Besprechung: S. 1/1

Transkript

1 Übug 8 Aufgabe 8.1 Sei P R ei Polytop mit P Z =vert(p ). Zeige Sie, dass vert(p ) 2. Aufgabe 8.2 Sei P V ei ratioales Polyeder. Zeige Sie, dass P ebefalls ei ratioales Polyeder ist. Aufgabe 8.3 Sei u 1,...,u reduzierte Basis vo Λ. Beweise Sie, dass u mi u Λ\{ 0 } u. Aufgabe 8.4 Seie u 1,...,u Z liear uabhägige Vektore. Weiter seie K = coe(u 1,...,u ) ud Zeige Sie, dass P = α i u i 0 <α i 1 für i =1,...,. x w = w it(k) Z x u u P Z 1 1 x u i ud x w =( 1) x w. w it(k) Z w K Z Besprechug: S. 1/1

2 Übug 7 Aufgabe 7.1 Eie Mege S V heißt Halbgruppe, falls für alle x, y S auch x + y S gilt. Eie Teilmege X S heißt Erzeugedesystem vo S, falls es zu jedem s S Elemete x 1,...,x k X ud Zahle λ 1,...,λ k Z 0 gibt, mit s = λ 1 x λ k x k. Beweise Sie, dass jede Halbgruppe S Z ei edliches Erzeugedesystem hat ud fide Sie eie Halbgruppe T Z 2, die kei edliches Erzeugedesystem hat. Aufgabe 7.2 Sei Λ R 2 ei Gitter. Beweise Sie, dass es eie Basis u 1,u 2 vo Λ gibt, für die der Wikel zwische u 1 ud u 2 zwische 60 ud 90 liegt. Aufgabe 7.3 Sei Λ V ei Gitter. Eie Mege vo Vektore u 1,...,u k heißt primitiv, falls sie eie Basis des Gitters Λ li { u 1,...,u k } bilde. Beweise Sie, dass das für Λ=Z geau da der Fall ist, we der größte gemeisame Teiler aller Determiate vo (k k)-miore der Matrix U =(u 1,...,u k ) geau 1 ist. Aufgabe 7.4 Seie 1,..., homogee lieare Forme, gegebe durch i (x) =a i1 x a i x, mit a ij R für 1 i, j. Sei A =(a ij ) ij die Matrix dieses Systems ud sei det A = 0.Weiterseie τ i R >0 für 1 i mit τ 1 τ 2 τ det A. Zeige Sie, dass es ei z Z \{0 } gibt, mit i (z) τ i, für 1 i. Besprechug: S. 1/1

3 Übug 6 Aufgabe 6.1 Seie P 1 ud P 2 Polyeder i V. Zeige Sie: P 1 ud P 2 sid geau da stark kombiatorisch isomorph, we es eie Bijektio α: vert(p 1 ) vert(p 2 ) gibt mit fcoe(p 1,v) = fcoe(p 2,α(v)) für jede Ecke v vert(p 1 ). Aufgabe 6.2 Sei P V ei Polytop. Beweise Sie v vert(p ) Φ [fcoe(p, v)] =0. Aufgabe 6.3 Drücke Sie das Volume des Eiheitswürfels C =[0, 1] i R durch die Formel aus Korollar 8.2 ii) aus. Aufgabe 6.4 Sei a =(α 1,...,α ) R ei Vektor mit paarweise verschiedee Koordiate ud sei P die kovexe Hülle der! Pukte, die aus a durch Permutatioe der Koordiate hervorgehe. Beweise Sie, dass P ei eifaches Polytop der Dimesio 1 ist, dass i der affie Hyperebee A = { (x 1,...,x ) R x x = α α } liegt. Drücke Sie außerdem das Volume vo P als Polytop im ( 1)-dimesioale Raum A mit Hilfe der Formel aus Korollar 8.2 ii) aus. Besprechug: Mittwoch, S. 1/1

4 Übug 5 Aufgabe 5.1 Beweise Sie Satz 6.4. Hiweis: Kombiiere Sie die Beweise vo Satz 5.4 ud Satz 6.3. Beweise Sie die Aussage zuächst für das Simplex ud wede Sie schließlich eie geeigete Projektio a. Aufgabe 5.2 Sei P V ei ubeschräktes Polyeder der Dimesio, das keie Gerade ethält. Sei fi 0 (P ) die Azahl der beschräkte i-dimesioale Seite vo P,seifi (P ) die Azahl der ubeschräkte i-dimesioale Seite vo P ud sei f i (P )=fi 0 (P )+fi (P ) die Gesamtzahl der i-seite. (Wir betrachte P als -Seite vo sich selbst.) Beweise Sie 1 i=0 ( 1) i f 0 i (P )=1, ( 1) i+1 fi (P )=1 ud ( 1) i f i (P )=0. i=0 Aufgabe 5.3 Sei P V ei Polytop der Dimesio. BeweiseSie ( 1) [it P ]= F P Seite (Wir betrachte P als Seite vo sich selbst.) ( 1) dim F [F ]. Aufgabe 5.4 Sei P V ei ubeschräktes Polyeder, das keie Gerade ethält. Beweise Sie χ([it P ]) = 0. Besprechug: S. 1/1

5 Übug 4 Aufgabe 4.1 Wir ersetze die Fuktio G ε aus dem Beweis vo Satz 4.3 durch 1 falls x, y 1, G(x, y) = 0 sost. Sei D diejeige Abbildug, die durch D(f) =h für h(y) =χ G(x, y)f(x) defiiert wird. Beweise Sie, dass D : C(V ) Bild( D) eie lieare Abbildug ist ud bereche Sie D([B]), wobei B V eie Kugel vom Radius 1 um de Nullpukt ist. Aufgabe 4.2 Seie f ud g Liearkombiatioe vo Idikatorfuktioe polyedrischer Kegel i V.SeiD die Abbildug aus Satz 4.3 iii). Zeige Sie, dass D(f g) =D(f) D(g). Aufgabe 4.3 Sei P = { x V i (x) α i,i I } ud für v P sei wie gehabt I v = { i I i (v) =α i }.BeweiseSie ud tcoe(p, v) ={ x V i (x) α i,i I v } fcoe(p, v) ={ x V i (x) 0,i I v }. Aufgabe 4.4 Sei P V, P =, ei Polyeder, das keie Gerade ethält ud seie Q die kovexe Hülle der Ecke ud C P der Rezessioskegel vo P. Beweise Sie, dass für jede Ecke v vo P gilt tcoe(p, v) = tcoe(q, v)+c P. Aufgabe 4.5 Sei P V, P =, ei Polyeder, das keie Gerade ethält ud sei C P der Rezessioskegel vo P. Beweise Sie, dass [fcoe(p, v)] [C P ] modulo Polyeder mit Gerade. v vert(p ) Aufgabe 4.6 Sei P V ei Polyeder, F P eie Seite vo P ud sei v rel it(f ). Beweise Sie, dass tcoe(p, v) ud fcoe(p, v) icht vo der Wahl vo v abhäge. Ma ka also vo Tagetekegel tcoe(p, F) ud Kegel der zulässige Richtuge fcoe(p, F) eier Seite F vo P spreche. Besprechug: Diestag, S. 1/1

6 Übug 3 Aufgabe 3.1 Seie P 1,P 2 V icht-leere Polyeder ud sei Q = P 1 + P 2 ihre Mikowski-Summe. Beweise Sie, dass jede Seite F vo Q i der Form F = G + H geschriebe werde ka, wobei G Seite vo P 1 ud H Seite vo P 2 ist. Aufgabe 3.2 Seie P 1,P 2 V icht-leere Polyeder ud sei Q = P 1 P 2. Beweise Sie, dass jede Ecke v vo Q i der Form v = F 1 F 2, geschriebe werde ka, wobei F i Seite vo P i ist ud dim F 1 +dimf 2 dim V. Aufgabe 3.3 (Satz vo Birkhoff vo Neuma) Im Raum der Matrize X =(x ij ) sei P die Mege derjeige Matrize, die die Gleichuge x ij =1 für i =1,..., ud j=1 sowie die Ugleichuge x ij =1 für j =1,..., x ij 0 für alle i, j erfülle. Beweise Sie, dass P ei Polytop der Dimesio ( 1) 2 ist ud dass desse Ecke geau die Permutatiosmatrize X sid, die geau eie Eitrag 1 ud 1 Eiträge 0 i jeder Zeile ud jeder Spalte habe. Hiweis: Beweise Sie, dass uter de Eiträge jeder Ecke vo P midestes ( 1) 2 Nulle auftrete. Aufgabe 3.4 Seie r 1,...,r m ud c 1,...,c positive gaze Zahle mit m r i = c j. j=1 Im Raum der m Matrize X =(x ij ) betrachte wir das Trasportatiospolytop P, bestehed aus dejeige Matrize, die die Gleichuge x ij = r i für i =1,...,m ud j=1 sowie die Ugleichuge m x ij = c j für j =1,..., x ij 0 für alle i, j erfülle. Beweise Sie, dass eie Ecke X vo P ur gaze Eiträge hat. Besprechug: S. 1/1

7 Übug 2 Aufgabe 2.1 Fide Sie Beispiele für abgeschlossee kovexe Mege A, B, C V ud eie lieare Trasformatio T : V W, sodass icht abgeschlosse sid. T (A) ud B + C Aufgabe 2.2 Seie V ud W Vektorräume ud T : V W eie lieare Abildug ud sei T : P(V ) P(W ) wie i Satz 2.2. Zeige Sie, dass T (f g) = T (f) T (g). Aufgabe 2.3 Sei I := { (ξ 1,ξ 2 ) 0 ξ 1,ξ 2 1 } das Quadrat i der Ebee. Zeige Sie, dass [I] [ it I] = [0] gilt, wobei it I = { (ξ 1,ξ 2 ) 1 <ξ 1,ξ 2 < 0 }. Aufgabe 2.4 Zeige Sie, dass die Idikatorfuktio [P ] eies ubeschräkte Polyeders P V ei Nullteiler ist, d. h. fide Sie ei f P(V ) mit f [P ]=0. Aufgabe 2.5 Wie viele Seite hat der d-dimesioale Würfel C = { (ξ 1,...,ξ d ) 0 ξ i 1 für i =1,...,d}? Besprechug: S. 1/1

8 Übug 1 Aufgabe 1.1 Seie a ud b teilerfremde positive Zahle ud sei S := { m 1 a + m 2 b m 1,m 2 Z + } die Mege der Liearkombiatioe vo a ud b mit icht-egative Koeffiziete. Zeige Sie, dass x m = m S 1 x ab (1 x a )(1 x b ) Gebe Sie eie Iterpretatio der Formel für x < x 1 x ab (1 x a )(1 x b ) ud vereifache Sie diese für a =3ud b =7. Aufgabe 1.2 Sei P R 2 ei allgemeies Gitterpolygo, also die Vereiigug vo edliche viele eifache Gitterpolygoe die selbst Gitterpolygo ist. Beweise Sie zuächst die kombiatorische Eulercharakteristik χ(p )=F E + V, dabei F die Zahl der Fläche, E die der Kate ud V die der Ecke. Beweise Sie da de Satz vo Pick vol(p )=G(itP)+ 1 2 G(bd P ) χ(p ). Aufgabe 1.3 Beweise Sie die Iklusios-Exklusios-Formel X i = für Mege X i V, i =1,...,. Aufgabe 1.4 Sei I { 1,..., } I= ( 1) I 1 X i i I C := { (ξ 1,...,ξ d ) 0 <ξ i < 1 für i =1,...,d} der offee d-dimesioale Würfel im R d. Zeige Sie [C] P(R d ) ud χ([c]) = ( 1) d. Besprechug: S. 1/1