L ( x) z = L xz L! =!! xz! z Nu ist = Das ergibt sich mit Idutio aus xz ( zx)( zex) ( ze x) [! ] z = = xz xz ( zx)( ze( x)) ( ze ( x)) [! ] z zx ( ze ( x)! z = = ( zx)( ze( x)) ( ze ( x)) + ( q ) x ( zx)( ze( x)) ( ze ( x)) Somit erhalte wir schließlich Satz 36 Die erzeugede Futio der q Stirligzahle zweiter Art ist gegebe durch z Sz [, ] = L =! xz ( z )( z ) ( z ) [] Das a wege S [, ] = für < auch i der Gestalt S [ + z, ] = L = [ ]! xz ( [] z )( [ ] z ) ( [ ] z ) geschriebe werde (337) (338) Ma hätte diese Formel atürlich auch mit Idutio beweise öe De + ( z) S [ + z, ] = S [ + z, ] S [ + z, ] = ( S [ +, ] S [ +, ]) z = S [ +, ] z Für q = reduziert sich das auf die beate Formel S ( + z, ) = ( z)( z) ( z) I diesem Fall gibt es och eie weitere erzeugede Futio, ämlich z z ( e ) S (, ) =!! Ei, we auch icht sehr schöes, q Aalogo dieser Formel ist Satz 37 Die expoetiell erzeugede Futio der S[, ] ist Sz [, ] q z = ( ) q e!! (339) 43

11 Das folgt aus Sz [, ] z q q z = ( ) q = ( ) q!!!!! =, q z q = ( ) ( ) q q! =!! e [ z ] Wege S [, ] = L ( x) a (339) auch i der Form! Sz [, ] xz ( xz = L = L e )!!!! (34) geschriebe werde 3 Für q = ist D = log( + ) = + ei Operator, der sich als formale 3 Potezreihe i darstelle lässt Daraus folgt zb dass ( ) ( )( ) D(( x) ) = ( x) ( x) + ( x) 3 3 gilt Der Operator D ist leider icht als formale Potezreihe i darstellbar Daher gibt es auch eie schöe Formel für die Koeffiziete der Etwiclug D( x ) =, a x De gäbe es eie Darstellug D= a + a +, so müsste zb D( x ) = a x + a[ ] x + für alle erfüllt sei Für = ergibt sich a = Für = erhält ma [ ] x = [ ] x+ a [ ], dh a = q + Aber bereits für = 3 lässt sich ei a 3 bestimme De wir hätte da + q (+ 3 q+ q ) x+ ( + q+ q ) x = [3] x 3 x + 3 a = ( + q+ q ) x ( + q+ q ) x+ 3 a3 Die Terme mit x stimme edoch lis ud rechts icht überei 3 Wir hätte auch folgedermaße argumetiere öe: We der Operator D als formale Potezreihe i darstellbar wäre, müsste D = D sei Ma rechet aber sofort ach, dass ( D D ) x = q q ist ( ) 3 44

12 Für Stirligzahle gibt es viele überraschede Idetitäte, wovo ma eiige im Buch Cocrete Mathematics vo Graham, Kuth ud Patashi fide a Ich möchte hier ur zeige, wie ma eiige q Aaloga davo beweise a ) Für q = gilt S ( +, m+ ) = Sm (, ) Das etsprechede q Aalogo ist m S [ +, m+ ] = q Sm [, ] (34) Zum Beweis verwede wir die Operatordefiitio ( xd) = S[, ] q x D Da ist ( xd) + = x( Dx) D= x( + qxd) D= x q ( xd) D, m+ also m m S [ +, m+ ] q x D = q S [, q ] x D, m woraus sich durch Koeffizietevergleich (34) ergibt ) Für q = gilt Sm (, ) = ( ) S ( +, m+ ) Hier habe wir + + x( xd) D = S[, ] q x D ud xxd ( ) Dx D= x( ) D= q ( ) xdx ( ) D= q ( ) q ( xd) + = q ( ) S[ +, ] q x D Koeffizietevergleich liefert = m Sm [, ] = q ( ) S [ +, m+ ] (34) Bevor wir weitergehe, wolle wir us och die Polyome x geauer asehe Für q = gilt ( x) xx ( ) ( x ) xe ( x) ( E + D = + = x) ud E = e = + Für x gilt + x = q x( E x) ( E x), weil E x x= ist q 45

13 Statt = E gilt ( + ( q ) x) = E Statt der Vertauschbareit vo E ud gilt Das folgt sofort aus Dε = qε D, we ma mit W trasformiert: E = qe (343) E = W( q ) DW WεW = W( q )( Dε) W = qwεw W( q ) DW = qe Aus der Formel ( x ) = ( x ) () ergibt sich durch Awede vo W die + ( q ) D Formel x = x () (344) + Das hätte ma auch diret verifiziere öe: Sei T der lieare Operator auf de Polyome mit T ( x ) x + T( ) ( x ) x x ( x ) x x x x + = Da ist + = + = + = daher ist T( + ) = x Es ist also T = x + (345) Es gilt T q T, = wie ma sofort sieht, we ma beide Seite auf x,, awedet Das ist gleichbedeuted mit x q x = ( + ) Daraus folgt ( + ) x= q x= q q x + q ( + ) = x( + q ) + ( + ) q ( q ), dh ( + ) ( x ) = x( + q ), we wir uter ( + x) = ( ( x)) = ( + x)( + qx) ( + q x) verstehe Eie eifache Folgerug ist T = x = x + ( + ) (346) 46

14 Ei aderes Aalogo vo E = + ist E = G( + ), (347) wobei G der lieare Operator auf de Polyome ist, der durch G( x ) = q x (348) defiiert ist ud welcher G = qg erfüllt Aalog sei g der lieare Operator auf de Polyome mit ( ) g ( x ) = q ( x ) Da ist Dg = qgd ud WgW = G Um (347) zu beweise, betrachte ma eqd ( ) g( + ( q ) D)( x ) = g ( x ) ge( qd) (( x ) ) e( D) g (( x ) ) q e( D) ( x ) ( x ) ed ( ) = = = ed ( ) =ε Daher ist g( + ( q ) D) = ε ud somit G( + ) = Wg( + ( q ) D) W = WεW = E Mit Idutio ergibt sich hier E = G ( + ) ( + q ) (349) Defiitio Die q Expoetialpolyome der erste Art sid defiiert durch ( ) [, ] ϕ x = Sx (35) Diese Folge begit mit 3 3 4, xx, + x, x+ ( + qx ) + x, x+ (3+ 3 q+ q) x + (3+ q+ q) x + x, Aus ϕ ( x) = S[, ] x = ( S[, ] + S[, ]) x = xϕ ( x) + xϕ ergibt sich - - ϕ ( x) = xϕ ( x) + xϕ = x( + D)( ϕ ( x)) (35) Mit Hilfe dieser Expoetialpolyome öe wir auch die Poteze des Operators x( + D) darstelle: ( ) ϕ ( x) ( x( + D) ) = q x D (35)! De das stimmt für = We es für stimmt, da ergibt sich ( ) ( ) + ϕ ( x) ϕ ( x) ( x( + D) ) = q x D ( x( + D) = q x ( q xd + D )( + D)!! 47 ϕ ( ) ( ) qxϕ ( ) ( x) x q x D q x D = +!! ( ) ( ) + ( ) ϕ ( ) + q x D q x D + xϕ x x + +!!

15 We wir gleiche Poteze vo D sammel, so erhalte wir schließlich ( ( )) ( ) ( ) ( + ) + ϕ ( x) + ( qx+ ) ϕ ( x) + qxϕ ( x) x + D = q x D! = ( ) ( ) + x D ϕ x q! De es gilt ( ) ϕ ( x) = Dx( + D)( ϕ ( x)) = ( qxd + D )( + D) ϕ ( x) ( ) + = ϕ ( x) + ( qx+ ) ϕ ( x) + qxϕ ( x) ( ) ( ) ( + ) (353) We wir die Idetität (35) auf ϕ ( x ) awede, ergibt sich m ( ) ( ) ϕ ( x) ϕm ( x) ϕm+ ( x) = ( x( + D) ) ( ϕm( x)) = q x (354)! Daraus lässt sich sofort die so geate Haeldetermiate der ϕ ( x ), ämlich det ( ϕ ( )) i + x i, = De setzt ma a bereche:, m, m, ( ) ϕ ( x) ( x) =, da wird (354) zu! ϕ + ( x) = a ( x) a ( x) q! x Aus (353) ergibt sich Dabei ist a, = zu setze a ( x) = a ( x) + ( q x+ ) a ( x) + q + xa ( x) (355),,,, + Die utere Dreiecsmatrix C ( a x ) = ( ) hat i der Hauptdiagoale lauter Eiser wege i, i, = ( ϕ ) ( x) =! ud daher ist det( C ) = Bezeichet ma mit D die Diagoalmatrix mit i [] i d, = q i! x, da gilt ii ( x ) i, t ϕ ( ) = + CDC = i Daher ergibt sich für die Haeldetermiate t ( ϕi+ ) [] i det ( x) = det( CDC) = det( D) = i! q x (356) i, = i= i 48

16 Zum Beispiel ist C = x x + x ( q+ ) x ud somit x x+ x 3 x x+ x x+ ( + q) x + x x + x x+ ( + q) x + x x+ (3+ 3 q+ q ) x + (3+ q+ q ) x + x x x + x = x x ( q+ ) x+ x x ( q ) x q( + q) x Nu wolle wir auch och die Haeldetermiate det ( i x ) Dazu setze wir C = ( a ( x) ) ud B ( a ( x) ) ( x ) t i BDC i, ϕ ( ) = + + = i, i, = i+, i, = ϕ + + i, = ( ) = ud erhalte Weiters ist B = CJ, wobei x x qx+ [] q[ ] x q x+ [ ] J = 3 q [ 3] x q x+ [ 3] qx+ bereche t ist Daher ergibt sich B = CJDC Wir müsse also ur mehr det( J ) bereche Wir behaupte, dass = det( J ) = q x ist Nu ist + + = x, = qx ud we ma ach = ( q x+ ) q x, woraus die der letzte Spalte etwicelt, ergibt sich Behauptug mit Idutio folgt Nu ist die Folge ( ( x )) ϕ durch diese Haeldetermiate eideutig festgelegt, de aus ϕ ϕ ϕ ϕ det( ϕ),det ( ϕ),det,det, a ma die ϕ der Reihe ach eideutig ϕ ϕ ϕ ϕ 3 bereche, da alle Determiate ugleich sid 49

17 Satz 38 Die Folge der Expoetialpolyome erster Art ist die eideutig bestimmte Polyomfolge welche ( ϕi+ ) [] i, = i= i i det ( x) = i! q x (357) ud + i + ( ϕi+ + ) [] i det ( x) = q x i! q x (358) i, = i= erfüllt Wir hätte das Resultat über die Haeldetermiate auch och aders beweise öe Betrachte wir bei festem a das lieare Futioal, das durch F( x ) = a (359) defiiert ist Da ist F( x) = FS [, ] x = Sa [, ] = ϕ( a) (36) Für dieses Futioal gilt ( ( )) ( F x p x = F T ( + ) ( p( x) ) ach (346) Wege F( x ) = a ist FT ( x ) F( x ) a + = = = af( x ) ud daher ach + dem Liearisierugsprizip FTpx ( ( )) = af( px ( )) für alle Polyome p( x ) Daraus folgt F( x px ( )) = FT ( ( + ) ( px ( )) = af(( + ) ( px ( )) Speziell ist F( x x ) = F( T ( + ) ( x )) = a F(( + ) ( x ) (36) m m m Wir betrachte u die Polyome a h ( x, a) = ( x ) = ( ) q ( x ) = ( ) q a x ea ( )! (36) Diese sid ei q Aalogo der Poisso-Charlier Polyome Da gilt F( x h ( x, a)) = F ( ) ( ) q a x x q a F ( x x ) = = a ( ) q F(( + ) ( x )) Nu gilt ( x b) = ( a b) ( x a) ach (), also speziell für x=, b=, a= ( ) q ( + ) = q 5

18 Daher ist F( x h ( x, a)) = a F ( ) q ( ) ( x ) a F q ( x )! a q + = = Daraus ergibt sich schließlich Satz 39 Die q Poisso-Charlier Polyome sid orthogoal bezüglich des lieare Futioals F, das durch F( x ) = ϕ ( a) defiiert ist Geauer gilt Fh ( ( xah, ) ( xa, )) = q a! = m (363) m Setzt ma h ( x, a) = d(, ) x, da ist d= (, ) ud d (, ) = für > Die Idetität (363) schreibt sich da i der Gestalt F d d m x = d d m a = q a,, = m + (, ) (, ) (, ) (, ) ϕ + ( )! (364) H = d(, ) Da ist H eie utere Dreiecsmatrix, wo i der = Sei u ( ), Hauptdiagoale lauter Eiser stehe Daher ist also det( H ) = ϕ i + = Die Gleichug (364) bedeutet, dass die Matrix ( ) i, wo i der Hauptdiagoale die Werte q a ( ϕi+ ) [] i, = i= i i det ( a) = i! q a H ( a ) H t eie Diagoalmatrix ist,! stehe Daraus ergibt sich wieder Sei U der Operator, der durch U( x ) = x,, defiiert ist Da ist ( x ) U ( x ) ϕ = ud UxU = x( + D) sowie U U = D Daraus öe wir sofort eie Reursiosformel für die q Poisso-Charlier Polyome h (, ) x a herleite De es ist Uh (, ) ( ) x a = x a ud somit Uxh( x, a) = UxU Uh( x, a) = x( + D)( x a) = x( x a) + x( x a) = ( x q a)( x a) + q a( x a) + ( x q a)( x a) + q a( x a) + = ( x a) + ( q a+ )( x a) + q a( x a) Somit ergibt sich, we wir U auf beide Seite awede, h ( x, a) = ( x aq ) h ( x, a) aq h ( x, a) (365) + 5

19 Der Operator U führt die Formel (36) i ( q ) ϕ( x) = ( q ) x = r(( q ) x,) über Nu rechet ma sofort ach, dass sich aus a = b umgeehrt ( ) a = b ergibt Das folgt auch aus ( ) i x = ( + x) = ( ) ( + x) = ( ) x i, i De ma defiiere ei lieares Futioal auf de Polyome durch F( x ) = a Da ist ( ) b = F ( + x) Koeffizietevergleich liefert i Daher ist ( q ) ϕ( x) = ( ) ( q ) x ( ) = [ = i] (366) Wir hätte auch folgedermaße argumetiere öe: ( q ) x = (( + ( q ) x) ) = ( ) ( + ( q ) x) = ( ) ( q ) x, Wedet ma darauf de Operator U a, so ergibt sich die obige Formel Daraus ergibt sich durch Koeffizietevergleich eie weitere Formel für die q Stirligzahle S [, ], die ei Aalogo für q = besitzt: Satz 3 Die q Stirligzahle S [, ] sid charaterisiert durch i ( q ) S[, i] = ( ) i (367) Für q = reduziert sich das auf die triviale Formel (366) Zum Beispiel ist 5

20 ( q ) S[4,] = 6 4( q q ) q q q q + = q q q q ( q ) (3 3 q q ) = + + = + + Satz 3 Für die q Stirligzahle der erste Art existiert eie aaloge Formel i ( q ) s[, i] = ( ) q i (368) Zum Beweis gehe wir wieder vo (36) aus Wir erhalte i i ( + ( q ) x) = ( q ) s[, i] x x ( q ) s[, i] = i i Vergleicht ma auf beide Seite die Koeffiziete, so erhält ma i ( q ) s[, i] = (369) i Nu erier wir a die Formel x = ( x ) ud ( x ) = ( ) q x Wedet ma darauf ei lieares Futioal F a, so ergibt sich F( x ) = F(( x ) ) ud F(( x ) ) = ( ) q F( x ) Defiiert ma also bei festem i ei lieares Futioal auf ( q)[ x] durch i i F(( x ) ) = ( q ) s[, i], so ergibt sich F( x ) = ( q ) s[, i] = i Damit ergibt sich (368) Abschließed wolle wir och eie zweite Art vo q Expoetialpolyome betrachte, ämlich 53 Φ ( x) = Sq [, ] x (37) Hier ergibt sich Φ ( x) = xφ ( qx) + xφ ( x) = x( D+ ε ) Φ ( x) Aus Dex ( ) = exd ( ) + exε ( ) ergibt sich x( D+ ε ) = ( xd) e( x) ex ( ) Daher ist Φ ( x) = ( xd ( + ε )) () = ( xd) ex ( )() = ( xd) ( ex ( )) ex ( ) ex ( )

21 Diese q Expoetialpolyome der zweite Art erfülle also eierseits ( xd) ( e( x)) =Φ ( x) e( x) ud adererseits die Formel vo Dobisi x x (37) Φ ( x) = ( xd) ( ) = ex ( )! ex ( )! Es gilt ( ) Φ ( ) + x = x q Φ x (37) De wir habe scho weiter obe gezeigt, dass ( xd) + = x( Dx) D= x( + qxd) D= x q ( xd) D gilt Daher ist + Φ + ( x) = ( xd) ( e( x)) = x q ( xd) D( e( x)) = x q Φ ( x) ex ( ) ex ( ) Für x = ergibt sich B =Φ () = q S[, ] Das ist ei q Aalogo der Bellzahle Sie erfülle also die Reursio B+ = qb (373) Daraus lasse sich die erste Werte sehr leicht bereche: ( B ) =,, + q, + q + q + q, + 3q + 3q + 4q + q + q + q, ( ) 54