Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften
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- Nicole Busch
- vor 6 Jahren
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1 Fchbereich Mthemtik der Uiversität Hmburg SoSe 2015 Dr. K. Rothe Alysis II für Studierede der Igeieurwisseschfte Hörslübug mit Beispielufgbe zu Bltt 3 Recheregel für Potezreihe Stz: Die Potezreihe g(z = k z k besitze de Kovergezrdius R > 0 ud es gelte g(0 = 0 0, d besitzt die Fuktio f = 1/g eie Potezreihe f(z = 1 g(z = d k z k mit eiem Kovergezrdius r > 0. Die Berechug der Koeffiziete d k erfolgt über ds Cuchy-Produkt ( ( k 1 = g(z d k z k = d j k j z k j=0 mit Koeffizietevergleich ud führt uf die Rekursiosformel: d 0 = 1 0, d k = 1 k 1 d j k j, k = 1, 2,... 0 j=0 Stz: Differetitio eier Potezreihe Die Potezreihe f(x = k (x x 0 k ist im Iere des Kovergezitervlls, lso für x 0 r < x < x 0 + r mit r > 0 beliebig oft differezierbr. Die Ableituge ergebe sich durch gliedweises Differeziere: f (x = k k (x x 0 k 1, f (x = k=1 k(k 1 k (x x 0 k 2,... Die bgeleitete Reihe besitze de gleiche Kovergezrdius wie f. k=2
2 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Aufgbe 9: Gegebe sei die durch f(x = 6 defiierte Fuktio. 5 4x M bestimme die Glieder der Potezreiheetwicklug vo f mit Etwicklugspukt x 0 = 0 über die Rekursiosformel us dem Cuchy-Produkt vo Reihe, sowie de zugehörige Kovergezrdius. b M bereche die Lösug der gewöhliche Differetilgleichug erster Ordug y = y mit dem Afgswert y(0 = 3 i folgeder Potezreihedrstellug y(x = k x k. Lösug: 6 5 4x = f(x = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + d 3 x = (5 4x(d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + d 3 x 3 + Koeffizietevergleich: = 5d 0 + (5d 1 4d 0 x + (5d 2 4d 1 x 2 + (5d 3 4d 2 x = 5d 0, 0 = 5d k 4d k 1 d 0 = 6 5, d k = 4 5 d k 1 = = Kovergezrdius: r = lim ( k 4 d 0 = k d k d k+1 ( k 4 5 f(x = ( 6 4 = lim 5 5 ( k k k+1 = ( k 4 x k 5 Altertivrechug mit de Formeluswertuge us dem Skript (Methode idetisch: f(x = 6 5 4x = 1 5 4x =: 1 g(x 6 6 D g(0 0, besitzt f i x 0 = 0 eie Potezreiheetwicklug f(x = 1 g(x = d k x k
3 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe mit Kovergezrdius r > 0 ud die Koeffiziete d k lsse sich ch der Rekursiosformel us dem Cuchy-Produkt bereche: 0 d 0 = 1, k 1 0 d k = d j k j j=0 mit g(x = k x k = x 0 = 5 6, 1 = 4 6, k = 0, k 2. M erhält dmit d 0 = 1 0 = 6 5, d k = 1 k 1 0 j=0 d j k j = 1 0 d k 1 = 4 5 d k 1 = ( k 4 d 0 = ( k 4 5 b Im Iere des Kovergezitervlls drf die Potezreihe gliedweise differeziert werde. Setzt m die Potezreihe ud ihre erste Ableitug i die Differetilgleichug ei, so ergibt sich k kx k 1 = k x k k=1 k kx k 1 k x k = k=1 ( k+1 (k + 1 k x k = 0. Aus dem Koeffizietevergleich mit der Nullfuktio ergibt sich folgede Rekursiosformel zur Berechug der k : k+1 (k + 1 k = 0 k+1 = k k + 1 = k 1 (k + 1k = = 0 (k + 1!. Der Afgswert ergibt y(0 = 0 = 3 k = 3 k! ud dmit 3 k! xk = 3 x k k! = 3ex ls Lösug der Differetilgleichug. Der Kovergezrdius berechet sich durch r = lim k k = lim 3(k + 1! k 3 k! = lim (k + 1 =. k k+1
4 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Elemetre Fuktioe Die Biomilreihe für IR ud x ] 1, 1[ (1 + x = m=0 lutet: ( m x k mit de Biomilkoeffiziete: ( m := ( j m 1 j=0, m IN 0 m! Stz: Itegrtio eier Potezreihe Die Potezreihe f(x = k (x x 0 k besitzt im Iere des Kovergezitervlls, lso für x 0 r < x < x 0 + r mit r > 0 eie Stmmfuktio F, d.h. es gilt F = f. Durch gliedweises Itegriere erhält m: F (x = C + k k + 1 (x x 0 k+1, C IR. Die Stmmfuktio F besitze de gleiche Kovergezrdius wie f. Abelscher Grezwertstz: Besitzt die reelle Potezreihe g(x := k (x x 0 k de edliche Kovergezrdius r > 0 ud kovergiert sie im rechte Rdpukt x 0 + r, so ist die Summefuktio g(x i x 0 + r (liksseitig stetig, d.h. es gilt lim g(x = k r k. x x 0 +r Etsprechedes gilt für de like Rdpukt x 0 r.
5 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Aufgbe 10: (i M bereche die Ableitug vo f(x = l(2 + x ud dmit die Potezreihe vo l(2 + x zum Etwicklugspukt x 0 = 0 ud bestimme dere Kovergezrdius. (ii M utersuche ds Kovergezverhlte der uter (i bestimmte Potezreihe i de Rdpukte ud bereche im Flle der Kovergez de Wert der etsprechede Reihe. b M bereche die Potezreihe für die durch g(x = x gegebee Fuktio zum Etwicklugspukt x 0 = 0 ud bestimme dere Kovergezrdius. Lösug: (i Uter Beutzug der geometrische Reihe erhält m für x/2 < 1 x < 2 f (x = x = ( (x/2 = =0 ( x. die Potezreihe vo f mit dem Kovergezrdius r = 2. Gliedweise Itegrtio der Reihe liefert wege f(0 = l(2 die Potezreihe vo f f(x = l(2 + x = C + =0 ( 1 ( x+1 = l(2 + =0 ( 1 ( x+1. (ii Der Rdpukt x = 2 führt uf die hrmoische Reihe l(2 = ud m erhält keie Kovergez. Für de Rdpukt x = 2 erhält m mit der lterierede hrmoische Reihe ( 1 l( =0 Kovergez. Kovergiert eie Potezreihe i de Rdpukte, so ergibt sich ch dem Abelsche Grezwertstz dort der Wert der stetige Fortsetzug der Summefuktio im Iere. M erhält lso im Rdpukt x = 2 de Wert l(4 = l(2 + =0 ( ( =0 ( = l(2.
6 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe b Die Potezreihe vo g(x = 3 ( 8 + 3x = x 8 für 1 < 3x 8 < < x < 8 3 x < 8 3 berechet: 1/3 wird über die Biomilreihe ( x 8 1/3 = =0 ( 1/3 2 ( 3x = 8 =0 ( 1/ x. Der Kovergezrdius r = 8 bestätigt sich uch recherisch über die Koeffiziete ( ( 3 1/ /3 = mit = 1 1 ( 1 8! 3 k : r = lim +1 ( 1/3 2 3 = lim 8 ( 1/ = lim /3 = 8 3.
7 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Ds Riem-Itegrl Defiitio: Zerlegug eies Itervlls [, b]: Z = { = x 0 < x 1 < < x = b} b Gegebe sei eie Zerlegug Z vo [, b] ud eie beschräkte Fuktio f : [, b] IR: 1 (i Utersumme: U f (Z = if f([x i, x i+1 ](x i+1 x i 1 (ii Obersumme: O f (Z = sup f([x i, x i+1 ](x i+1 x i Bemerkug: Für zwei beliebige Zerleguge Z ud Z gilt immer U f (Z O f ( Z. Defiitio: Flls sup U f (Z = if O f(z gilt, heißt Z Z b f(xdx := sup U f (Z = if O f(z Z Z bestimmtes Riem-Itegrl vo f über ds Itervll [, b].
8 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Itegrleigeschfte ud Itegrierbrkeitskriterie Stz: Gegebe seie, b, c IR mit c b ud itegrierbre Fuktioe f : [, b] IR ud g : [, b] IR, d gilt Lierität b b αf(x + βg(xdx = α f(xdx + β b g(xdx, α, β IR b Mootoie b b f(xdx g(xdx, flls f(x g(x c b c b f(xdx = f(xdx + f(xdx Speziell wird defiiert: b f(xdx := f(xdx c ud f(xdx := 0. b Stz: Gegebe sei eie beschräkte Fuktio f : [, b] IR, d gilt: Riemsches Kriterium: f ist über [, b] itegrierbr geu d, we für jedes ε > 0 eie Zerlegug existiert für die gilt: O f (Z U f (Z < ε. b Ist f mooto uf [, b], d ist f über [, b] itegrierbr. c Ist f stetig uf [, b], d ist f über [, b] itegrierbr.
9 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Huptstz Defiitio: Eie Fuktio F : [, b] IR heißt Stmmfuktio zur Fuktio f : [, b] IR, flls F (x = f(x für x [, b] gilt. Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug: Gegebe sei eie stetige Fuktio f : [, b] IR, d gilt x F (x := f(tdt ist eie Stmmfuktio vo f. b Jede dere Stmmfuktio F vo f besitzt die Form F (x = F (x + C mit eier Kostte C IR. c Ist F eie Stmmfuktio vo f, d ist ds bestimmte Itegrl berechebr durch: b f(xdx = F (b F ( =: F (x b. Defiitio: Eie beliebige Stmmfuktio eier stetige Fuktio f wird mit f(xdx bezeichet ud ubestimmtes Itegrl vo f get.
10 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Aufgbe 11: Gegebe sei die Fuktio f : [ 1, 1] IR mit f(x = 3x + 4. M bereche für die äquidistte Zerlegug { Z = 1, 2, 4, 6 },, 1 des Itervlls I = [ 1, 1] Uter- ud Obersumme, lso U f (Z ud O f (Z, zu f. b M weise die Itegrierbrkeit vo f ch. c M bereche 1 3x + 4 dx über de Huptstz. Lösug: 1 Mit x i = 2i U f (Z = O f (Z = = für i = 0, 1,..., erhält m = 1 if f([x i, x i+1 ](x i+1 x i 1 ( 3 2i ( 2(i i = 2 1 ( + 6i = 2 ( 2 ( sup f([x i, x i+1 ](x i+1 x i = ( ( 2(i + 1 2(i i = 2 1 ( + 6i + 6 = 2 ( 2 ( b Für lle ε > 0 existiert ei N mit N > 12, d gilt: ε O f (Z N U f (Z N = 12 N < ε, + 6 = d.h. die Zerlegug Z N erfüllt ds Riemsche Kriterium ud f ist itegrierbr. Altertiv folgt die Itegrierbrkeit vo f türlich uch drus, dss f mooto wächst oder stetig ist. 1 c 3x + 4dx = 1 ( 3x x 1 = 8
11 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Aufgbe 12: M bereche de Flächeihlt F 1, der durch die Teilmege M 1 = { (x, y IR 2 : x 3 y x } des IR 2 gegebe ist. b Die Gerde y = x/2 + 1 zerteilt de Kreis x 2 + y 2 = 4 i zwei Segmete. Wieviel Prozet Fläche verliert der Kreis durch ds Abtree des kleiere der beide Segmete? Lösug: Die Schittpukte vo f(x = x ud g(x = x 3 ergebe sich durch x = x 3 0 = x 6 x = x(x 5 1. Nur zwische de Schittpukte x 1 = 0 ud x 2 = 1 gilt g(x y f(x. Dher berechet sich der Flächeihlt durch F 1 = 1 f(x g(x dx = 1 x x 3 dx = [ x3/2 1 4 x ] = = Bild 14 : Mege M 1 b Schittpukte vo Gerde ud Kreis: ( x 2 4 = x 2 + y 2 = x x 2 = 4 + x + 1 x 1 = 2, x 2 = 6 5 Fläche des kleiere Segmets: S = 6/5 4 x2 dx 6/5 x/2 + 1 dx 6/5 2 2 x/2 + 1 dx = 2 ( x 2 6/5 4 + x 2 = 64 25
12 Alysis II, K. Rothe, SoSe 2015, Hörslübug 3 (Beispielufgbe Mit prtieller Itegrtio erhält m: cos 2 t dt = cos t si t + si 2 t dt = cos t si t + cos 2 t dt = 1 (t + si t cos t + C 2 1 cos 2 t dt Ds Itegrl 6/5 2 x = 2 si t dx = 2 cos(t dt. Itegrtiosgreze: 6/5 = 2 si t 2 t 2 = rcsi 3 5, 4 x2 dx wird gelöst durch Substitutio 2 = 2 si t 1 t 1 = rcsi( 1 = π 2 6/5 4 x2 dx = rcsi 3/5 ( 4 4 si 2 t 2 cos t dt 2 = 4 rcsi 3/5 cos 2 t dt π/2 π/2 rcsi 3/5 = 2 (t + si t cos t π/2 = 2 ( 3 = 2 rcsi S = 2 rcsi ( rcsi ( ( cos rcsi + π si 2 rcsi 3 ( π = 2 rcsi 5 ( π = S 4π = % = % 4π π 2 y x -1-2 Bild 14 b: Kreissegmete
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
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8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
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WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Übersicht Integralrechnung
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4.2 Das bestimmte Integral
4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 63 4. Ds bestimmte Itegrl Die geometrische Iterprettio eies bestimmte Itegrls ist die Fläche uter eiem Fuktiosgrphe ft. M zerlege ei Itervl [, b] uf der t-achse äquidistt i Teilitervlle
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Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
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Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
Folgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
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Ds Riem-Itegrl u seie Eigeshfte Defiitio. Sei ie Fuktio f beshräkt uf [, b]. Stimme ie beie Drboux-Itegrle überei, heißt f Riem-itegrierbr uf [, b] (oer R-itegierbr). Der gemeisme Wert heißt Riem- Itegrl
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D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
Numerische Integration (s. auch Applet auf
Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =
Spezielle Themen der Mathematik: Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen
Folge ud Reihe Spezielle Theme der Mthemtik: Reelle Zhle, Folge, Reihe, Fuktioe Folge ud Reihe I diesem Kpitel befsse wir us mit Folge, welche ls spezielle Fuktioe, ämlich solche mit ls Defiitiosbereich,
4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
α : { n Z n l } n a n IR
1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)
5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
mathphys-online INTEGRALRECHNUNG
mthphys-olie INTEGRALRECHNUNG mthphys-olie Itegrlrechug Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Itegrtio gzrtioler Fuktioe. Die Flächemßzhlfuktio. Die Stmmfuktio Flächeerechuge 7. Fläche zwische Grph der Fuktio
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug
Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen
Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, 7.2.2007 Holger Witermayr I diesem Vortrag werde wir Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe erarbeite ud eie Vergleich zu Potezreihe ziehe. Ei weiteres Ziel dieses
nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
![nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei](/thumbs/64/52033315.jpg "nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei")
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung
Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
2.4.1 Geschlossene Auswertung unendlicher Reihen
8 2.4 ufgbe 2.4. Geschlossee uswertug uedlicher Reihe I Prxis ist die geschlossee uswertug uedlicher Reihe, lso die explizite estimmug des Grezwerts, ur selte möglich. equem geht es, we m die Reihe ls
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Ober- und Untersummen
Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Ober- ud Utersumme Ober- ud Utersumme mit ud uedlich viele Streife siehe uch S. 5 im Buch. Um die Geuigkeit
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung
40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu. 3.2. Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der
Klausur zu,,einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Musterlösungen
Istitut für agewadte Mathematik Witersemester 9/ Adreas Eberle, Matthias Erbar, Berhard Hader. (Reelle Zufallsvariable) Klausur zu,,eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Musterlösuge a) Die Verteilugsfuktio
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:
A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppeübug zur Vorlesug Höhere Mathematik Sommersemester 00 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Säig Lösugshiweise zu e Hausaufgabe: Aufgabe H 7. Potezreihe
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)
5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt
Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $
Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe
Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]
BRÜCKENKURS MATHEMATIK
BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpute: Begri der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes Itegrl Bestimmtes Itegrl Itegrtiosregel Aweduge Pro. Dr. hil. M. Ludwig TU
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen
Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
( 1) n 1 n n n + 1. n=1
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )
9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
Numerisches Integrieren
Numerisches Itegriere Ac I der Prxis werde Itegrle i der Regel umerisch, lso pproximtiv, bestimmt. Dzu solle hier verschiedee Algorithme betrchtet werde ( Rechteck, Mitterechteck, Trpez, Simpso, Romberg
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
5-1 Elementare Zahlentheorie
5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2013 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir Überblick Mittelwertsatz Differetialrechug Natürliche Zahle Iduktiosprizip Kombiatorik Körper
Aufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS07 0.0.07. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x 50 k m äherugsweise
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
7. Potenzreihen und Taylor-Reihen
7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich
Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10
Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Mathematik Prof. A. Griewak Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jase Übugsaufgabe zur Vorlesug ANALYSIS I (WS 2/3) Serie 0 Musterlösug S.
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud
1.1 Mengensysteme. Ω Grundmenge, 2 Ω Potenzmenge, A 2 Ω Mengensystem. Definition 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), wenn für A, B A auch A B A
1.1 Megesysteme Grudmege, 2 Potezmege, A 2 Megesystem Defiitio 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), we für A, B A auch A B A (A B A, A\B A). b) A heißt Halbrig, we i) A ii) A ist stabil iii) A, B A es
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,