Mathematische Randbemerkungen 12: Eine interessante Klasse von Polynomen. Johann Cigler

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1 Matheatische Radbeeruge : Eie iteressate Klasse vo Polyoe Joha Cigler I Folgede öchte ich eiige Polyoe studiere, die sich i [9] bei der explizite Berechug der Darstellug vo ( + ) ergebe habe Es stellt sich heraus, dass X sd sie -Aaloga vo Faltugsprodute vo Fiboacci-Polyoe sid Wie viele adere atheatische Begriffe, die sich auf atürliche Weise ergebe, habe sie eiige schöe Eigeschafte Da sie eg it de Vertauschugseigeschafte des Multipliatiosoperators X ud des Differetiatiosoperators dürfte sie auch icht gaz uiteressat sei D verüpft sid, Sei X der Multipliatiosoperator auf de Polyoe i x, der durch Xp( x) = xp( x) defiiert ist ud D der Differetiatiosoperator Ich eriere zuerst a ei beates Resultat über ( X + sd) Defiiert a Polyoe H ( xs, ) durch H ( xs, ) = xh ( xs, ) + ( ) sh ( xs, ) () it de Afagswerte H( xs, ) =, H( xs, ) = x, da gilt ( X + sd) = H ( X, s) s D = () Die Polyoe H( xs, ) sid i wesetliche Herite-Polyoe Es gilt! H( x, s) = s x!( )! Die erste Tere sid 3 4, xx, + sx, + 3 sxx, + 6sx + 3 s,

2 Derartige Forel sid i der eie oder adere For scho lage beat Ich weiß icht, wer sie zu erste Mal bewiese hat I G-C Rota [] wird auf eie Arbeit vo JL Burchall [] verwiese I etwas aderer Gestalt wurde diese Forel eiige Male wiederetdect, vgl Varva [] ud die dort zitierte Literatur Es gig dabei daru, die auftretede Produte vo X ud D so uzufore, dass alle Tere vo der Gestalt X D sid Das wird "oral orderig" geat Die Forel schaut da folgederaße aus: s! ( X + sd) = X D Mi(, ) = =!( )!( )! (3) Die erste Tere i dieser Aordug sid da sd+ X, sd + sxd+ s+ X, sd + 3sXD + 3sD+ sx D+ 3 sx+ X, s D + 4s XD + 6s D + 6s X D + s XD + 3s + 4sX D + 6 sx + X Bezeichet a it D de Differetiatiosoperator, defiiert durch p( x) p( x) Dpx ( ) =, da ergebe sich für ( X + sd ) der Reihe ach die x x folgede Ausdrüce sd + X, sd + ( + sxd ) + s+ X, s D + ( + + ) s XD + ( + ) s D + ( + + ) sx D + ( + ) sx + X, sd + ( ) sxd + (3 + + ) sd + ( ) sx D s XD + + s sx D sx (3 5 3 ) ( ) ( ) (3 ) + X 4 Dabei sid die Tere, die ( ) D icht ethalte, die Herite-Polyoe H ( x, s ) = X + sd, die i [7] studiert wurde

3 Wie dort gezeigt, lasse sie sich durch Lucas- Polyoe der Gestalt [ ] L ( x, s ) = s x = [ ] (4) für > ud L ( x, s ) = (5) eifach ausdrüce Es gilt älich ( ) = H( x,( s ) ) = X+ ( sd ) = sl ( x, s ) (6) Diese Lucas -Polyoe habe eie verblüffede Eigeschaft Sie bilde älich icht ur ei Aalogo der übliche Lucas-Polyoe, soder lasse sich auch diret auf diese zurücführe Es gilt älich (vgl [4], [6]) [ ] = = + = [ ] (( ) ) L ( x, s ) s x L X ( ) sd, s = s ( X + ( ) sd ) = (7) Gleichbedeuted dait ist die Reursio L ( x, s ) ( X + ( ) sd ) L ( x, s ) sl ( x, s ) = (8) für > Für = erhält a de Wert s Würde a L (, ) x s = setze, da würde (8) für alle gelte Das ist i gewisser Weise schöer ud die richtige Wahl für adere Aweduge I usere Fall brauche wir edoch L (, ) x s = I [8] habe ich für die hier verwedete Versio der Lucas-Polyoe die Bezeichug L * ( xs, ) gewählt Da i Folgede aber 3

4 ur diese Versio verwedet wird, a ei Missverstädis etstehe Es sei auch darauf higewiese, dass es i der Literatur zwei verschiedee Norieruge für die Fiboacci- Polyoe F ( x, s ) ud Fiboacci- Zahle F gibt Die übliche ist (, ) = = F x s s x Diese ist für die zahletheoretische Aspete a geeigetste, weil da ggt ( F, F) = FggT(, ) gilt Für obiatorische Aweduge = ützlicher Ich uterscheide beide durch Groß- bzw ist f( xs, ) = sx Kleischreibug ud verwede i Folgede ur (, ) f xs Für die Fiboacci-Zahle ( f = f (,) ) = (,,, 3, 5,8, ) ud die Lucas-Zahle ( L (,) = L ) = (,,3,4,7,,8, ) gilt L = f + f I der hier verwedete Versio gilt auch f = L = ( ) Coputerexperiete führte ich zur folgede Verutug, die ich i [9] verifiziert habe it ( ) X + ( sd ) = AD (, ) (9) = A(,) = H ( x,( ) s ) () ud i = + i [ i] A (, ) = ( ) s i= i [ ] i + s L ( X, s ) D ( i ) i () für > Weitere Berechuge zeigte, dass sich der zweite Ausdruc och vereifache lässt: 4

5 ( ) + + s L x s = ( ) (, ) [ ] + = s x = [ + ] () Ich will zuächst vo der rechte Seite ausgehe ud die Äuivalez später zeige Für alle seie die verallgeeierte Lucas- Polyoe defiiert durch ( ) [ ] + + (, ) = = [ ] L x s s x (3) + ud verallgeeierte Fiboacci-Polyoe durch + ( ) [ ] (, ) = + = [ ] f xs sx = s x = = s x = (4) Es ist lar, dass L () ( xs, ) = L( xs, ) ist Weiters ist ( ) [ + ] ( ) L ( x, s ) = f ( x, s ) (5) [ ] 5

6 für > Für = ist + () (, ) = = f x s = s x = f () ( x, s) = [ = ] Für = ergibt sich f x s s x Das ist ei Aalogo der Fiboacci- Polyoe (, ) Auch hier gilt (vgl [4],[6]) f ( xs, ) = f ( x+ ( ) sd, s ) (6) () () Mit diese Notatioe a (9) folgederaße foruliert werde: ( ) ( ) = = (7) X + ( sd ) = sl ( X, s ) ( ) sd Daraus ist ua ersichtlich, dass die Polyoe s ( ) s L X, = (8) icht-egative Koeffiziete habe ud für gege H ( xs, ) strebe Für = ist höchstwahrscheilich alles wohlbeat Ich habe ir edoch icht die Mühe geacht, die uüberschaubare Literatur daraufhi ( durchzusehe Die erzeugede Futio der Polyoe f ) ( xs, ) ist ( ) f ( x, s ) z = (9) xz sz ud daher ist ( ) 6

7 f ( xs, ) xf ( xs, ) sf ( xs, ) = f ( xs, ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( für alle, we a ) ( f ( x, s ) = für < setzt Die f ) ( xs, ) sid also die fache Faltuge der Fiboacci- Polyoe Die Forel für die erzeugede Futio ergibt sich sofort aus der folgede Idetität ( ) + f ( x, s ) z = z s x + + = z s z x z s z x = + = ( sz + xz) = xz sz ( ) Für die erzeugede Futio der Polyoe ( L ) ( xs, ) gilt Das folgt aus der Idetität + sz ( ) L ( x, s ) z = () + ( xz sz ) f ( xs, ) + sf ( xs, ) = L ( xs, ) () ( + ) ( + ) ( ) für, die durch Vergleich vo (3) ud (4) leicht verifiziert werde ( + ) ( ) a ud de Afagswerte f ( x, s ) = L ( x, s ) = ud f ( xs, ) = L ( xs, ) = ( + ) x ( + ) ( ) Die Forel () hat ei schöes Aalogo: f ( xs, ) + sf ( xs, ) = L ( xs, ) (3) ( + ) + ( + ) ( ) 7

8 Zu Beweis betrachte wir zuerst de Fall = Hier ist zu zeige, dass [ ] s x s s x s x + = [ ] = = = gilt Koeffizietevergleich zeigt, dass das gleichbedeuted ist it der offebar richtige Gleichug [ ] + = [ ] I allgeeie Fall ist zu zeige, dass [ + ] + + = [ ] gilt Das ist äuivalet it der Idetität + [ ] +, = [ + ] die uittelbar verifiziert werde a Nu wolle wir ei Aalogo der erzeugede Futioe herleite Geauso wie obe erhalte wir 8

9 + ( ) + f ( x, s ) z = z s x = z s z x z s z x = Nu gilt beatlich (vgl zb [3]) ( )( ) ( ) + t t t t Daher ist + s z x = ( x + sz)( x + sz) ( x + sz) Das ergibt ( ) + f ( xs, z ) = z ( x+ sz)( x+ sz) ( x+ sz) (4) Der Spezialfall =, x =, s = ist besoders erwäheswert Er ist eg verüpft it Euler's Beweis des Petagoalzahlesatzes ud ergibt (vgl[6] ud die dort zitierte Literatur) (3 ) (3+ ) 3 3+ z ( z)( z) ( z) = ( ) z + z (3 ) () Grud dafür ist die Tatsache, dass f3, = ( ), (3+ ) () () f3+, = ( ) ud f3+, = ist Weiters ist ( ) li f (, ) = ( ) = Ma a die erzeugede Futio och i eie adere Gestalt brige Betrachte wir de lieare Operator ε, defiiert durch ε f () s = f( s) ud de Multipliatiosoperator S it Sf () s = sf () s Da gilt ( Xzε )( Sz ε) = ( Sz ε)( Xzε) 9

10 Für Operatore A, B it BA= AB gilt beatlich (vgl zb [3]) der bioische Lehrsatz ( A + B) = A B = Nach de bioische Lehrsatz ist also + ( Xz ε Sz ε ) ( Sz ) ( Xz ) S z X ε ε + + = = ε Daher erhalte wir uter Beützug der wohlbeate Forel t ( t) ( t) = + ei schöes Aalogo der Forel (9) + ( ) + + f ( x, s ) z = s z x + ( ε ε) = Xz + Sz = ( ( Xzε + Sz ε) )( ( Xzε + Sz ε) ) ( ( Xzε + Sz ε) ) Daraus ergibt sich, we a beide Seite it ( ( Xzε + Sz ε )) ultipliziert (5) f ( xs, ) xf ( xs, ) sf ( xs, ) = f ( xs, ) (6) ( ) ( ) ( ) ( ) Multipliziert a dagege it ( ( Xzε Sz ε )) +, so ergibt sich f ( xs, ) xf ( xs, ) sf ( xs, ) = f ( xs, ) (7) ( ) ( ) ( ) ( )

11 Wir öe auch och eie adere Versio der erzeugede Futio fide Sei η der lieare Operator it η f ( x) = f( x) Da ist ( Sz εη)( Xz) = ( Xz)( Sz εη) Daher ist ach de bioische Lehrsatz ( ) + + Xz + Sz εη = ( Xz) ( Sz ) S z X εη = ε η Soit ist auch ( ) + f x s z = Xz+ Sz = ( εη) (, ) ( ( Xz + Sz εη) )( ( Xzε + Sz εη) ) ( ( Xzε + Sz εη) ) (8) Das bedeutet ud ( ) ( ) f ( x, s ) xf ( x, s ) sf x, s = f x, s (9) ( ( ( ( ) ( ) ( ) f ( xs, ) xf ( xs, ) sf xs, = f xs, (3) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Idetität (6) lässt sich erweiter zu ( ) ( ) ( ) f ( xs, ) X+ ( ) sd f ( xs, ) sf xs, ( ) ( ) ( ) s,, ( ) ( ) = f x s = f x (3) De sie bedeutet

12 s x s x = = = ( ) s s [ ] x = s sx + s( x) = = Der Koeffiziet vo s x ist dabei ( ) ( ) ( ) ( ) [ + ] = () ( ) ( ) + () ( ) () + [ + ]! [ + ]! + [ + ]! ( ) [ ]![ ]![ ]! [ ]![ ]![ ]! [ ]![ ]![ + ]! + + [ + ]! [ + ]! [ ]![ ]![ ]! [ ]![ ]![ ]! Hebt a () [ + ]! [ ]![ ]![ + ]! heraus, da bleibt der Fator + [ + ][ + ] [ ][ + ] ( ) [ + ][ ] [ ][ + ] [ ][ + ] = Nu wolle wir och () beweise ( ) ( ) + + = = f ( x, s ) ( s) L ( x, s ) (3) Das stit für = Für = bedeutet es

13 Das folgt aus (3) für = De () ( ) = = f ( xs, ) ( s) L ( xs, ) (33) f ( xs, ) + sf ( xs, ) = L( xs, ) ipliziert () () f ( x, s ) = L ( x, s ) sf ( x, s ) = L ( x, s ) () () () ( (, ) (, )) s L xs sf xs ( ) s L x s = = = ( ) (, ) Nu üsse wir ur och (3) überprüfe ( ) + + s L x s = ( ) (, ) + ( ) s ( s) L ( x, s ) = ( ) + + ( s) L = [ + ] = [ ] (, ) x s Das ist äuivalet it [ + ] + + = [ ] oder [ + ][ + ] [ ][ ] [ + ][ ] = Aalog zu (33) folgt allgeei aus (3) 3

14 ( + ) ( + ) [ + ] ( ) = = [ ] f ( xs, ) ( s) f ( xs, ) (34) ( Da edes L ) ( xs, ) ei Polyo vo Grad ist, lässt sich Liearobiatio dieser Polyoe darstelle Es gilt x eideutig als oder aders ausgedrüct + ( ) + ( s) L ( x, s) = x = (35) [ ]![ ]! ( ) ( s) L ( x, s) = x (36) = [ ]![ + ]! Zu Beweis vergleiche wir die Koeffiziete Als Koeffiziet vo ergibt sich auf der lie Seite x [ ]! [ + ] ( ) [ ]! + [ ]![ ]! i + = [ + ]! Es ist also zu zeige, dass für i i [ + + ] ( ) [ + + ]! = [ = ] i i i = [ + + i]! i oder für i i i [ + + i] ( ) [ ] i= i = = [ + + i][ + + i ] [ + + i] gilt Das ist ei Spezialfall der Forel 4

15 a ( ) [ ] = = = ( a ; ) + (37) für a = + Diese Forel trat i [5] i adere Zusaehag auf Dabei bedeutet ( ; ) ( )( ) ( a = a a a) Sie lässt sich sehr eifach it Hilfe des Zeilbergeralgorithus beweise Ei aderer Beweis a wie i [8] it de Methode vo [] geführt werde Betrachtet a das lieare Futioal Λ, defiiert durch Λ L x = = (38) ( ) ( (, )) [ ], da ergibt sich aus (36) Λ = ud ( x + ) [ ]![ ]! Λ ( x ) = [ ]![ + ]! (39) Für = ergibt sich das Aalogo Bioialoeffiziete der zetrale Für = erhalte wir ei Aalogo der Catala-Zahle [ ]! Λ ( x ) = = [ ]![ + ]! [ + ] Die rechte Seite vo (35) ist uabhägig vo s Vergleicht a it (8), so fällt auf, dass = s ( ) s L X, x = 5

16 ist, also für eie adere Grezwert hat als (8), wo statt der Bioialoeffiziete die Bioialoeffiziete auftrete ( I alle bisher betrachtete Reurrezrelatioe für f ) ( xs, ) tritt irgedwo x bzw s statt x bzw s auf Es gibt aber auch echte Reurrezrelatioe, wo eweils ur feste Werte x, s voroe, so wie das für = der Fall ist Dabei trete edoch Polyoe als Koeffiziete auf Für = gibt es ua die folgede Reursio f ( xs, ) ( + ) xf ( xs, ) ( + ) sf ( xs, ) = (4) ( ) ( ) ( ) Für = reduziert sich das auf die übliche Reursio () () () f ( x, s ) xf ( x, s ) sf ( x, s ) = Das folgt sofort aus der erzeugede Futio De ( ) ( ) ( ) f ( xsz, ) x ( ) f ( xsz, ) s ( ) f ( xsz, ) ( xz+ sz ) ( xz sz ) d ( xz+ sz ) + = ( xz sz ) z = ( xz sz ) dz ( xz sz ) ( xz sz ) ( ) ( ) ( ) = = xf ( x, s) + sf ( x, s) z (4) Das etsprechede Aalogo ist etwas oplizierter: ( f ) ( xs, ) erfüllt [ + 3][ ] f ( x, s ) = x[ + 3][ + ] f ( x, s ) ( ) ( ) + s [][ ][ + ] f ( x, s ) + sx [ + 3][ + ] f ( x, s ) (4) ( ) + ( ) 3 + s [ + ][ + 4] f ( xs, ) ( ) 4 6

17 Die etwas ühsae Verifiatio sei de Leser überlasse Für = a a die Tere [ ][ ] ürze ud erhält die Reursio f ( xs, ) = xf ( xs, ) + sxf ( xs, ) + s f ( xs, ) () () () ( ) 3 4 Literaturhiweise [] J L Burchall, A ote o the polyoials of Herite, Quart J Math (94), 9- [] L Carlitz, Soe iversio forulas, Red Circolo Mat Palero, (963), [3] J Cigler, Eleetare Idetitäte, Se Lotharigie Cob, B5a (98), 9 pp [4] J Cigler, Eiige Aaloga der Lucas- ud Fiboacci-Polyoe, Sitzugsber ÖAW (), 3- [5] J Cigler, A siple approach to soe Hael deteriats, arxiv:965 [6] J Cigler, A ew class of Fiboacci polyoials, Electr J Cob (3), #R9 [7] J Cigler ad J Zeg, Two curious aalogues of Herite polyoials, arxiv: 958 [8] J Cigler, Lucas polyoials ad associated Rogers-Raaua type idetities, arxiv:9765 [9] J Cigler, Soe operator idetities related to Herite polyoials, arxiv: 63 [] G-C Rota, Fiite Operator Calculus, Acadeic Press 975 [] A Varva, Roo ubers ad the oral orderig proble, J Cob Th A (5),