BRÜCKENKURS MATHEMATIK

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1 BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpute: Begri der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes Itegrl Bestimmtes Itegrl Itegrtiosregel Aweduge Pro. Dr. hil. M. Ludwig TU Dresde Istitut ür Wisseschtliches Reche Septemer 9

2 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug. Elemete der Dieretilrechug.. Begri des Dieretilquotiete :, wird i Umgeug vo D zgl. ihrer "Veräderug" utersucht. D D Beispiele:. Eie gerdliige Bewegug eies Msseputes sei durch eie Futio s= s( t ud seie Geschwidigeit durch s( t v ( t = t eschriee. Bei Äderug der Futio Msseput de Weg s= s t + t s t ( s t i eiem Zeititervll t t + t legt der zurüc. Durch Quotieteildug erhält m log zu oe s s( t + t s = ( t t t eie Ausdruc ür die mittlere Geschwidigeit der Bewegug im etrchtete Zeititervll. v im Zeitput t zu erhlte, ist es he lieged Um die momete Geschwidigeit de Grezwert s s lim = v ( t : = lim t t t zu ilde. t ( t + t s( t t. Astieg eier Kurve C ( im Put, Astieg der Sete durch zwei Kurvepute, ud P + h, + h : P( ( ( ( + h ( ( P : tα s = h etspricht dem mittlere Astieg vo C im Itervll... + h. De Astieg vo C im Put erhält m durch de Grezwert P (( + h tα = lim tα s = lim h h h, lls dieser eistiert. Die Gerde durch mit diesem Astieg heißt Tgete die Kurve C P im Put. P

3 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig De.. Dieretilquotiet Die i eier Umgeug vo deiierte Futio heißt der Stelle dierezierr (di 'r, we der Grezwert ( + h y ( = lim = lim h h eistiert. Dieser Grezwert heißt Dieretilquotiet oder. Aleitug vo der Stelle. dy d Adere Bezeichuge: y =,, = = d d Höhere Aleituge etstehe durch mehrmlige Dieretitio ( d (,,, zw. d Folgeruge I D. D heißt u I di 'r, we di 'r ür jede iere Put vo I ist. dy Schreiweise:,, d, woei I d d. heißt (urz di 'r, we u di 'r ist.. sei u I deiiert ( D =. Dieretitio elemetrer Futioe (Dieretitiosregel Die Grudutioe sid i ihre Deiitiosgeiete di 'r. µ = µ µ, µ,,. isesodere : =, (, \ = = = + {} [ = = = =,,. = > speziell: ( e = e, l,, ; si = cos, ; cos = si, ;.. Dieretitiosregel ür rithmetisch verüpte Grudutioe,g seie u eiem Itervll I di 'r, d ± g, r ( r, g ud g mit g sid u I di 'r. Dei gilt:

4 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig ± g = ± g r = r, r g = g+ g Produtregel g g =, g Quotieteregel g g Beispiel + ( c + d + ( + c d c =, = = c + d c + d c + d.4. Ketteregel sei u eiem Itervll I ud g sei u eiem Itervll J di 'r, d ist = g( h( u I di 'r, lls ( I J. Dei gilt = g ( h h ( (Ketteregel. d d dz =, = h = g( h : = d dz d Beispiele: cos z =, z = cos ; z = Bemerug: g ( z z. d dz z cos = = l ( si = l si dz d z = l, u = ; z u = lu. dz du z = = = du d u Stz Die elemetre Futioe sid (i ihre Deiitiosgeiete is u eizele Pute di 'r. Ihre Aleituge sid wieder elemetre Futioe..5 Aweduge der Dieretilrechug.5. Vollstädige Kurvedisussio, Etremwertuge Gegee: : D Gesucht: Loles ud gloles Verhlte der Futio [vgl. Vorlesug ud Semir zu reelle Futioe]. Dzu sid zu estimme:. Deiitiosereich, Werteereich [vgl. reelle Futioe]. Nullstelle [vgl. reelle Futioe]. Pole [vgl. reelle Futioe] 4. Lüce [vgl. reelle Futioe] 4

5 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig 5. symptotisches Verhlte ±, vgl. reelle Futioe, ±, Pol ( [ ] ( 6. reltive Etrem 7. Wedepute 8. Mootoieeigeschte 9. Krümmugseigeschte (ove, ov zu 6. Bestimmug reltiver Etrem Es sei : D ud zudem so ot dierezierr, wie eötigt. Die Aleituge seie stetig. Notwedige Bedigug ür reltive Etremwert ( ist der Stelle dierezierr ud ( = Hireichede Bedigug ür reltive Etremwert ( ( = = = = ud, d ht ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives ( Mimum ( <, lls. ( =,, Miimum ( > Spezilll = ud (, d ht ei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives Mimum ( <, lls Miimum ( > zu 7. Bestimmug vo Wedepute Notwedige Bedigug ür Wedeput ( ist der Stelle zweiml dierezierr ud ( = Hireichede Bedigug ür Wedeput ( ( + = = = = ud, d ht ei eie Wedeput ( =,,. Spezilll = ud (, d ht ei eie Wedeput zu 8. Mootoieeigeschte ( ist streg mooto wchsed > im etreede Itervll. lled < ( ist s mooto wchsed im etreede Itervll. lled Eie Äderug der Mootoie erolgt i Etrem ud Pole gerder Ordug. 5

6 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig zu 9. Krümmugseigeschte ( ist streg (vo ute ove > im etreedem Itervll. ov < ( ist (vo ute ove im etreedem Itervll. ov Eie Äderug der Krümmug erolgt i Wedepute ud Pole ugerder Ordug. P Beispiel: = = Q. Deiitiosereich: D = { } \,!. Nullstelle: (-ch, weil! ; Werteereich: W = = =. Pole: ud, weil 4. Lüce: eie; Q = = = P,P Bemerug: Flls Erstzutio. 5. Asymptotisches Verhlte: Asymptote: ya = ei = eie Lüce esitzt, d weiterreche mit = + ; [vgl. Polyomdivisio] y y lim = lim =, lim = lim = A Asymptotisches Verhlte de Pole: = : lim =, lim = + =+ : lim =, lim = + Bemerug: Berechug wie olgt durchgeührt werde: z.b. ( ε ε ε ε ε = : lim = lim = lim = + ε ε ε ε 6. Reltive Etrem: 4! = = ; = ( = = zweich ud =, 6 = 4 5 ( + ( = = ; A 6

7 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig ( = zweich : = Wedeput? 4 4 ( 5 5 ( ( = : ( = > Miimum mit = 6 = : ( = < Mimum mit ( = 7. Wedepute: 4 6( = = ; 4 ( 4 = = (zweich ist Wedeput mit = Mootoie < < streg mooto steiged < < < < streg mooto lled < < < < mooto lled * * Flls Itervll ei geteilt wird, ist Futio streg mooto lled. 9. Krümmugseigeschte (ove, ov < < streg ov, d < < < streg ove, d > < < streg ov, d < < < streg ove, d > Speziell: Die Bestimmug der reltive Etremwerte eötigt m zur Lösug vo Etremwertuge 7

8 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig.5. Geometrische Aweduge Gleichug der Tgete y( de Grphe der Futio (, ( : y ( ( ( ( ( ( oder = + = + y = m + mit Astieg m= (, der der. Aleitug der Futio ud Asolutglied. Beispiel: Tgete die Futio = si im Put = cos = m= Tgete: y= durch de Put der Stelle etspricht,, d.h. = ud =. Itegrtio. Ds uestimmte Itegrl Iterprettio: Umehr der Aleitug der Dieretilrechug.. Deiitio des uestimmte Itegrls Es sei : D, D ud I D ei oees Itervll. d F heißt Stmmutio vo u I, we F = ür I. d Bemerug: We F irged eie Stmmutio vo ist, d erhält m durch Additio eier elieige Kostte c zu F lle Stmmutioe vo. De.. Uestimmtes Itegrl Ist F irgedeie Stmmutio vo Itegrl vo ( u I ud wird mit d ezeichet, d.h. F c eie elieige (Itegrtios-Kostte ist. Nch De.. gilt lso: d d d = d d F + c = u I, so heißt die Summe ds uestimmte ud Die Umehr ist is u c eideutig. d = + c, woei d d = d F = F + c. d 8

9 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig.. Techi des Itegrieres Uterschied zwische Dieretitio ud Itegrtio: Jede elemetre Futio ist di'r [Stz s.o.], er icht jede elemetre Futio ist itegrierr (z.b. si ist icht itegrierr Gruditegrle s. Telwere Itegrtiosregel olge us Di'regel ; z.b. ± g d= d± g d Beispiel: ( r d = r d, r ( + d = d d+ d = + + C Itegrtiostechie Prtielle Itegrtio Beispiel: = g d g g d = + si d cos cos d cos d = si si d = si + cos = si d cos si cos C = g = si = g = cos = g = cos = g = si Sustitutio Es sei ( mit = g ( t gegee. Aus d g d = g( t g t dt ( = t dt olgt!! Uedigt u Eieideutigeit vo g chte; sost, lls otwedig, Gesmtitegrl i Teilitegrle zerlege. 9

10 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig Beispiel: dt d = = 4 4t dt = t = + + C + t dt Sustitutio: + = t, 4d = dt d = 4 Wichtige Soderälle: d = l ( + c d= + c ; Sustitutio: R( gze rtiole Futio R = ( d = c + = t d = dt. Ds estimmte Itegrl Gesucht sei der Flächeihlt A, de eie Futio ( im Itervll [, ] eischließt. Zerlegug z vo [, ] durch edlich viele Pute = < < < < = Mß ür Feiheit der Zerlegug: δ ( z = ( i i mit i= Zwischesumme: S = ( ξ (,, ξ [ ] = i= i i i i i i S A m i i i=,, Es gilt: Folge vo Teilsumme ür z δ. mit der -Achse Bestimmug vo A mit Hile der Oer- ud Utersumme: Beispiel: = ( =, elieig Oersumme: O ( + ( + i i i= i= 6 = = = = + + i Utersumme: U = = i = = i= i= 6 lim O = = limu

11 Brüceurs: Elemete der Dieretil- ud Itegrlrechug - Pro. Dr. M. Ludwig De.. Bestimmtes Itegrl heißt üer [ ], itegrierr (eigetlich Riem-itegrierr, we ür jede Zerlegug z vo [, ] mit limδ ( z = ud ür jede Whl der etsprechede Zwischepute die Folge der Zwischesumme stets gege de gleiche Wert overgiert. Dieser Wert S [ ] heißt d estimmtes (eigetliches Riem- Itegrl vo üer Bezeichug: d = d Also: d: = lim ( ξ Festleguge: d= ; i i = i i d = d ür <,. Geometrische Deutug: d vorzeicheehteter Flächeihlt vo Itervll [, ] mit der -Achse. im Huptstz der Dieretil- ud Itegrlrechug, Berechug estimmter Itegrle stetig u [ ], F sei eie Stmmutio vo u, [ ] d = ( ( F F.,, d gilt Beispiel: diret: I = d = = dt = t = t = dt = d d = ;Greze: t =+ t = Sustitutio: t =+ dt t = lsch, d t = i icht eieideutig t=+ t I = d t = i eieideutig dt = t = er: dt = d d = ; Greze: t = t = t= t= t= dt t = t dt = t = t t= t= t=