Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

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1 ie atürliche, gaze ud ratioale Zahle Ihaltsverzeichis.1 ieatürlichezahle iegazezahle ieratioalezahle Aufgabe ie Zahleege N, Z, Q ud R der atürliche, gaze, ratioale ud reelle Zahle sid aus der Schulzeit beat. Wir betrachte i diese Kapitel urz eiige weige Aspete, die die atürliche, gaze ud ratioale Zahle betreffe, soweit wir diese i der Igeieuratheati beötige. e größte Rau it hierbei die vollstädige Idutio ei, die Afäger üblicherweise Problee bereitet. Oftals hilft es, eifach ur stur das Rezept durchzuführe, das Verstädis ot i Laufe der Zeit. ie reelle Zahle ehe ehr Rau ei, wir üer us u diese i ächste Kapitel..1 ie atürliche Zahle Es ist N f1; ; 3; : : :g die Mege der atürliche Zahle. Wolle wir außerde die Null it eibeziehe, so schreibe wir N 0 N [f0g f0; 1; ; : : :g. Matheatier erläre die atürliche Zahle ausgehed vo der leere Mege, wir higege betrachte die atürliche Zahle itsat der us vertraute Aordug, Additio ud Multipliatio dieser Zahle als gegebe ud wolle dies icht läger hiterfrage. Wir werde i spätere Kapitel ier wieder vor de Proble stehe, eie Aussage für alle atürliche Zahle N 0 bzw. für alle atürliche Zahle ab eie 0 N zu begrüde. Spriger-Verlag Berli Heidelberg 015 C. Karpfiger, Höhere Matheati i Rezepte, OI / _ 11

2 1 ie atürliche, gaze ud ratioale Zahle Beispiel.1 Für alle atürliche Zahle 1 gilt P 1.C1/. Für alle atürliche Zahle 0 ud q R f1g gilt P q C1. Für alle atürliche Zahl 1 ist die Zahl a 5 1 ei Vielfaches vo 4. ie vollstädige Idutio ist eie Methode, it der a solche Aussage oftals begrüde a. Rezept: Vollstädige Idutio Gegebe ist für ei N 0 die Aussage A./. U zu begrüde, dass die Aussage A./ für alle 0 N 0 gilt, gehe wie folgt vor: 1. Idutiosafag: Zeige, dass die Aussage A. 0 / gilt.. Idutiosbehauptug: Ni a, dass die Aussage A./ für ei N 0 it 0 gilt. 3. Idutiosschluss: Zeige, dass die Aussage A. C 1/ gilt. Astelle vo Idutiosbehauptug (IB) sagt a auch Idutiosvoraussetzug, ud astelle vo Idutiosschluss (IS) sagt a auch Idutiosschritt. e Idutiosafag ürze wir it IA ab. Bevor wir erläuter, waru die vollstädige Idutio die Begrüdug für A./ gilt für alle 0 liefert, betrachte wir Beispiele (vgl. Beispiel.1): Beispiel. Wir zeige it vollstädiger Idutio: X 1.C1/ für alle N : (1) IA: ie Forel stit für 0 1, da lis P 1 1 steht. 1 ud rechts 1.1C1/ 1 () IB: Wir ehe a, dass die Forel P 1.C1/ für ei N 0 it 1 gilt. (3) IS: a die Forel für N 0 gilt, erhalte wir für C 1: XC1 C 1 C 1 X 1 C 1 C.C1/.C1/.C/ :

3 .1 ie atürliche Zahle 13 Wir zeige it vollstädiger Idutio: X q C1 für alle N 0 ud q R f1g : (1) IA: ie Aussage stit für 0 0, da lis P 0 q q 0 1 ud rechts 1 steht. 1 () IB: Wir ehe a, dass die Forel P q C1 für ei N 0 it 0 gilt. (3) IS: a die Forel für N 0 gilt, erhalte wir für C 1: XC1 q q C1 C Wir zeige it vollstädiger Idutio: X qc1 q C C C1 q q C1 C C1 C für alle N W a für ei N : (1) IA: ie Aussage stit für 0 1,daa gilt, wähle 1. () IB: Wir ehe a, dass a für ei N ud ei N gilt. (3) IS: a die Forel für N gilt, erhalte wir für C 1: a C1 5 C C1/5 145 C5 145 C4 4.5 C/: : Mit 0 5 C erhält a a 4 0. Waru it dieser vollstädige Idutio die Aussage A./ für alle 0 N 0 begrüdet werde, acht a sich u gaz eifach lar: Bei Idutiosafag wird gezeigt, dass die Aussage A. 0 / für das erste 0 gilt. a die Aussage A. 0 / gilt, gilt ach de Idutiosschritt auch A. 0 C 1/. Ud da u A. 0 C 1/ gilt, gilt ereut ach de Idutiosschritt A. 0 C / usw. Ma spiele dies i obige Beispiele durch ud ache sich dabei lar, dass das azwischeschalte der Idutiosbehauptug ei äußerst geschicter Zug ist, u it ur eie Idutiosschritt die Aussage für uedlich viele atürliche Zahle zu begrüde. Wir begrüde eie weitere Forel it vollstädiger Idutio. azu beötige wir zwei Begriffe: ie Faultät vo N ist defiiert als das Produt der Zahle vo 1 bis : Š. 1/ ::: 1 ud 0Š 1:

4 14 ie atürliche, gaze ud ratioale Zahle Zu Beispiel: 1Š 1; Š 1 ; 3Š 31 6; 4Š ; 5Š : Für ; N 0 it et a die Zahl Š Š./Š Bioialoeffiziet über. Er gibt a, wie viele verschiedee -eleetige Teilege eie Mege it Eleete besitzt. Es gilt: 3 3Š 0 0Š3Š 1; 3 3Š 1 1ŠŠ 3; 3 3 3; 1: 3 Beispiel.3 Wir zeige it vollstädiger Idutio: für alle a; b R ud alle N 0 W.a C b/ X a b : (1) IA: ie Forel stit für 0 0, da lis.acb/ 0 1 ud rechts P 0 0 a b 0 1 steht. () IB: Wir ehe a, dass.a C b/ P a b für ei N gilt. (3) IS: a die Forel für N gilt, erhalte wir für C 1 it der Aufgabe.(c):.a C b/ C1.a C b/.a C b/ IB.a C b/ X a b X X a a b C b a b X X a C1 b C a b C1 XC1 X a b C1 C a b C1 1 1 a C1 b 0 C X a 0 b C1 C 0 1 C 1 a C1 b 0 C C 1 X a 0 b C1 C C XC1 C 1 a b C1 : C 1 a b C1 C 1 a b C1

5 . ie gaze Zahle 15 Wir habe i diese Abschitt drei wichtige Forel eegelert ud begrüdet, wir fasse diese zusae: Wichtige Forel Für alle atürliche Zahle N 0 bzw. q R bzw. a; b R gelte: P.C1/ (Gauß sche Sueforel). 1 8 P < C1 q, falls q 6 1 (geoetrische Sueforel). : C 1, falls q 1.a C b/ P a b (Bioialforel).. ie gaze Zahle ie Mege Z der gaze Zahle Z f:::; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; : : :g f0; 1; ; 3; :::g ist it ihrer Aordug < <1 <0<1< ud Additio ud Multipliatio gazer Zahle aus der Schulzeit beat, ebeso die folgede Regel: a.1/ a für alle a Z,.a/.b/ ab für alle a; b Z, a<b ) a>b, ab > 0 ).a; b > 0 _ a; b < 0/ für a; b Z, a C x b hat die Lösug x b C.a/ b a für alle a; b Z..3 ie ratioale Zahle Auch die Mege Q der ratioale Zahle o Q j Z; N ist it ihrer Aordug < 0 0, 0 < 0

6 16 ie atürliche, gaze ud ratioale Zahle ud der Additio ud Multipliatio ratioaler Zahle C C 0 0 ud aus der Schulzeit beat, ebeso die folgede Regel: 0, 0 0, 0 für alle 6 0, isbesodere also, ax b hat die Lösug x b, falls a 6 0. a Jede ratioale Zahl etweder edlich, also Q lässt sich als ezialzahl darstelle. iese arstellug ist a:a 1a :::a ; oder periodisch, also a:a 1a :::a b 1 b :::b` ; it a Z ud a i ;b i f0;:::;9g. Beispiel.4 urch suzessive ivisio erhält a: 9 8 1:15; :36 0: : : : ie ezialdarstellug vo lässt sich ier durch ivisio vo durch fide. Wie fidet a aber die Bruchdarstellug aus der ezialdarstellug? Wir zeige das a Beispiele, das allgeeie Vorgehe ist da sofort lar: Beispiel.5 Bei edliche ezialzahle hilft Erweiter ud Kürze: 1:15 1: : Bei periodische ezialdarstelluge behelfe wir us it eie Tric: Wir setze a 0:36. Es gilt da: 100 a a 36,.100 1/ a 36, 99 a 36, a : Oder, falls wir eie Bruchdarstellug vo a 0:554 suche: a ƒ 100 a 9900a 554:54 5:54 59, a :

7 .4 Aufgabe 17.4 Aufgabe.1 Beweise Sie die folgede Aussage ittels vollstädiger Idutio: (a) Für alle N gilt: Eleete öe auf 1 Š verschiedee Arte ageordet werde. (b) ie Sue über die erste ugerade Zahle liefert für alle N de Wert. (c) ie Beroulli sche Ugleichug.1 C x/ 1 C x gilt für alle reelle Zahle x 1ud alle N. (d) Für jedes N ist die Zahl 4 C1 C 3 C durch 13 teilbar. (e) Für alle N gilt: P i1.i 1/ C 3 5/. (f) Für alle N gilt: P 1 Š. C 1/Š 1: (g) Für alle N gilt: P i0 i C1 1. (h) Für alle N >4 gilt: >. (i) ie Fiboacci-Zahle F 0 ;F 1 ;F ;::: sid reursiv defiiert durch F 0 0, F 1 1 ud F F 1 C F für. Für alle N gilt: P i1.f i / F F C1.. Zeige Sie, dass für die Bioialoeffiziete die folgede Recheregel gelte, dabei sid ; N 0 it : (a) ; (b) 1 0 ; (c) C1 C 1 :.3 Stelle Sie die folgede ezialzahle x i der For x p q dar: it p Z ud q N (a) x 10:14; (b) x 0:09; (c) x 0;14857:.4 I eie Neubaugebiet wurde ierhalb eies Zeitraues vo etwa 1 Jahre isgesat 4380 Woheiheite fertiggestellt. Pro Tag wurde jeweils eie Wohug bezugsfertig. Vo Bezugstag der erste Wohug bis eie Tag ach Übergabe der letzte Eiheit wurde vo de Bewoher isgesat 1: Wh Stro verbraucht. Erittel Sie de durchschittliche Verbrauch pro Tag ud Wohug..5 Ei Hypotheedarlehe über C wird it 7 % jährlich verzist ud it gleichbleibeder Rate A (Auität) jeweils a Ede eies Jahres getilgt. Wie groß uss A sei, we das arlehe it der 0. Tilgugsrate gaz zurücgezahlt sei soll?

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