5. Eine weitere Klasse von q-fibonacci-zahlen und der Euler sche Pentagonalzahlensatz.

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1 5 Eie weitere Klae vo -Fiboacci-Zahle ud der Euler che Petagoalzahleatz I dieem Abchitt betrachte wir ei weitere Aalogo der Fiboacci-Polyome, für da auch ei chöe Aalogo der Luca-Polyome exitiert ud da eie ege Beziehug zum Euler che Petagoalzahleatz aufweit Wir betrachte wieder die ichtommutative Fiboacci-Polyome ud erier a die Reurioe ud F ( a, b) = af ( a, b) + bf ( a, b) (5) F( ab, ) = F ( aba, ) + F ( abb, ) (5) owie a die Formel (, ) (, ) = 0 F a b = C a b (53) Wir wolle u eie weitere Art vo Fiboacci-Polyome Fib ( x,, ) eiführe Dazu betrachte wir de Homomorphimu ψ, der durch ψ ( a) = xηψ, ( b) = η defiiert it Da it ψ ( a) ψ( b) = xηη = x η = ( η)( xη) = ψ( b) ψ( a) Daher it ( ) + + ψ C ( a, b) = ψ( b) ψ( a) η ( xη) x η = = Daher folgt au (53) + ψ ( F ( a, b) ) = x η = 0 (54) Ma beachte, da jetzt die Poteze vo η auch vo abhäge Dadurch werde eiige Dige omplizierter Wir erhalte aber auch hier eie explizite Dartellug, ämlich + Fib( x,, ) = ψ ( F( a, b) )() = x = 0 (55) Da gilt ach (5) Fib( x,, ) = xfib ( x,, ) + Fib ( x,, ) (56) ud ach (5) = + η = 0 Fib( x,, ) xfib ( x,, ) x η() = 0 = xfib ( x,, ) + x = xfib ( x,, ) + Fib ( x,, ) 70

2 E gilt alo Fib( x,, ) = xfib ( x,, ) + Fib ( x,, ) (57) Kombiiert ma (56) ud (57), o erhält ma Fib ( x,, ) = xfib ( x,, ) + xfib ( x,, ) + Fib ( x,, ) (58) 3 4 Bemerug + Für die etprechede Fiboacci-Zahle Fib( ) = Fib(,, ) = = 0 gibt e ur die Reurio 4 Ordug, die au (58) folgt, ämlich Fib ( ) = Fib ( ) + Fib ( ) + Fib ( ) (59) 3 4 Diee Folge begit mit ,,, +, + +,+ + +, , Nu uteruche wir, wie der Homomorphimu ψ, der durch ψ ( a) = xηψ, ( b) = η defiiert it, auf ei Wort c c C( a, b) wirt Seie i j die Idize mit ψ ( c c ) = x c i + + i η Da folgt ofort mit Idutio ach E ei für i i i i = a, da gilt ψ ( c c a) + + x η xη + + x = = η gezeigt It c = b, da ergibt ich ci j = b Da gilt bereit ud it ψ = η η = η = η ( ) i i i i i i i c c b + + x x x Wir öe Fib ( x,, ) ebefall auf egative Idize uter Beibehaltug der Reurrez erweiter E gilt da Fib ( x,, ) Fib ( x,, ) = ( ) (50) Wege (56) it da äuivalet mit Fib( x,, ) Fib+ ( x,, ) Fib+ ( x,, ) = x ( ) ( ) Da folgt jedoch au (57) 7

3 0 Für ψ ( C) ergibt ich ψ ( C) = η xη Sei B ( x, ) = ψ ( C) I Da it Fib ( x,, ) Fib( x,, ) B ( x, ) = Fib( x,, ) Fib+ ( x,, ) E gilt B( x, ) = xb ( x, ) + B ( x, ) De owohl Fib ( x,, ) al auch Fib( x,, ) erfülle diee Reurio Außer de bereit erwähte Reurio gibt e hier eie weitere, die gaz ader auieht ( ) Fib ( x,, ) = xfib ( x,, ) + ( ) D Fib ( x,, ) + Fib ( x,, ) (5) Zum Bewei vergleiche wir die Koeffiziete vo i Fib (,, ) x + Dabei ergibt ich + + ( ) [ ] = Diee Idetität it äuivalet mit + ( ) = + oder + + = Da folgt aber ofort au der Reurrezrelatio für die Biomialoeffiziete Da die Operatore x + ( ) D ud der Multipliatiooperator mit x ommutiere, ergibt ich Fib ( x,, ) = ( x + ( ) D) () (5) 7

4 Für = erfülle die Luca-Polyome dieelbe Reurrez wie die Fiboacci-Polyome Für die Carlitz che Fiboacci-Zahle gibt e eie derartige Luca-Zahle Für die hier betrachtete Aaloga exitiere jedoch ehr chöe Aaloga Wir defiiere die Luca-Polyome al die eideutig betimmte Polyome, welche die Reurrez ( ) Luc ( x,, ) = xluc ( x,, ) + ( ) D Luc ( x,, ) + Luc ( x,, ) (53) mit de Afagbediguge Luc0( x,, ) =, Luc( x,, ) = xerfülle Da ergibt ich ofort Luc( x,, ) = Fib ( x,, ) + Fib ( x,, ), (54) + we ma die zwei Afagwerte betrachtet Darau lät ich eie explizite Formel herleite: De [ ] [ ] Luc( x,, ) = x (55) Luc ( x,, ) = x x 0 + = = 0 [ ] [ ] = x x + = Weiter gilt ( ) [ ] [ ] [ ] D Luc ( x,, ) = x = [ ] x = [ ] Fib ( x,, ) Au der Formel (, ) F (, ) (, ) a b = C a b F a b folgt durch Awede vo ψ + = ψ ψ = η Fib ( x,, ) ( C ( a, c)) ( Fib ( a, b))() x Fib ( x,, ) 73

5 ud daher + (,, ) (, Fib, ) x = x Fib x (56) Geht ma dagege vo F (, ) (, ) (, ) a b = F a b C a b au, o erhält ma (,, ) = ψ( (, )) ψ( (, ))() Fib x F a b C a c Nu it ψ ( F ( a, b)) = ψ ( C ( a, b)) = 0 v ψ ( C ( a, b)) Jede Wort au i + + i hat die Getalt x η + i i ( ) i i Daher it v () = x = x Darau ergibt ich chließlich + = = 0 Fib ( x,, ) x Fib ( x,, ) (57) Für = it die Folge (,,) ( ) f = Fib = periodich mit Periode 6 ud begit mit 0,,, 0,, De ach (56) it f = f f mit f0 = 0, f = ud daher ergibt ich der Reihe ach 0,,, 0,,, 0,,, Da lät ich folgedermaße verallgemeier: Satz 5 Für x=, = gilt (3 ) (3 ) + 3 = 3+ = 3+ = Fib (,, ) 0, Fib (,, ) ( ), Fib (,, ) ( ) Bewei Wir verwede die Reurio (58) Diee gibt Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, )

6 Darau ergibt ich Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, ) 3( ) + 3( ) ( ) + 3( ) + Damit öe wir mit Idutio de Satz beweie Für die erte 4 Werte rechet ma ach, da e timmt Darau folgt Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, ) 3( ) + 3( ) ( ) + 3 3( ) + (3+ ) ( )(3 ) 3( ) + = ( ) + ( ) = 0, Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, ) 3( ) + 3( ) ( ) + 3( ) ( )(3 4) (3) 3( ) + = ( ) = ( ) ud Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, ) 3( ) + 3( ) ( ) + 3( ) + (3) ( )(3 ) ( )(3 4) (3+ ) 3( ) 3( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) Darau ergibt ich Satz 5 (3+ ) Fib3 + (,, ) = ( ) (58) De au (57) ergibt ich 3 Fib (,, ) = Fib (,, ) + Fib (,, ) = Fib (,, ) + Fib (,, ) = Fib (,, ) Fib (,, ) + Fib (,, ) ( ) + (3+ ) (3) = ( ) + ( ) + Fib (,, ) 3( ) + Geht ma i (58) mit, o erhält ma 0 + (3 ) ( ) = ( ) ( ) 75

7 Beachtet ma Formel (), o ergibt ich Satz 53 (Petagoalzahleatz vo L Euler) (3 ) 3 ( )( )( ) = ( ) Auch für die Polyome Fib ( x,, ) lät ich die erzeugede Futio eifach bereche Φ ( x,, z) = Fib ( x,, ) z = + xfib ( x,, ) z + Fib ( x,, ) z + 0 = + Φ + Φ = + η+ xz ( x,, z) z ( x,, z) ( xz z ) F( x,, z) η Darau folgt ( xzη z η) Φ ( x,, z) = ud daher ach der Formel für die geometriche Reihe Φ ( xz,, ) = () = ( zη+ xzη) () ( xzη z η) Wege ( ) η η = η η it xz z z xz z η xz η + = ( z ) ( xz ) z x 0 η η = 0 η = = Daher it m 0 ( η η) m Φ ( xz,, ) = z + xz () (59) Augerechet ergibt da + m+ m m m m Φ ( x, z, ) = ( zη+ xzη) () = z x m 0 m 0 = m m = z x z x 0 m = + = 0 Koeffizietevergleich liefert wieder, da (,, ) Fib + x = x it + 76

8 We wir m= + etze, öe wir die obige Umformug auch o chreibe: m+ m + m m Φ ( x, z, ) = z x z zx m 0 = 0 = 0 0 = + z ( xz) ( xz) E it alo 0 + z Φ ( xz,, ) = ( xz) ( xz) (50) Soweit it alle gaz aalog zum Fall der Polyome F ( x,, ) Aber hier habe wir da Glüc, da ich ( z η xzη ) + explizit aureche lät E gilt ja ( η η) z + xz () = z ( x+ z)( x+ z) ( x+ z) (5) Au (59), (50) ud (5) erhalte wir + z 0 ( xz) ( xz) 0 Φ ( x, z, ) = = z( x+ z)( x+ z) ( x+ z) (5) We wir dari x = ud = etze, ergibt ich z Φ(,, z) = Fib (,, ) z = ( ) ( ) ( z z ) = z z z z ( )( ) ( ) Nach Satz 5 it da gleichbedeuted mit (3 ) (3+ ) 3 3+ z z z z = Fib + z = z + z 0 0 ( )( ) ( ) (,, ) ( ) ( ) (53) Für = reduziert ich da auf + z z ( z) = = = + z z z + z + z ++ 3 z+ z + z 0 77

9 Die Reurio (57) gibt Φ = + Φ (54) ( xz) ( x,, z) z ( x,, z) Für x = ud = ergibt da ( z) Φ(,, z) = z Φ(,, z) ud au Φ ( x,, z) = + xzφ ( x,, z) + z Φ ( x,, z) für x = ud = erhalte wir Φ(,, z) = + z( z) Φ(,, z) Darau ergibt ich 3 Φ(,, z) = + z z Φ(,, z) Da it wieder äuivalet mit Fib+ 3(,, ) = Fib(,, ), worau wieder Satz 5 folgt Bemerug Aaloge Überleguge führte Euler zu eiem Bewei de Petagoalzahleatze Er am durch Berechug der erte Terme zur Vermutug, da ( )( )( ) = (3 ) (3+ ) = + ( ) + = gilt Um da zu beweie, führte er eie weitere Ubetimmte z ei ud betrachtete (3 ) (3+ ) 3 3 f (, z) = + () z + z = Für = reduziert ich da auf f (,) z = z z + z + z z z ++ = z z f(,) z Allgemei gilt f z z z f z 3 (, ) = (, ), wie ma leicht verifiziert Dadurch it f (, z ) eideutig fetgelegt Für = gilt z z z f z z z + (,) = = = = ( ) 3 + z z+ z z+ z = 78

10 Euler uchte eie ähliche Audruc für beliebige ud betrachtete gz z z z (, ) = + ( ) ( ) Da gilt N g(, ) = ( ) De N ( ) = ( ), = weil darau N+ N N N N+ N+ N+ ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) folgt = = Euler bewie u da 3 gz (, ) = z zgz (, ) gilt ud daher gz (, ) = f(, z) it Damit it der Petagoalzahleatz volltädig bewiee Uere obige Überleguge führe diret zu dieem Ergebi De j + + j j z ( z) ( z) = z ( ) ( z) j 0 0 j 0 j j + j+ + j+ j + j j = z ( ) z ( ) j = j j = (,, ), + z Fib 0 dh (3 ) (3+ ) z ( z) ( z) = ( ) z + z, 0 worau alle folgt 79