HTBLA VÖCKLABRUCK STET

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1 HTBLA VÖCKLABRUCK STET

2 Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG DARSTELLUNG EINER FOLGE BEISPIELE ENDLICHE REIHE ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN MONOTONE UND BESCHRÄNKTE FOLGEN GRENZWERT - KONVERGENZ - DIVERGENZ VON FOLGEN UNENDLICHE REIHEN... 13

3 Folge ud Reihe 3 1. EINFÜHRUNG Es ist gleichgültig i welcher Reihefolge die Elemete eier Zahlemege ageschriebe werde. z. Bsp.: { 1,, 3 } = {, 1, 3 } = { 3, 1, } We ma aber die Elemete i eier bestimmte Reihefolge aordet, spricht ma vo eier Folge. Def.: Eie uedliche (edliche) Folge ist darstellbar durch eie Fuktio, dere Defiitiosmege die Mege N ist. Die Fuktioswerte f(1), f(), f(3),..., f(),... die ma kurz mit a 1, a, a 3,..., a,... bezeichet, heiße Glieder der Folge. Statt < (1;a 1 ), (,a ),...> schreibt ma kurz < a 1, a, a 3,... >. Bemerkug: a 1... Afagsglied a... - te Glied Bemerkug: Eie Folge, dere Gliederazahl edlich ist, et ma edliche Folge. We die Gliederazahl uedlich ist, so spricht ma vo eier uedliche Folge.. DARSTELLUNG EINER FOLGE Darstellug eier Folge durch: a) Agabe aller Glieder eier Folge ( bei edliche Folge!) b) Agabe des erzeugede Terms Bsp.: Term: D = N 4 c) Rekursiosformel Bsp.: a +1 = a + a 1 = -3 d) verbal formulierte Bildugsvorschrift Bsp.: Die Folge der ihrer Größe ach geordete Primzahle

4 Folge ud Reihe 4 3. BEISPIELE a) a ( ) = 1 b) a 3 c) a = = 4 4. ENDLICHE REIHE Def.: Uter eier edliche Reihe versteht ma die agezeigte, aber icht ausgerechete Summe der Glieder eier edliche Folge. Bsp.: < 1, 5, 9> Reihe: Allgemei: < a 1, a, a 3,... >. Reihe: a 1 + a + a a = a i Bemerkug: Addiert ma die erste - Glieder eier Folge, so et ma diese Summe die - te Teilsumme (Partialsumme) der zugehörige Reihe. i= 1 d.h. s 1 = a 1 s = a 1 + a s 3 = a 1 + a + a 3 s = a 1 + a + a a 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN Def.: Ist i eier Folge die Differez zweier Nachbarglieder kostat, so spricht ma vo eier arithmetische Folge. Bsp.: < 1, 7, 13, 19 > Allgemei: < a 1, a, a 3,...,a >. a 1 a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d a = a -1 + d = a 1 + (-1)d

5 Folge ud Reihe 5 Es gilt: a) a = a 1 + (-1)d b) a = a + a Bsp.: Additio der gaze Zahle vo 1 bis 100 ( Carl Friedrich Gauss ) s = s = s = = s = ( + ) a a Es gilt: s = ( + ) = [ a + ( ) d] Beispiele: a) AR: a 1 = 9, d = 5 s 11 =? b) AR: s = 0, a 3 = 17, a 6 = 38 ges.: 6. GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN Def.: Eie geometrische Folge ist eie Folge, bei der der Quotiet zweier Nachbarglieder kostat ist. Bsp.: < 3, -6, 1, -4 > Allgemei: a = a 1. q a 3 = a. q = a 1. q a 4 = a 3. q = a 1. q 3 a = a -1. q = a 1. q -1

6 Folge ud Reihe 6 Es gilt: a) a = a 1. q -1 b) a a. a = c) s a q 1 1. q 1 = 1 q a 1. 1 q für q > 1 für q < 1 Bemerkug: Für q = 1 ist c) icht defiiert! I diesem Fall ist die Folge kostat ud es gilt : s =. a 1 Bsp.: GF b 1 =, b 5 = 16 q =? Bsp.: GR b 1 = 3, b 4 = 4 s 6 =? Bsp.: Das zweite Glied eier geometrische Folge ist um vier größer als das erste ud das dritte um eu kleier als das vierte. Wie lautet die Folge?

7 Folge ud Reihe 7 Bsp.: Die Summe der drei Glieder eier geometrische Reihe ist 39. Die Summe ihrer Quadrate ist 741. Wie lautet die Reihe?

8 Folge ud Reihe 8 7. MONOTONE UND BESCHRÄNKTE FOLGEN Def.: Eie Folge < a > heißt mooto wachsed, we N : a +1 a. Eie Folge < a > heißt streg mooto wachsed, we N : a +1 > a. Def.: Eie Folge < a > heißt mooto falled, we N : a +1 a. Eie Folge < a > heißt streg mooto falled, we N : a +1 < a. Bsp.: a = Bsp.: a = 1 Bsp.: a = 1 Welche Art der Mootoie liegt vor? Def.: Eie Folge < a > heißt beschräkt, we es zwei reelle Zahle b ud B gibt, sodaß die Ugleichug b a B für jedes Glied der Folge erfüllt ist. b... utere Schrake B... obere Schrake Bemerkug: Jede Zahl, die größer als eie obere Schrake B ist, ist gleichfalls eie obere

9 Folge ud Reihe 9 Schrake. Etsprechedes gilt für utere Schrake. Bsp.: a = a) Art der Mootoie? b) Ist 5 eie obere Schrake? c) Ist 4 eie obere Schrake? Bsp.: Welche Glieder der Folge < > sid größer als 63? Bsp.: a = + lg Mootoie?

10 Folge ud Reihe GRENZWERT - KONVERGENZ - DIVERGENZ VON FOLGEN Bemerkug: Folge, dere Glieder sich mit wachseder Gliedummer immer mehr der Zahl Null äher, ohe sie zu erreiche, heiße Nullfolge. Bsp.: a) < 1 > b) < > Ma sagt: Die Folge kovergiere gege Null bzw. habe de Grezwert Null. Def.: Uter der ε - Umgebug der reelle Zahl a versteht ma das offee Itervall ] a - ε, a + ε[ : U (a; ε) = { x R / a - ε < x <a + ε } Bsp.: U (;0.5 ) = Bsp.: Ma bereche, wieviele Glieder der Folge mit dem Bildugsgesetz < der U(0; 1 10 ) liege > außerhalb

11 Folge ud Reihe 11 Def.: We i eier Umgebug U(a; ε) alle Elemete eier uedliche Folge mit Ausahme vo edlich viele Elemete liege, so sagt ma: I U(a; ε) liege fast alle Glieder dieser Folge. Def.: Eie Folge < a 1, a, a 3,... > heißt koverget gege de Grezwert a, we: ε > 0 eie ( vo ε abhägige ) Nummer N: a a < ε > N Schreibweise: a = lima Jede Folge, die icht kovergiert, heißt diverget. Bsp.: z.z. < 1 > 0 Satz: Eie mooto wachsede (fallede) Folge i R ist geau da koverget i R, we sie ach obe (ute) beschräkt ist. d.h. Um die Kovergez eier Folge zu zeige, geügt es, ihre Mootoie ud Beschräktheit achzuweise. Bsp.: <a > = < 1 4 > ε = 0.01 z.z. <a > 0 ud wieviele Glieder außerhalb der ε - Umgebug liege.

12 Folge ud Reihe 1 Es gilt: ( ) lim a + b = lima + limb ( ) lim a b = lima limb ( ) lim a b = lima limb a lim b lima = lim b 0, b 0 N limb Bsp.: lim = Bsp.: lim + = 3 1

13 Folge ud Reihe UNENDLICHE REIHEN Def.: Eie uedliche Reihe a 1 + a + a heißt geau da koverget, we ihre Partialsummefolge kovergiert. De Grezwert S der Partialsummefolge bezeichet ma als Summe der Reihe: S = lim s Divergiert dagege die Folge der Partialsumme der gegebee Reihe, so heißt diese diverget, sie hat keie Summe. Bsp.: Bsp.: Bemerkug: Die uedliche arithmetische Reihe ist diverget (Ausahme: ). Ählich verhält es sich mit der uedliche geometrische Reihe, we der Quotiet q 1 ist. Bemerkug: Die uedliche geometrische Reihe b 1 + b 1 q + b 1 q +... ist geau da b1 koverget, we q < 1 ist. I diesem Fall : S = da, 1 q

14 Folge ud Reihe 14