Ein Alternativsatz über die Disjunktheit punktierter konvexer Kegel

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1 Ei Alterativsatz über die Disjuktheit puktierter kovexer Kegel Rudolf Pleier ui 2015 Mittels des Treugssatzes vo Eidelheit (beat ach dem polische Mathematiker Meier Eidelheit, ), ach dem ei ichtleerer abgeschlosseer kovexer liearer Kegel ud eie ichtleere kompakte kovexe Mege im Falle ihrer Disjuktheit durch eie affie Hyperebee strikt getret werde köe, ka der folgede Alterativsatz über die Disjuktheit puktierter kovexer Kegel bewiese werde. Der Teil b) dieses Satzes, i dem der kovexe lieare Kegel speziell ei liearer Uterraum ist, steht im ege Zusammehag mit dem Satz vo Stiemke (beat ach dem deutsche Mathematiker Erich Stiemke, ) ud dem Mikowski-Farkas-Lemma (beat ach dem ugarische Physiker ud Mathematiker ulius Farkas, , ud dem deutsche Mathematiker ud Physiker Herma Mikowski, ). Mit ihm ka sowohl im determiistische als auch im stochastische Fall eies arbitragefreie vollkommee Kapitalmarkts für de Uterraum der Kapitalmarktgeschäfte die Existez eies strikt positive Normalevektors, des sog. Preisvektors P bzw. Diskotierugsprozesses (Zustadspreisprozesses), achgewiese werde. Bei determiistischem uvollkommee Kapitalmarkt ka die Existez eies positive Normalevektors P ur für de Liieraum der vollkommee Kapitalmarktgeschäfte ud icht für de gesamte (im Allgemeie icht topologisch abgeschlossee) Kegel der Kapitalmarktgeschäfte gefolgert werde. Beweise für die achfolgede Sätze, die Zusätze ud de Vergleich der ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke mit dem Mikowski-Farkas-Lemma fidet ma im Buch des Autors auf S. 607f, 614f, ud bei de Dowload-Theme auf der Autorewebsite Satz 1 Alterativsatz über die Disjuktheit puktierter kovexer Kegel a) Der ichtleere abgeschlossee kovexe lieare Kegel T ud der puktierte ichtegative Orthat (bzw. der schwach positive Orthat) = {x : x o x o} sid geau da disjukt, we es eie positive Vektor a im polare Kegel T P = {z : z T x 0 x T} vo T gibt ud somit T i eiem abgeschlossee homogee Halbraum H a = {x : a T x > 0} ud,0 im offee homogee Halbraum H a,0 = {x : a T x > 0} mit positivem Normalevektor a liegt: T = = T P. Der Satz lässt sich auch als Alterativsatz formuliere: Es hat also etweder T mit dem puktierte ichtegative Orthate eie leere Durchschitt oder TP mit dem (strikt) positive Orthate = {x : x > o} eie leere Durchschitt. Es gilt also etweder T = oder T P =. Eie äquivalete Formulierug lautet: Es hat etweder T mit dem puktierte ichte-

2 2 gative Orthate eie ichtleere Durchschitt oder es besitzt T P mit dem positive Orthate eie ichtleere Durchschitt. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ; (2) T P. b) Der lieare Uterraum T ud der puktierte ichtegative Orthat sid geau da disjukt, we eie positive Vektor a im orthogoale Komplemet T gibt ud somit T i eier homogee Hyperebee H a,0 = {x : a T x = 0} ud im offee homogee Halbraum H a,0 mit positivem Normalevektor a liegt: T = T. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ; (2) T. a) b) Abb. 1 Ei abgeschlosseer kovexer liearer Kegel T ud ei liearer Uterraum T, die jeweils zum puktierte ichtegative Orthate disjukt sid, ud ei positiver Vektor a T P bzw. T Zusatz 2 Disjuktheit eier Hyperebee ud des schwach positive Orthate Die lieare Hyperebee H a,0 ud der schwach positive Orthat sid geau da disjukt, we es eie positive (oder egative) Normalevektor a der Hyperebee gibt. Bei positiv gewähltem Normalevektor a der Hyperebee H a,0 liegt der schwach positive Orthat im offee homogee Halbraum H a,0 : H a,0. Mit dem gleiche Beweisweg wie für de obige Satz 1 lässt sich der Satz auch och verallgemeier, idem die Positivität der Kompoete des Vektors a T P icht für alle Idizes j I := {1,,}, soder ur für die Idizes j eier Teilmege I charakterisiert wird. Zur Formulierug verwedet ma als Verallgemeierug des schwach positive Orthate desse Teilmege, für dere Vektore x die Kompoete x i für die Idizes i I \ de Wert Null habe, die Kompoete x j für die restliche Idizes j ichtegativ sid ud midestes ei Idex k existiert mit x k > 0: 2015 Rudolf Pleier D Etzericht

3 3 = {x : x i = 0 i I \, x j 0 j, k mit x k > 0} = H e i,0 i I \ = {y = y je j : y j 0} \ {o}. j = coe {e j : j } \ {o}. Die Mege ist der schwach positive Orthat i dem Teilraum vo, der durch die lieare Gleichuge x i = 0 für die i I \ beschriebe wird, ud auch eie Teilmege des schwach positive Orthate des. Weiter ist der (im Nullpukt) puktierte vo de spezielle Stadardbasisvektore e j, j, aufgespate kovexe lieare Kegel. Als Spezialfall ergibt sich für mit = I I der gesamte schwach positive Orthat = des. Weiter defiiert ma als Verallgemeierug des positive Orthate umfagreichere Teilmege = {x : x j > 0 j } = e,0 j H j i die des, bei der jetzt über die Vorzeiche der Kompoete x i (i I \ ) keie Aussage gemacht wird. Als Spezialfall erhält ma für mit = I I de (strikt) positive Orthate = Die Mege ist der puktierte kovexe lieare Kegel zum kovexe lieare Kegel {o} = {x : x j > 0 j oder x = o}. Satz 3 Allgemeierer Alterativsatz über die Disjuktheit puktierter kovexer Kegel a) Es sei eie Teilmege der Idexmege I = {1,,}. Der (ichtleere) abgeschlossee kovexe lieare Kegel T ud der puktierte kovexe lieare Kegel sid geau da disjukt, we es eie Vektor a = (a 1,,a ) T im polare Kegel T P mit de positive Kompoete a j für die Idizes j gibt: T = TP. I diesem Fall liegt T i abgeschlossee homogee Halbraum H a,0 ud. im offee homogee Halbraum H a,0 mit Normalevektor a. Der Satz lässt sich auch als Alterativsatz formuliere: Es hat etweder T mit dem puktierte kovexe lieare Kegel eie ichtleere Durchschitt oder es besitzt T P mit dem puktierte kovexe lieare Kegel eie ichtleere Durchschitt. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ; (2) T P. b) Der lieare Uterraum T ud der puktierte kovexe lieare Kegel sid geau da disjukt, we es eie Vektor a im orthogoale Komplemet T mit de positive Kompoete a j für die Idizes j gibt ud somit T i eier homogee Hyperebee H a,0 ud im offee homogee Halbraum H a,0 mit Normalevektor a liegt: T = T. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ; (2) T.

4 4 Aus Satz 3 ergebe sich als Spezialfälle mit = I der obige Satz 1 ud mit = {1} der achfolgede Satz 4. Im Falle = {1} ist = coe e 1 \ {o}= ray e 1 \ {o} ud = H e = {x : x 1,0 1 > 0} =: {x 1 > 0}. Die Abbildug 2 gibt eie grafische Darstellug der i Satz 4 beschriebee geometrische Situatio. Der Satz 1 b) liefert eie schöe Awedug i der zeitdiskrete Fiazmathematik, wo er für das Mehrperiodemodell umittelbar die Äquivalez der Arbitragefreiheit, also der Disjuktheit des Uterraums T der Kapitalmarktgeschäfte zum schwach positive Orthate, zur Existez eies positive Preisvektors bzw. Diskotierugsprozesses i T besagt. Der Satz 4 b) liefert für das Mehrperiodemodell eie Beweis für die Äquivalez des Law of Oe Price (LOP) zur Existez eies Bewertugsvektors bzw. Bewertugsprozesses i T {x 1 = 1}. Beim letzte Beweis wird verwedet, dass das LOP äquivalet ist zu T li e 1 = O = {o} bzw. zu T ray e 1 \ {o} = ud dass T {x 1 > 0} gleichbedeuted zu T {x 1 = 1} ist. Satz 4 Spezieller Alterativsatz zur Disjuktheit eies abgeschlossee kovexe Kegels ud des puktierte Strahls des erste Stadardbasisvektors a) Der (ichtleere) abgeschlossee kovexe lieare Kegel T ud der puktierte Strahl ray e 1 \ {o} des erste Stadardbasisvektors e 1 = (1,0,,0) T sid geau da disjukt, we es eie Vektor a = (a 1,,a ) T im polare Kegel T P mit der positive Kompoete a 1 gibt: T ray e 1 \ {o} = T P {x 1 > 0}. I diesem Fall liegt T im abgeschlossee homogee Halbraum H a,0 ud ray e 1 \ {o} im offee homogee Halbraum H a,0 mit Normalevektor a. Der Satz lässt sich auch als Alterativsatz formuliere: Es hat etweder T mit dem puktierte kovexe lieare Kegel ray e 1 \ {o} eie ichtleere Durchschitt oder es besitzt T P mit dem puktierte kovexe lieare Kegel H e eie ichtleere Durchschitt. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ray e 1 \ {o} ; (2) T P {x 1 > 0}. b) Der lieare Uterraum T ud der puktierte Strahl ray e 1 \ {o} sid geau da disjukt, we es eie Vektor a = (a 1,,a ) T im orthogoale Komplemet T mit der positive Kompoete a 1 gibt: T ray e 1 \ {o} = T {x 1 > 0}. I diesem Fall liegt T i der homogee Hyperebee H a,0 ud ray e 1 \ {o} im offee homogee Halbraum H a,0 mit Normalevektor a. Vo de beide folgede Aussage gilt also etweder (1) oder (2): (1) T ray e 1 \ {o} ; (2) T {x 1 > 0}. 1, Rudolf Pleier D Etzericht

5 5 a) b) T o a 1 > 0 ray e \{ o} 1 o a 1 > 0 ray e \{ o} 1 H a,0 a T P T a T Abb. 4 Ei abgeschlosseer kovexer liearer Kegel T ud ei liearer Uterraum T, die jeweils zum puktierte Strahl ray e 1 \ {o} des erste Stadardbasisvektors e 1 disjukt ist, ud ei i der erste Kompoete positiver Vektor a im polare Kegel T p bzw. im orthogoale Komplemet T vo T Beschräkt ma sich i Satz 1, Teil a) auf abgeschlossee kovexe lieare Kegel T, die als Durchschitt vo edlich viele homogee Halbräume gebildet werde, also auf polyedrische Kegel, bzw. ach dem Polyederdarstellugssatz gleichbedeuted dazu auf edlich erzeugte lieare Kegel, so ka desse Aussage i eie Alterativsatz über die Lösbarkeit edlicher liearer Ugleichugssysteme umformuliert werde. Ebeso liefert Satz 1, Teil b) eie etsprechede Alterativsatz, da ei liearer Uterraum T stets als Durchschitt edlich vieler liearer Hyperebee bzw. als Lösugsraum eies homogee lieare Gleichugssystems ud auch als lieare Hülle eier Basis vo T dargestellt werde ka. Zusatz 5 Alterativsatz über die Lösbarkeit vo homogee lieare Ugleichugssysteme Es sei die Matrix L xm gegebe. a) Vo de beide folgede Ugleichugssysteme ist da etweder (1 ) oder (2 ) lösbar: (1 ) z m : Lz o, z o; (2 ) v : v T L o, v > o. b) Satz der Alterative vo Erich Stiemke (1915): Vo de beide folgede Ugleichugssysteme ist da etweder (1 ) oder (2 ) lösbar: (1 ) z m : Lz o; (2 ) v : v T L = o, v > o. De etsprechede Satz über ihomogee lieare Ugleichugssysteme erhält ma mittels eier Variabletrasformatio mit de Matrize b T L = (+1)xm, b m, A mx, T -A L T = (b,-a) ud de Variable z m, v = (1,x) T +1, x. Zusatz 6 Alterativsatz über die Lösbarkeit vo ihomogee lieare Ugleichugssysteme Gegebe sei eie Matrix A mx ud ei Vektor b m. a) Es ist da geau eies der beide folgede Ugleichugssysteme (1 ) oder (2 )

6 6 lösbar: (1 ) z m : ) z o, b T z > 0, A T z o oder β) z o, b T z 0, A T z o; (2 ) x : x > o, Ax b. b) Ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke: Es ist da geau eies der beide folgede Ugleichugssysteme (1 ) oder (2 ) lösbar: (1 ) z m : ) b T z > 0, A T z o oder β) b T z 0, A T z o; (2 ) x : x > o, Ax = b. Der Vergleich der ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke mit dem Mikowski-Farkas-Lemma Das Mikowski-Farkas-Lemma besagt, dass geau eies der beide folgede Ugleichugssysteme (I) oder (II) lösbar ist: (I) z m : b T z > 0, A T z o; (II) x : x o, Ax = b. Im Ugleichugssystem (II) wird mit de ichtegative x eie größere Lösugsmege zugelasse als im Ugleichugssystem (2 ) der ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke mit de positive x. Im Gegezug dazu verkleiert sich i (I) die Lösugsmege auf de Fall ) vo (1 ). Beim Ugleichugssystem (I) des Mikowski-Farkas-Lemmas wird für die schwache Positivität des Vektors Lz = (b T z,-a T z) T im Ugleichugssystem (1 ) also ur der Fall ) ud icht auch och der Fall β) zugelasse. Das Mikowski-Farkas-Lemma bedeutet geometrisch, dass der Vektor b m etweder gemäß (II) i dem vo de Spalte a j m der Matrix A = (a 1,,a ) erzeugte kovexe lieare Kegel liegt, b coe {a 1,,a } = coe A = A( ) 0 = {Ax : x o} = {x 1 a x a : x j 0 für j = 1,,}, oder gemäß (I) sich vo diesem Kegel folgedermaße tree lässt (siehe Abbildug 2): z m : z T b > 0 z T u für alle u coe A, d.h. für alle u = Ax mit x o. Eie Begrüdug für diese geometrische Iterpretatio fidet ma im ute agegebee Buch Fiazmathematik auf S Die ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke dagege bedeutet geometrisch, dass der Vektor b m etweder gemäß (2 ) im Bild des positive Orthate = {x : x > o} bei der durch A(x) = Ax vermittelte lieare Abbildug A : m liegt, b A( ) = {Ax : x > o} = {x 1 a x a : x j > 0 für j = 1,,}, oder gemäß (1 ) sich vo diesem Bild derart tree lässt, dass eie Hyperebee H z,0 existiert mit ) b H z,0 A( β) b H z,0 A( ) H z,0 oder ) H z,0. Im Fall (1 ) sid die Mege {b} ud A( ) also so geate eigetlich trebare Mege. Die Mege A( ) ist die Mege aller Positivkombiatioe (positive Liearkombiatioe) der Spalte a j der Matrix A. Währed im Fall (I) des Mikowski-Farkas-Lemmas der Vektor b m 2015 Rudolf Pleier D Etzericht

7 ur im offee Halbraum H z,0 liege ka, ka im etsprechede Fall (1 ) der ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke der Vektor b m sowohl im offee Halbraum H z,0 (Fall 1 ) als auch im abgeschlossee Halbraum H z,0 (Fall 1 β) liege. Eie ausführlichere Begrüdug für die geometrische Iterpretatio der Fälle 1 ) ud 1 β) fidet ma im achfolged agegebee Buch des Autors auf S Abb. 2 Der Fall (I) im Mikowski-Farkas-Lemma bzw. der Fall (1 ) i der ihomogee Versio des Satzes vo Stiemke, i dem b außerhalb des Kegels coe {a 1,a 2,a 3 } liegt (m = = 3) Literatur: Rudolf Pleier (2015), Fiazmathematik, BoD, Norderstedt, ISBN