Formel- und Tabellensammlung zum Aktuariellen Grundwissen
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- Ina Albert
- vor 7 Jahren
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1 Formel- ud Tellesmmlug zum Aturielle Grudwisse Schdeversicherugsmthemti A. Zufllsvrile X, Y seie (disrete oder stetige Zufllsvrile. Verteilugsfutio: F( = P( X (Verteilugs-Dichte: f ( F ( = ei differezierrer Verteilugsfutio (stetige Zufllsvrile Zähldichte, Frequez- oder Mssefutio: f = P X = ei disrete Zufllsvrile Lyer-Idetität: ( X h = ( X + h - ( X = ( X - - ( X -( + h mi m ; ; mi ; mi ; m ; m ; Momete vo Zufllsvrile -tes Momet: zw. (, = E X df E X = f( d ei differezierrer Verteilugsfutio = f ei disreter Verteilugsfutio E X Erwrtugswert: E X = E X = erstes Momet vo X Für de Fll, dss m es mit eier Mischform stetiger ud disreter Verteiluge zu tu ht, eiget sich die folgede Formel: = F( E X -tes zetrles Momet: E ( X E[ X] d, we X ichtegtiv ist. Vriz: vr[ X ] = E ( X E[ X] = E X ( E[ X] =. zetrles Momet vo X Stdrdweichug: σ [ X] = vr[ X] Zufllsvrile
2 Vritiosoeffiziet: v[ X] Asolute Schiefe: (Reltive Schiefe: γ [ X ] ( [ X ] [ X ] σ vr = = > E X E X E X E X (( ( vr [ X ] E X E X = ( für E[ X] =. zetrles Momet vo X I s gestutztes -tes Momet: ( s, df E X X > s =, s F s Trsformierte vo Zufllsvrile itx Chrteristische Futio: ( t CF ( t E e t i = imgiäre Eiheit ϕ X = X = tx Mometerzeugede Futio: MEF ( t = E e t X t MEFX ( t = e f ( d ei differezierrer Verteilugsft. (Whrscheilicheits-Erzeugede Futio: X mx ( t = EFX ( t = E t t [,] m t = t f ei disreter Verteilugsfutio X ( Ugleichuge Mrov: P( X c c> Tscheyschev: Ctelli: E X c E h( X P( X c c>, h: + + streg mooto wchsed h c [ X ] vr P( X E X c c> c vr[ X ] P( X E X + c c c + vr X > Zufllsvrile
3 Wechseleziehuge ei Zufllsvrile Sid A ud B Ereigisse mit P(B, d gilt für die edigte Whrscheilicheit ( A B Die Zufllsvrile Y X P ( A B ( A B P( B P =. = ht die vo hägige Verteilugsfutio (, = P( X = PY yx y F y = P Y y X = =. P : Die Verteilug vo Y, gegee X=, wird ls edigte Verteilug ud mit P YX = ezeichet. Fsst m ds edigede Ereigis ls Zufllsvrile X uf, so sid die Momete der edigte Verteilug vo Y, gegee X, trsformierte Zufllsvrile vo X ud für diese öe eeflls Momete erechet werde: E EY X E Y X Y E vr Y X + vr E Y X = vr [ Y]. Itertivität der Erwrtugswerte: =, Kovriz: cov [ X, Y] = E ( X E[ X] ( Y E[ Y] = E[ X Y] E[ X] E[ Y] Korreltio(soeffiziet: ρ XY, cov XY, X EX Y EY = = cov,, vr X vr Y vr X vr Y Summe vo Zufllsvrile Fltug: Sid X ud Y stochstisch uhägig, so ist die Verteilug der Summe X+Y durch die Fltug PX P Y der Verteiluge P X ud P Y gegee: Stetige Fltugsformel: ( PX PY( A = f X ( fy ( z ddz A, A we X, Y stetige Zufllsvrile mit Dichte fx zw. f Y sid ( X Y ({ } Disrete Fltugsformel: P P = P X + Y = = P X = P Y =, = we X, Y disrete Zufllsvrile uf = {,,,...} sid Zufllssumme N sei eie disrete Zufllsvrile uf {,,, } ud S eie Zufllssumme mit prweise stochstisch uhägige, idetisch wie X verteilte Xi, die stochstisch uhägig vo N sid:. Gleichug vo Wld: E[ S] = E[ X] E[ N] N S = X i= i Zufllsvrile
4 . Gleichug vo Wld: vr[ S] = E[ N] vr [ X] + vr[ N] ( E[ X] Fudmetlformel(: ϕs ( t mn ϕx ( t t S ( N X ( { } = MEF t = m MEF t t m t = m m t t, ; N, X disret uf, Δ, Δ,..., Δ> S N X Zusmmegesetzte Poisso-Verteilug = Spezilfll eier Verteilug eier Zufllssumme (, mit mit ~, ~ ( ZPV P P S X X P N X S i i X i= N = = = E[ X] E X E S vr S = E S E S = E X E X γ [ S] = ( E X π 4 4 ( = + E S E S E X E X Norml-Power-Approimtio μ = σ = γ = γ > Es sei U eie Zufllsvrile U mit eistierede Momete EU, vr [ U], [ U] ( u PU u -μ γ 6γ 9 γ σ Φ + + Apssugsoeffiziet ud Ruiwhrscheilicheit Zu gegeee Prmeter c (Prämie, = E[N]> ud Schdehöheverteilug Q erechet sich der Apssugsoeffiziet R ls positive Lösug der Gleichug R + Rc= e Q( d. c μ Für Q = Ep(/μ ist mit θ = μ θ R =. μ + θ I diesem Fll ergit sich für die Ruiwhrscheilicheit ψ(s zum Strtpitl (Afgsreserve s s θ ( ψ s = ep. + θ μ + θ Zufllsvrile 4
5 Disrete Verteiluge Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Zähldichte p = P N = ({ } Reursio Erwrtugswert Vriz Schiefe (Whrscheilicheits- Erzeugede Futio disrete Gleichverteilug m + U( m ( m ( =,,..., m m m ( m+ s m+ ( m+ ( s Poissoverteilug π ( ( > e! ( p = p (, p = e e ( s Biomilverteilug B( m, θ ( m, θ (, m ( m θ θ ( =,,..., m p m + θ = p θ ( =,,..., m p ( θ = m m θ ( θ m θ θ ( θ m θ θ s + ( θ m Negtive Biomil- Verteilug NB( β, θ ( β >, θ (, β + β ( θ θ ( p β + = θ p, p = ( θ β θ β θ β θ ( θ + θ β θ θ θ s β gemischte Poissoverteilug GΠ Λ ( Λ > Zv e PΛ ( d! ( E[ Λ ] + vr E Λ [ Λ] ( E[ Λ ] + vr[ Λ] β Λ + vr[ Λ ] + E[ Λ] β [ Λ ] = E ( Λ E[ Λ] MEF Λ (s Verteiluge 5
6 Stetige Verteiluge Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Dichte Verteilugsfutio Erwrtugswert Vriz Schiefe Mometerzeugede Futio Gestutzte Momete E X X > s stetige Gleichverteilug U(, ( < (, ( ( (, ]( + (, ( ( + ( t = t t e e t t ( s + + ( + ( s s (, Gmmverteilug Γ (, ( >, e Γ ( > t Γ ( ;, = e t dt Γ( ( t ( t < ( ( ( s;, Γ ( Γ( s;, Γ + Γ + Epoetilverteilug Ep =Γ, ( > e ( > e ( ( t < t! = ( s! Weiull verteilug e W(, ( > ( >, e ( Γ + ( ( ( Γ + Γ + Logorml- e verteilug πσ LN ( μ, σ ( μ, σ > ( > ( l( μ σ Φ l( ( μ σ ( > e σ μ+ μ+ σ σ e ( e σ σ e ( e + ( s l μ Φ σ μ+ σ σ e l( s μ Φ σ Verteiluge 6
7 Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Dichte Verteilugsfutio Erwrtugs- Wert Loggmm l( t dt verteilug l( + Γ( Γ LΓ(, t ( > ( >, ( ( > ( > um verschoee l( t+ Loggmmvtlg. ( + l( + dt LΓ (, + Γ Γ ( t + ( > ( >, ( ( > ( > Preto-Verteilug + Pr(, ( >, ( ( ( > ( ( > ( > um verschoee Preto-Verteilug Pr (, ( >, Iverse Guß- Verteilug IG(, μ (, μ > + ( > e π ( > + ( μ μ + ( μ Φ e + + Φ μ μ ( > ( > μ Vriz Schiefe Mometerzeugede Futio ( > ( ( μ ( + ( ( > ( + ( ( > μ Eistiert icht Eistiert icht Eistiert icht Eistiert icht μ t μ e ( t < μ Gestutzte Momete E X X > s s ( s >, > s + = ( s >, > Verteiluge 7
8 u / Telle: Dichtefutio der Stdrd-Normlverteilug N(, : ϕ( u = e ; ϕ( u = ϕ( u π u,,,,,4,5,6,7,8,9, u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elle 8
9 u t / Telle: Verteilugsfutio der Stdrd-Normlverteilug N(, : Φ ( u e dt ; Φ ( u = Φ ( u = π u,,,,,4,5,6,7,8,9 u,,5,5989,57978,5967,5595,5999,59,579,588,55856,,,5988,54795,547758,5577,55567,55968,56559,567495,5744,57545,,,5796,5866,58764,59954,59485,59876,6568,664,66,649,,,679,679,6556,69,67,668,64576,6449,6487,657,,4,6554,65997,66757,6664,67,67645,6774,688,68486,6879,4,5,6946,694974,698468,7944,754,7884,76,7566,794,745,5,6,75747,7969,77,7565,7894,7454,7457,74857,75748,7549,6,7,7586,7648,7648,7675,775,777,7767,7795,785,7856,7,8,78845,79,7989,7967,799546,88,856,8785,857,867,8,9,8594,88589,84,884,869,88944,847,8977,86457,889,9,,8445,8475,8466,848495,858,854,85548,85769,85999,864,,,8644,8665,86864,8776,87857,87498,876976,878999,88,88977,,,8849,88686,888767,8965,895,8945,89665,897958,89977,9475,,,999,949,9658,984,99877,949,985,94656,967,9776,,4,994,97,996,964,9566,9647,97855,999,956,9888,4,5,99,94478,95744,9699,98,9949,946,9479,94947,9448,5,6,945,946,94784,948449,949497,9559,9554,9554,955,954486,6,7,95545,95667,95784,95885,9597,95994,96796,9666,9646,967,7,8,9647,96485,9656,96675,9676,96784,968557,96958,969946,976,8,9,9784,979,9757,9797,978,9744,975,97558,97648,97675,9,,9775,977784,9788,9788,9795,97988,98,98774,987,9869,,,986,9857,98997,9844,988,984,98464,984997,9857,98578,,,98697,986447,98679,9876,987455,987776,98889,98896,988696,988989,,,98976,989556,9898,9997,9958,996,9986,996,9944,99576,,4,998,994,994,9945,99656,99857,995,9944,994,996,4,5,9979,9996,994,99497,994457,99464,994766,99495,9956,995,5,6,9959,99547,9956,9957,995855,995975,9969,9967,9969,99647,6,7,9965,99666,99676,9968,99698,997,997,99797,9978,99765,7,8,997445,9975,997599,99767,997744,99784,99788,997948,998,99874,8,9,9984,9989,9985,9985,99859,9984,99846,9985,998559,99865,9,,99865,998694,99876,998777,99887,998856,99889,9989,998965,998999, Telle 9
10 Telle: Chi-Qudrtverteilug χ α ; f Qutile (Schwellewerte der χ -Verteilug zur sttistische Sicherheit -α i Ahägigeit vom Freiheitsgrd f Telle
11 Telle: t-verteilug Qutile (Schwellewerte der t-verteilug zur sttistische Qutile (Schwellewerte der t-verteilug zur sttistische t α ; f t α / ; f Sicherheit S = -α (ei eiseitiger Agrezug i Ahägigeit Sicherheit S = -α (ei zweiseitiger Agrezug i Ahägigeit vom Freiheitsgrd f; = - vom Freiheitsgrd f; = - t α ; f t α ; f t α / ; f tα / ; f Telle
Wiederholung Analysis. Stetige Zufallsgrößen. Verteilungsfunktion. Intervallwahrscheinlichkeiten. ( ) da lim F( x) = 0. ist monoton wachsend
Wiederholug Alysis Stetige Zufllsgröße F sei Stmmfuktio zu f f d= F F = f Bestimmtes Itegrl f ( d ) = F F Ueigetliche Itegrle f () tdt= F lim F f() t F = f() t dt ist mooto wchsed f () tdt= lim F F A=F()-F()
Asymptotik und stetige Zufallsvariablen
Asmptoti ud stetige Zullsvrile Verteilugsutioe Tschesche-Ugleichug Gesetz der große Zhle Stirlig-Formel Zetrler Grezwertstz Normlverteilug χ -Verteilug t-verteilug Epoetilverteilug Verteilug vo Atie-Returs
11 Likelihoodquotiententests
11 Likelihoodquotietetests I de Paragraphe 7-10 wurde beste Tests UMP-Tests oder UMPU-Tests i spezielle Verteilugssituatioe hergeleitet Hier soll u ei allgemeies Kostruktiosprizip für Tests vo zusammegesetzte
Das kollektive Risikomodell. 12. Mai 2009
Kirill Rudik Das kollektive Risikomodell 12. Mai 2009 4.1 Eileitug Wir betrachte i diesem Kapitel die Gesamtforderuge im Laufe eies Jahres. Beim Abschluss eies Versicherugsvertrages weiß der Versicherer
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Testen statistischer Hypothesen
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Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung p (probability function) ist definiert durch: p(x i ) := P (X = x i ),
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26 3 Wichtige Wahrscheilicheitsverteiluge Wir betrachte zuächst eiige Verteilugsfutioe für Produtexperimete 31 Die Biomialverteilug Wir betrachte ei Zufallsexperimet zum Beispiel das Werfe eier Müze, bei
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Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
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κ Κα π Κ α α Κ Α
κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ
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Mathematik (AHS) Formelsammlung für die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung (ab Schuljahr 2017/18)
Mthemtik (HS Formelsmmlug für die stdrdisierte kompetezorietierte schriftliche Reifeprüfug ( Schuljhr 017/18 1 Poteze Poteze mit gzzhlige Expoete R; N\{0} R\{0}; N\{0}... 1 0 1 1 1 1 ( 1 Fktore Poteze
Analysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
Statistik, Abschnitt (1) Gegeben sei der Stichprobenvektor (X 1,..., X n ). Die Stichprobenfunktion. ˆµ k := 1 n. Xi k (1) i=1.
Statistik, Abschitt.. Schätzmethode.. Mometemethode Für Parameter, die sich i bekater Weise aus de Momete zusammesetze, erhält ma Schätzuge, idem ma die theoretische Momete durch die sogeate empirische
1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
( ) Formelsammlung. Kombinatorik. Permutation: ohne Wiederholung. n! = n (n - 1) (n - 2)... 3 2 1 n= alle Elemente. Permutation: mit Wiederholung
Formelsammlug Kombiatori Permutatio: ohe Wiederholug! = ( - 1) ( - 2).... 3 2 1 = alle Elemete Permutatio: mit Wiederholug!! P, = = usw. = gleiche Elemete! 1! K 2! Stichprobe (SP) = geordete Auswahl Geordete
Formelsammlung Mathematik
Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
Zulassungsprüfung Stochastik,
Zulssungsprüfung Stochstik, 2.0.2 Wir gehen stets von einem Mßrum (Ω, A, µ) bzw. einem Whrscheinlichkeitsrum (Ω,A,P) us. Die Borel σ-algebr uf R n wird mit B n bezeichnet, ds Lebesgue Mß uf R n wird mit
Konvexität und Ungleichungen
Koveität ud Ugleichuge Tag der Mathematik 2003 Holger Stepha Weierstraß Istitut für Agewadte Aalysis ud Stochastik http://www.wias-berli.de/people/stepha = Für mathematisch iteressierte Schüler = Folie
Cristian Rosca & Timm Kruse: Ungleichungen II (Proseminar Mathematisches Problemlösen SS 2006: Dozent - Natalia Grinberg) UNGLEICHUNGEN II
Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Posemi Mthemtishes Polemlöse Uivesität Klsuhe SS 006 UGLEICHUGE II Youg-Ugleihug... Hölde-Ugleihug...6 Miowsi-Ugleihug...0
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
Übungsaufgaben BLF. 1. Berechne! d) 0, 2. Löse!
ohe Hilfsmittel. Bereche! ) 0 Üugsufge BLF ) lg 0, 0 c) 0 d) 0, 0 e) f) 00% vo 0, 7. Löse! ) 0, ) lg c) ( ) 0 0. Wie groß ist die Fläche des Kreises? ), cm² ) 5, cm² c) 6,5. Gi Defiitios ud Werteereich!
Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
Lösungsformel für quadratische Gleichungen. = ± q + Lösungsformel für. Potenzen. negative Exponenten: gebrochene Exponenten: a a.
HUNKLOIHDWKHPDWLN Dies ist keie Fomelsmmlug im klssische Si - die vewedete Bezeichuge wede icht eklät ud Voussetzuge fü die ültigkeit de Fomel wede i de Regel icht gegee. 7HLO,6WRIIJHELHWHHULWWHOVWXIH
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler 9.04.008 Äderug Übugsstude Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Gruppe vo Markus trifft sich am Doerstag statt im HCI D zusamme mit der Gruppe
24 Konvergente Teilfolgen und Cauchy-Kriterium
120 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium Lerziele: Kozepte: Teilfolge, Häufugswerte, Limes superior ud iferior, Cauchy-Folge Resultate: Satz vo Bolzao-Weierstraß,
Klassifizierung der Verteilungen. Streuung der diskreten Verteilung
Wichtigste Verteiluge der Biostatisti Disrete Zur Erierug Klassifizierug der Verteiluge Kotiuierliche Disrete Gleichverteilug Kotiuierliche Gleichverteilug Biomialverteilug Normalverteilug Poisso Verteilug
Ökonometrie Formeln und Tabellen
Ökoometrie Formel ud Tabelle Formelsammlug 1 Lieares Modell ud KQ-Schätzug 11 Eifachregressio Lieares Modell: Y i = β 0 + β 1 x i + U i, i = 1,2,, Aahme des lieare Modells: A1: E[U i ] = 0 für alle i =
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die
Lösungen zu den Aufgaben zu Mathematik I. w w w f f f f w w f f w w f f w f w w f w w w w f f w w w w w w. s = p q p q erhalten wir folgende Tabelle:
TEIL B Lösuge zu de Aufgabe zu Mathematik I.. Logik... A B A B A B A B A B w w w f f f f w f f w f w w f w f w w f w f f f w w w w A B A B B A B [ ] ( A B) ( A B) A ( ) ( ) A B A B A w w w f f f f w w
3.8 Methode der kleinsten Quadrate
3.8 Methode der leiste Qudrte Lest Squres Normlgleichug usggsput: Üerestimmtes System.? Mehr Gleichuge ls Uete Sei eie m Mtri mit m> ud miml vollem Rg: rg d.h. ildet de R m i de gze R. Ds System ist d
Seminarausarbeitung: Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Unterschiedliche Konvergenzarten von Folgen von Zufallsvariablen
Semiarausarbeitug: Gegebeispiele i der Wahrscheilichkeitstheorie - Uterschiedliche Kovergezarte vo Folge vo Zufallsvariable Volker Michael Eberle 4. März 203 Eileitug Die vorliegede Arbeit thematisiert
Tests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 2 Stochastische Uabhägigkeit, bedigte Wahrscheilichkeite 2.1 Stochastische Uabhägigkeit vo Ereigisse Im Folgede gehe wir vo eiem W-Raum (Ω, A, P aus. Der Begriff der stochastische Uabhägigkeit
Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
Die Varianz (Streuung) Definition
Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ
BRÜCKENKURS MATHEMATIK
BRÜCKENKURS MATHEMATIK ELEMENTE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG Schwerpute: Begri der Aleitug Aleitugsregel Uestimmtes Itegrl Bestimmtes Itegrl Itegrtiosregel Aweduge Pro. Dr. hil. M. Ludwig TU
Gleichungen und Ungleichungen. Mathematische Grundlagen. Beispiel. Beispiel. Lösung einer quadratischen Gleichung:
Gleichuge ud Ugleichuge Mathematische Grudlage Das Hadout ist Bestadteil der Vortragsfolie zur Höhere Mathemati; siehe die Hiweise auf der Iteretseite wwwimgui-stuttgartde/lstnumgeomod/vhm/ für Erläuteruge
Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
Maximum Likelihood Version 1.6
Maximum Likelihood Versio 1.6 Uwe Ziegehage 15. November 2005 Logarithmegesetze log a (b) + log a (c) = log a (b c) (1) log a (b) log a (c) = log a (b/c) (2) log a (b c ) = c log a (b) (3) Ableitugsregel
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Merkhilfe Mathematik für die Sekundarstufe II an beruflichen Schulen in Baden-Württemberg
Merkhilfe Mthemtik für die Sekudrstufe II erufliche Schule i Bde-Württemerg Für die schriftliche Fchhochschulreifeprüfug sid ur die Ihlte der Seite is 6 der Merkhilfe relevt, die icht mit eiem grue Blke
Zinsratenmodelle in stetiger Zeit: Teil II
Zisratemodelle i stetiger Zeit: Teil II Simoe Folty 1.11.006 1. Vasicek Modell (1977) 1.1 Eiführug Vasicek schlug das folgede Modell für die risikofreie Zisrate r(t) vor, basiered auf der SDGL d r t α
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug
Kapitel 9: Schätzungen
- 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
Übungsaufgaben mit Lösungen zur Analysis und linearen Algebra
Übugsaufgabe mit Lösuge zur ud lieare Algebra Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe ) Bilde Sie die. Ableitug der folgede Fuktioe: a) f (x) = (x 7 + 5x + 4) 0 = f (x) = 0(x 7 + 5x + 4) 9
1. Einführung. 1 A (T (x 1,..., x n )) P θ (dx 1 )... P θ (dx n ) X. P θ {T n (X 1,..., X n ) A} =
. Eiführug Bezeichuge: Der durch die Zufallsgröße X defiierte Wahrscheilichkeitsraum [X, B, P X ] heißt auch die Grudgesamtheit X. B ist die σ-algebra der Borelmege aus X. Vielfach wird die Grudgesamtheit
MATRIZENRECHNUNG A = Matrix: m Zeilen, n Spalten. Allgemein: A = heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix) aij:
MATRIZENRECHNUNG Mtri: 3 5 4 5 A = 3 5 5 7 8 3 8 Allgeei: A = 3 3 3 Zeile, Splte ij: heißt Kopoete der Mtri (Eleet der Mtri) ij ist Kopoete der i-te Zeile, j-te Splte Mtri der Ordug, ( -Mtri): A(,) oder
Einführung in die Stochastik 10. Übungsblatt
Eiführug i die Stochastik. Übugsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler.7. A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 37 (4 Pukte) Ei Eremit am Südpol hat sich für die eibrechede polare Nacht mit
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
Induktive Statistik. Formelsammlung. Prof. Dr. W. Assenmacher. Stichprobenraum: Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m }
Prof. Dr. W. Assemacher Statistik ud Ökoometrie Uiversität Duisburg-Esse Campus Esse Iduktive Statistik Formelsammlug Stichproberaum: Ω = {ω 1, ω,...,ω m } Vollstädiges System vo Ereigisse {A 1,..., A
Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie
Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Mathias Schaefer Universität Ulm 26. November 212 1 / 38 Übersicht 1 Normalverteilung Definition Eigenschaften Gegenbeispiele 2 Momentenproblem Definition
Zenraler Grenzwertsatz
Zeraler Grezwertsatz Ato Klimovsky Zetraler Grezwertsatz. Kovergez i Verteilug. Normalapproximatio. I diesem Abschitt beschäftige wir us mit der folgede Frage. Frage: Wie sieht die Verteilug eier Summe
10 Transformation von Zufallsvariablen
10 Transformation von Zufallsvariablen Sei X : Ω R eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X (x) = P(X < x). Wir betrachten eine Funktion g: R R und sei Zufallsvariable Y : Ω R mit Y = g(x). Y :
2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:
. Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe
Formelsammlung Stochastik
Formelsammlug Stochasti Adrea Katharia Fuchs 31. Jauar 008 1 Wahrscheilicheit Ω... Ereigisraum, Grudraum ω... Elemetarereigis A, B, C... Ereigis, Teilmege vo Ω Schittmege: A B heisst A ud B Vereiigug:
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
Y = g 2 (U 1,U 2 ) = 2 ln U 1 sin 2πU 2
Bsp. 72 (BOX MÜLLER Transformation) Es seien U 1 und U 2 zwei unabhängige, über dem Intervall [0, 1[ gleichverteilte Zufallsgrößen (U i R(0, 1), i = 1, 2), U = (U 1,U 2 ) T ein zufälliger Vektor. Wir betrachten
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
4.1 Das (schwache) Gesetz der großen Zahl
Kpitel 4 Grezwertsätze Dieses Kpitel ist gewissermße der Höheput der bisher etwicelte Theorie ud bietet gleichzeitig eie Übergg zum Eistz der W eitstheorie i der Prxis. Bislg wre wir immer vo Modellvorgbe
Lösungen zum Übungsblatt 2
Fakultät für Luft- ud Raumfahrttechik Istitut für Mathematik ud Recherawedug Partielle Differetialgleichuge II (ME), Prof. Dr. J. Gwier Übug: N. Ovcharova, K. Dvorsky 6. Jauar bis 9. Februar 011 Lösuge
Parameterschätzung. Kapitel Schätzfunktionen
Kapitel 8 Parameterschätzug 8.1 Schätzfuktioe Def. 8.1.1: Es seie X 1,X,...,X uabhägige ZV, die alle die gleiche Verteilug besitze. θ sei ei ubekater Parameter dieser Verteilug. X 1,X,...,X ist als eie
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik
Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie Ihaltsverzeichis 1
Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.
Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)
Mathematische Formelsammlung
Alysis 1. Folge ud Grezwerte 1.1. Defiitio: Mthemtische Formelsmmlug Eie Fuktio mit N * ={1; 2;3 ;...} ls Defiitiosereich heißt Folge. 1.2. Defiitio: Eie Folge heißt mooto steiged, we für lle Folgeglieder
Übungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr THEMEN: Testtheorie
Uiversität Müster Istitut für Mathematische Statistik Stochastik WS 203/204, Blatt Löwe/Heusel Aufgabe (4 Pukte) Übuge Abgabetermi: Freitag, 24.0.204, 0 Uhr THEMEN: Testtheorie Die Sollstärke der Rohrwäde
Empirische Ökonomie 1 Sommersemester Formelsammlung. Statistische Grundlagen. Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable.
Empirische Ökoomie 1 Sommersemester 2013 Formelsammlug Hiweis: Alle Variable, Parameter ud Symbole sid wie i de Vorlesugsuterlage defiiert. Statistische Grudlage Erwartugswert Erwartugswert ud Variaz eier
Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistik - Ergänzung zum Skript
Wahrscheilichkeitsrechug & Statistik - Ergäzug zum Skript Prof. Schweizer 9. Oktober 008 Mitschrift: Adreas Steiger Warug: Wir sid sicher dass diese Notize eie Mege Fehler ethalte. Betrete der Baustelle
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
i=0 a it i das erzeugende Polynome von (a 0,..., a j ).
4 Erzeugede Fuktioe ud Polyome Defiitio 4 Sei a = (a 0, a, eie Folge vo atürliche Zahle, da heißt die formale Potezreihe f a (t := i 0 a it i die erzeugede Fuktio vo a Gilt a i = 0 für i > j, so heißt
Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
- 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete
Wirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik
Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche