Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.

Transkript

1 76

2 Kapitel 5 Eiige spezielle Fuktioe: exp, l, si, cos. 5.1 Expoetialfuktio ud Logarithmus Die überaus wichtige Expoetialfuktio soll u etwas geauer diskutiert werde. Die ursprügliche Defiitio.0 ist für die Diskussio zu uhadlich. Die i Beispiel 3.4 eigeführte Reihedarstellug ist wesetlich ützlicher. Wir habe sie bereits beutzt, um i Satz 4.11 die Stetigkeit über gaz C zu beweise. Wir betrachte die Expoetialfuktio u zuächst im Reelle geauer: Satz 5.1: (Eigeschafte der reelle Expoetialfuktio Die Expoetialfuktio e x x k = = 1 + x + x + ist für x R k! k=0 streg mooto steiged. Es gilt Der Wertebereich ist (0,. lim x ex = 0, lim x ex = Beweis: Für 0 x < y ist e x < e y offesichtlich, de die Summade der Partialsumme sid streg mooto wachsed: e y e x = (1 + y + y + (1 + x + x + = y x + y x + > 0. }{{} >0 } {{ } >0 Für x < y < 0 folgt die Mootoie aus der Fuktioalgleichug.: e x = 1/e x < 1/e y = e y. Nach Beispiel 4.33 wächst e x (stärker als jede positive x- Potez gege für x. Wege e x = 1/e x fällt e x gege 0 für x. Damit ist der Wertebereich (0,. 77

3 78 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Defiitio 5.: (Der atürliche Logarithmus Wege der strege Mootoie der reelle Expoetialfuktio exp : R (0, gibt es eie Umkehrfuktio, die ma de atürliche Logarithmus l : (0, R et: l(exp(x = x für alle x R, exp(l(y = y für alle y (0,. Beispiel 5.3: Durch Spiegelug a der Wikelhalbierede ergibt sich sofort der Graph vo l aus dem Graphe vo exp: >> plotfucd(x, exp(x, l(x, x = -4..4, ViewigBox = [-4..4, -4..4] Da die Expoetialfuktio ach Satz 4.11 mooto ud stetig ist, ist mit Satz 4.30 auch der Logarithmus mooto ud stetig: Merke 5.4: exp ud l sid stetig ud streg mooto wachsed. Es gilt e x > 1 für alle x > 0, es gilt l(y > 0 für alle y > 1. Es gilt e 0 = 1 ud l(1 = 0. Es gilt e x < 1 für alle x < 0 ud l(y < 0 für alle y mit 0 < y < 1. Bemerkug 5.5: Es ist klar, was mit x y gemeit ist, we x R positiv ud y eie gaze oder eie ratioale Zahl ist (z.b. x 3 4 = 4 x 3. Was aber ist x? Betrachte eie ratioale Potez y = p/q mit p, q N, da ist a = x y = x p/q > 0 als die (eideutige positive Lösug vo a q = x p defiiert. Setze wir x = e l(x, so folgt mit de Fuktioalgleichuge.: ( a q = x p = (e l(x p = e p l(x = e p l(x q q.

4 5.1. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS 79 Die eizige reelle positive Lösug a dieser Gleichug ist offesichtlich x p q = a = e p q l(x. Also: für jedes ratioale y gilt x y = e y l(x für jedes x > 0. Ma beutzt die obige Formel, um Poteze vo x > 0 auch für icht-ratioale reelle Werte y zu defiiere, was ach obiger Überlegug mit der ituitive Wurzeldefiitio für ratioales y verträglich ist. Z. B.: >> float(^pi = float(exp(pi*l( = Satz 5.6: (Recheregel für exp ud l Für beliebiges x, y R gilt: e x+y = e x e y, (e x y = e x y, e x = 1 e x. Für beliebiges x > 0, y > 0 gilt: ( 1 l(x y = l(x + l(y, l(x y = y l(x, l = l(x. x Beweis: Die Fuktioalgleichuge e z 1+z = e z1 e z ud e z = 1/e z ware scho i Satz. über C gezeigt worde. Sid z 1, z R, folgt durch Logarithmiere ( z 1 + z = l e z1 e z. Mit x = e z 1, y = e z, also z 1 = l(x, z = l(y, folgt l(x + l(y = l(x y. Für y = 1/x ergibt sich l(x + l(1/x = l(1 = 0. Nach Defiitio beliebiger reeller Poteze gemäß Bemerkug 5.5 ergibt sich (e x y = e y l(ex = e y x. Durch Logarithmiere folgt für beliebiges reelles z = e x > 0: l(z y = y x = y l(z.

5 80 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Beispiel 5.7: Die Regel l(x y = y l(x ist ützlich, um Gleichuge aufzulöse, wo die gesuchte Größe i eiem Expoete auftaucht. Z.B.: x = 8 l( x = l(8 x l( = l(8 x = l(8 l( = l(3 l( = 3 l( = 3. l( Bemerkug 5.8: Aus der Schulzeit mag ma gewöht sei, statt mit dem atürliche Logarithmus mit dem Zeher-Logarithmus log 10 umzugehe. Bei Iformatiker ist (aus aheliegede Grüde der Logarithmus log zur Basis populär. Hier ist der Zusammehag zwische dem atürliche Logarithmus ud dem Logarithmus zu eier beliebige (positive Basis b 1: also x = log b (y y = b x l(y = l(b x = x l(b x = l(y l(b, log b (y = l(y l(b für alle y > 0, b > 0, b 1. Beispiel 5.9: Nebe dem atürliche Logarithmus l hat MuPAD Logarithme log(b, y zu beliebige positive Base b 1: >> log(10, 5.0 = l(5.0/l( = >> log(, 5.0 = l(5.0/l( = Die trigoometrische Fuktioe I der Schule ware im Kotext Geometrie die Wikelfuktioe si ud cos eigeführt worde. Hier usere Versioe:

6 5.. DIE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 81 Satz ud Defiitio 5.10: Die folgede Reihe kovergiere für jede Wert z C. Die Reihewerte heiße si(z bzw. cos(z (die trigoometrische Fuktioe Sius ud Cosius: si(z = cos(z = k=0 k=0 ( 1 k z k+1 ( k + 1! ( 1 k z k ( k! = z z3 3! + z5 5! z7 7! ±, = 1 z! + z4 4! z6 6! ±. Beweis: Es ist zu zeige, dass die defiierede Reihe kovergiere. I der Tat kovergiere sie absolut, was aalog zu Beispiel 3.4 aus dem Quotietekriterium folgt. Für die si-reihe: ( 1k+1 z k+3 /( k + 3! ( 1 k z k+1 = z ( k + 1! /( k + 1! ( k + 3! = z ( k + ( k + 3 z 4 k 1 4 für k z. Die Kovergez der cos-reihe folgt aalog. Das folgede Zusammehag ist eie der wichtigste Formel überhaupt für exp, si ud cos: Satz 5.11: (Die Euler-Formel Für jedes z C gilt folgede Beziehug zwische der Expoetialfuktio ud de trigoometrische Fuktioe: e i z = cos(z + i si(z. Für x R folgt cos(x = R(e i x, si(x = I(e i x. Beweis: cos(z + i si(z = 1 z! + i z i z3 3! (i z (i z3 = 1 + i z + +! 3! + z4 4! + (i z4 4! + i z5 5! (i z5 + 5! ± +.

7 8 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Satz 5.1: ei z e i z ei z + e i z Für jedes z C gilt si(z =, cos(z =. i Beweis: e i z ± e i z = cos(z + i si(z ± cos( z ± i si( z { cos(z für +, = cos(z + i si(z ± cos(z i si(z = i si(z für. Satz 5.13: (Stetigkeit der trigoometrische Fuktio Die trigoometrische Fuktioe si ud cos sid auf C stetig. Beweis: Da die Expoetialfuktio auf C stetig ist, folgt dies über die Recheregel 4.7 für Stetigkeit aus de Darstelluge i Satz 5.1. Satz 5.14: (Die Additiostheoreme der trigoometrische Fuktioe Für beliebiges z 1, z C gilt: si(z 1 + z = si(z 1 cos(z + cos(z 1 si(z, cos(z 1 + z = cos(z 1 cos(z si(z 1 si(z. Beweis: Für z 1, z R sid wege cos(x = R(e i x, si(x = I(e i x die Additiostheoreme ichts Aderes als die Fuktioalgleichug für exp: cos(z 1 + z = R(e i (z 1+z = R(e i z1 e i z ( = R (cos(z 1 + i si(z 1 (cos(z + i si(z = cos(z 1 cos(z si(z 1 si(z Das Additiotheorem für de reelle Sius folgt aalog über si(z 1 + z = I(e i (z 1+z. Für beliebiges z 1, z C ehme ma die Darstellug aus Satz 5.1, um die Additiostheoreme auf e i (z 1+z = e i z1 e i z zurückzuführe. Satz 5.15: (Symmetrie der trigoometrische Fuktioe Für beliebiges z C gilt: si( z = si(z, cos( z = cos(z.

8 5.. DIE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 83 Beweis: Die Sius-Reihe ethält ur ugerade Poteze: ( z k+1 = z k+1. Die Cosius-Reihe ethält ur gerade Poteze: ( z k = z k. Satz 5.16: (Der Satz des Pythagoras Für jedes z C gilt: si (z + cos (z = 1. Beweis: Dies ist das Additiostheorem des Cosius für z 1 = z, z = z zusamme mit cos(0 = 1: 1 = cos(z z = cos(z cos( z si(z si( z = cos (z + si (z. Wir brauche die Kreiszahl π. Da wir hier keie Geometrie treibe ud π über das Verhältis vo Kreisumfag zu Kreisdurchmesser eiführe köe, müsse wir π aders defiiere: Satz ud Defiitio 5.17: Auf der positive reelle Achse besitzt der Cosius midestes eie Nullstelle. Sei x 1 = if {x R; cos(x = 0; x > 0} die kleiste positive Nullstelle des Cosius. Defiiere π = x Beweis: Die Summade der Cosius-Reihe cos(x = 1 x + x4 4! habe wechselde Vorzeiche. Für kleies x sid die Summade mooto falled. Damit gilt cos(x = 1 x + f(x, wobei speziell für x gilt: Es folgt 0 f(x = x4 4! x6 6! ± x4 4!. cos(1 = 1 1! + f(1, 0 f(1 1 4, cos( = f(, 0 f(! 4, also cos(1 1 1 = 1 > 0, cos( = 1 3 < 0. Der Zwischewertsatz 4.19 für stetige Fuktioe garatiert (midestes eie Nullstelle im Itervall (1,. Damit ist die Mege {x R; cos(x = 0; x > 0} icht leer ud besitzt ei Ifimum.

9 84 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Über die Additiostheoreme ud Pythagoras folgt u eie Vielzahl vo spezielle Resultate, z.b.: ( π ( π si( x = si(x cos(x si(π = si cos = 0, cos( x = cos (x si (x = cos ( (x 1 cos(π = cos π 1 = 1, si(x + π = si(x cos(π + cos(x si(π = si(x, }{{}}{{} 1 {}}{{}}{ cos(x + π = cos(x cos(π si(x si(π = cos(x etc. Hieraus folgt da weiterhi die Periodizität 0 si(x + π = si(x, cos(y + π = cos(x. Die Eizelergebisse aus Satz 5.11 bis Satz 5.16 werde zusammegefaßt: Merke 5.18: Graphisch: >> plotfucd(cos(x, si(x, x=0..*pi, Ticks = [[0 = "0", PI/ = "PI/", PI = "PI", 3*PI/ = "3*PI/", *PI = "*PI"], [-1, -1/, 0, 1/, 1]] Eiige spezielle Werte: ( π ( 3 π si(0 = 0, si = 1, si(π = 0, si = 1, ( π ( 3 π cos(0 = 1, cos = 0, cos(π = 1, cos = 0. Periodizität (ma braucht die Fuktioe ur auf [0, π zu kee: si(x + π = si(x, cos(y + π = cos(x.

10 5.3. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 85 Additiostheoreme: si(x + y = si(x cos(y + cos(x si(y, cos(x + y = cos(x cos(y si(x si(y. Symmetrieeigeschafte: si( x = si(x, cos( x = cos(x. Pythagoras: si (x + cos (x = 1. Euler-Formel: e i x = cos(x + i si(x. Bemerkug 5.19: Vielleicht ist ma aus der Schule och gewoht, die Argumete der trigoometrische Fuktio i Wikelgrade α = 0 0,..., 360 o azugebe. Mathematiker ehme statt des Wikels α die zugehörige Bogeläge x auf dem Eiheitskreis (Eiheit: Radia, der Zusammehag ist x = d.h., 90 o = π, 180o = π, 360 o = π: π 180 α, x 1 } α si(x }{{} cos(x 5.3 Die komplexe Expoetialfuktio, Polardarstelluge I der Geometrische Iterpretatio 1.8 der komplexe Zahle i y C z = x + i y z I(z = z si(ϕ ϕ R(z = z cos(ϕ war die Polardarstellug ( z = z cos(ϕ + i si(ϕ, ϕ [0, π komplexer Zahle eigeführt worde. Mit der Euler-Formel 5.11 ergibt sich die kompakte Polardarstellug: x

11 86 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN z = z e i ϕ, ϕ [0, π. Ma beachte, dass Polarwikel ur bis auf gazzahlige Vielfache vo π bestimmt ist (Periodizität vo Sius ud Cosius: e i (ϕ+k π = e i ϕ e i k π = e i ϕ (e } i π {{} k = e i ϕ für alle k Z. 1 Wir vereibare, dass usere Polarwikel im Itervall [0, π liege. Geometrische Iterpretatio der komplexe Multiplikatio 5.0: Mit z 1 = z 1 e i ϕ 1, z = z e i ϕ 1, z = 1 z e i ϕ gilt z 1 z = z 1 z e i (ϕ 1+ϕ, z 1 = z 1 z z ei (ϕ 1 ϕ. Also: die Multiplikatio mit eier Zahl mit dem Polarwikel ϕ dreht eie komplexe Vektor um de Wikel ϕ gege de Uhrzeigersi, die Divisio durch diese Zahl dreht de Vektor um de Wikel ϕ im Uhrzeigersi. Multiplikatio mit i bzw. Divisio durch i dreht speziell um 90 o. Das ist leicht zu merke: Ei Mathematiker ruft a ud hört: Die gewählte Nummer ist imagiär. Bitte drehe Sie ihre Apparat um 90 o! Bemerkug 5.1: Für Poteze vo z = z e i ϕ folgt z = z e i ϕ. Damit sid wir u i der Lage, komplexe Wurzel zu bereche. Die Aufgabe sei: fide alle Lösuge vo z = a. Schritt 1: Stelle a i Polarkoordiate dar: a = a e i α mit α [0, π. Schritt : Asatz für die Wurzel: z = r e i ϕ mit ϕ [0, π. Vergleiche z = r e i ϕ = a e i α. Vergleich der Beträge ergibt die reelle Gleichug r = a, d.h. r = a. (Dies ist eie reelle Wurzel, dere Bedeutug klar ist. Es verbleibt, de Polarwikel ϕ der komplexe Wurzel aus der verbleibede Gleichug e i ϕ = e i α zu bestimme. Da Polarwikel ur bis auf gazzahlige Vielfache vo π bestimmt sid, folgt icht ϕ = α, soder (mit ϕ k statt ϕ: ϕ k = α + k π, k Z,

12 5.3. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 87 also ϕ k = α + k π, k Z. Hierbei brauche ur die Werte k = 0, 1,..., 1 betrachtet zu werde, für die ϕ k [0, π gilt (sofer α [0, π gilt. Alle adere Wikel ϕ k liege außerhalb vo [0, π ud stimme bis auf ei gazzahliges Vielfaches vo π mit eiem dieser Basiswikel ϕ 0,..., ϕ 1 überei. Schritt 3: Ergebis: die verschiedee Lösuge vo z = a = a e i α sid: mit z k = a e i ϕ k = ( a cos(ϕ k + i si(ϕ k ϕ k = α + k π, k = 0, 1,..., 1. Geometrisch: die Wurzel liege alle gleichmäßig auf dem Kreis mit dem Radius a verteilt: i y z C a = a e i α 3 z z 1 z 0 = a e i α π π π π π α/ π π x π π π π z 1 z Beispiel 5.: Die -te Eiheitswurzel der Gleichug z = 1 = 1 e i 0 sid Z.B. für = 4; ( k π z k = cos + i si z k = cos ( k π + i si ( k π ( k π =, k = 0, 1,..., 1. 1 für k = 0, i für k = 1, 1 für k =, i für k = 3.

13 88 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Für = 6: ( k π ( k π z k = cos + i si = für k = 0, 1+i 3 für k = 1, 1+i 3 für k =, 1 für k = 3, 1 i 3 für k = 4, 1 i 3 für k = 5. Beispiel 5.3: I Beispiel 1.4 hatte wir für Poteze vo ( 1 1 A = 1 gefude: A = 1 (1 + i + 1 (1 i i 4 (1 + i i 4 i (1 + i + i (1 i 1 (1 + i + 1 (1 i (1 i. Es fehlt och eie eifache Darstellug vo (1 ± i, mit der (hoffetlich ersichtlich wird, dass A eie reelle Matrix ist. Über die Polardarstelluge 1 ± i = e ±i π 4 ergibt sich mit 1 ± i = ud de Polarwikel ± π 4 : Damit folgt ( ( (1 ± i = / e ± i π 4 = / cos π 4 ( ± i si π 4. (A 1 11 = (1 + i + 1 (1 i = / cos( π 4, (A i 1 = 4 (1 + i i 4 (1 i = / 1 si( π 4, (A 1 = i (1 + i + i (1 i = /+1 si( π 4, (A 1 = (1 + i + 1 (1 i = / cos( π 4. Isgesamt erhalte wir also i der Tat die i Beispiel 1.4 gefragte explizite (ud u recht eifache reelle Darstellug beliebiger Poteze vo A: ( 1 1 = cos( π 4 1 si( π si( π 4 cos( π 4.