4.1 Das (schwache) Gesetz der großen Zahl

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1 Kpitel 4 Grezwertsätze Dieses Kpitel ist gewissermße der Höheput der bisher etwicelte Theorie ud bietet gleichzeitig eie Übergg zum Eistz der W eitstheorie i der Prxis. Bislg wre wir immer vo Modellvorgbe usgegge: Sei X so-ud-so-verteilt mit dem/der/de Erwrtugswert/Streuug/Eigeschfte etc. I der prtische Awedug ist es um relistisch, vo orete Verteiluge mit bete Prmeter uszugehe. Stttdesse wird m eher eie Stz vo Messdte vorliege hbe, die stochstisch zu iterpretiere sid Sttisti. Die folgede Grezwertsätze sid hilfreich, sttistische Dte i ds Gerüst der W eitstheorie eizuorde. 4. Ds schwche Gesetz der große Zhl Gegebe sei eie ufire Müze. Um P Kopf zu bestimme, wird m sie häufig werfe ud d Azhl der geworfee Köpfe P Kopf Azhl ller Würfe setze. Wieso bzw., i welchem Sie liefert dies eie verüftige Schätzug für P Kopf? Stz 4.: Ds schwche Gesetz der große Zhl Seie X,..., X ubhägige Zufllsvrible, lle mit dem selbe Erwrtugswert µ = E X = = E X ud der selbe Streuug = X = = X. Sei X = X i die Mittelwert Vrible. Für jedes ɛ > 0 gilt P X µ ɛ 2 ɛ 2, 0

2 02 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE bzw., äquivleterweise P X µ < ɛ 2 ɛ 2. Bew: Wege der Ubhägigeit ist icht ur der Erwrtugswert, soder uch die Vriz lier siehe Abschitt 2.5.2: E X = E X i = µ = µ, Vr X = Vr X i = 2 Vr X i = 2 Die Chebyshev-Ugleichug 2.36 liefert sofort: 2 = 2. P X E X ɛ = P X µ ɛ Vr X ɛ 2 = 2 ɛ 2. Q.E.D Iterprettio, 4.2: M betrchte de Spezilfll, dss lle Vrible X,..., X die selbe Verteilug hbe, lso ds selbe Zufllsexperimet drstelle: es geht lso um ubhägige Wiederholuge des selbe Experimets. Die Vrible X,..., X werde ls ubhägige Wiederholuge ei ud des selbe Zufllsexperimets X iterpretiert. Die Mittelwertvrible X etspricht d dem Zufllsexperimet: führe ubhägige Eizelmessuge vo X durch ud betrchte de Mittelwert. Zu jedem och so leie vorgegebee ɛ > 0 wird die Whrscheilicheit, dss der Mittelwert um mehr ls ɛ vom i der Regel ubete Erwrtugswert des Eizelexperimets X bweicht, mit wchsedem immer leier lso, je öfter m ds Eizelexperimet wiederholt. Komplemetär: die Whrscheilicheit, dss der Mittelwert bis uf ei ɛ de Erwrtugswert liefert, liegt bei geüged großem prtisch bei. I dieser Iterprettio liefert ds Gesetz der große Zhl überhupt erst die Grudlge, die mthemtische W eitstheorie uf prtische Frgestelluge wede zu öe Sttisti. Die Prmeter eier Verteilug wie z.b. der Erwrtugswert sid i prtische Experimete ubet, m muss sie durch Messuge bschätze:

3 4.. DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHL 03 M de Erwrtugwert µ = E X eies Eizelexperimets X durch empirische Mittelwerte X messe! We die Stichprobegröße ur groß geug ist, d.h., wird ur geüged oft wiederholt, so pproximiert der Mittelwert mit großer W eit de Erwrtugswert. Für jedes feste ɛ > 0 gilt: lim P X µ < ɛ =. Umgeehrt liefert diese Aussge die Iterprettio des Erwrtugswertes ls Kezeiche eier Zufllsvrible, der j i Defiitio 2.22 ls rei mthemtisches Objet eigeführt wurde: Der Erwrtugswert eier Zufllsvrible etspricht dem Wert, de m ch häufiger ubhägiger Wiederholug des Experimets durch Mittelug erhält. Dher der Sprchgebruch 2.23: X immt im Mittel de Erwrtugswert E X. Iterprettio 2, 4.3: Wir lsse u eie gewisse Prdigme-Wechsel zu. Wie iterpretiert m eie W eitsussge wie P X µ < ɛ 2 ɛ 2 i eier prtische Awedug? Bislg wr usere Iterprettio: sei ds Modell der Stichproberum, die Verteilug, die Prmeter wie z.b. der Erwrtugswert µ etc. vorgegebe. D wurde die obige W eit folgedermße iterpretiert: Führe wir i Zuuft ei reles Zufllsexperimet durch, so werde wir dbei mit der berechete bzw. bgeschätzte W eit orete Werte X = x, X 2 = x 2,..., X = x ermittel, dere Mittelwert x = x i bis uf eie bsolute Geuigeit ɛ Werte i der Nähe des vorgegebee Erwrtugswerts µ immt. D.h., eie prtische Iterprettio beihltet, Zufllsvrible X i mthemtisch ei Abstrtum : Futioe vom Stichproberum ch R durch orete Zhle x i Messwerte eies ttsächlich durchgeführte Zufllsexperimets zu ersetze.

4 04 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Vo u erlube wir uch folgede Iterprettio: Ds ttsächliche Zufllsexperimet sei bereits durchgeführt, es liege Zhlewerte Messuge X = x,,..., X = x mit dem Mittelwert x = x i vor. Wo bleibt u i der Aussge P X µ < ɛ 2 ɛ 2 ds ituitive Kozept vo W eit, we X eie gemessee Zhlewert x geomme ht? Nu, m mche sich lr, ws ei Modell im Sie der philosophische Eretistheorie prizipiell ist: es icht ud soll icht ei mthemtisches Abbild eier bsolute Whrheit sei. Koret heißt dies hier, weder orete Verteiluge och Prmeter sid i prtische Aweduge wirlich bet. Ersetze wir i P X µ < ɛ die Zufllsvrible X durch eie Messwert x, so iterpretiere wir folgedermße: P x µ < ɛ 2 ɛ 2 P x µ < ɛ gibt die Sicherheit, dss der ubete Erwrtugsert µ bis uf eie bsolute Geuigeit ɛ i der Nähe des gemessee Mittelwerts x liegt. Diese Iterprettio lässt sich icht suber i ds strege Kozept der W eitstheorie eiorde dzu müsste wir µ i irgedeiem Sie ls eie Zufllsvrible iterpretiere. Dher spreche wir bei P x µ < ɛ icht vo eier W eit, soder vo eier ur ituitiv zu iterpretierede Sicherheit. I der Tt ist die obige Iterprettio ei rg eifches Weltbild, ds zu Proteststürme usgemchter Stochstier führe dürfte, die i der Schätztheorie eie subere Iterprettio im Sie des W eitsmßes der uterliegede Modelle beutze. Ds Itervl [ x ɛ, x + ɛ] wird uch Kofidezitervl für de Prmeter µ zur Sicherheit P X µ < ɛ get. Bemerug 4.4: Es gibt uch ei sogetes stres Gesetz der große Zhl. Dies ist die stärere Aussge P lim X µ = 0 =, wobei mit P lim X µ = 0 gemeit ist P {ω Ω; Kregel, Kpitel 2. lim X ω = µ}. Siehe

5 4.. DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHL 05 Beispiel 4.5: Zurüc zum Problem, für eie ufire Müze P Kopf durch empirische Messug zu bestimme. Allgemei, sei ei Beroulli-Experimet X : Ω {0, } mit ubeter Erfolgsw eit p = P X = ud q = P X = 0 = p gegebe. Nch Beispiel 2.38 mit = gilt E X = p, Vr X =. Seie X,..., X ubhägige Wiederholuge vo X. Dmit ht der Mittelwert die Iterprettio X = Azhl der Erfolge X i = Azhl der Versuche. Ds Gesetz der große Zhl liefert für jedes ɛ > 0: P X ɛ < p < X + ɛ ɛ 2 4 ɛ 2. Bechte: für jedes Beroulli-Experimet gilt Vr X = = p p /4. Dies ist hier hilfreich, d p j icht bet ist, soder erst och bgeschätzt werde soll. Ageomme, eie ufire Müze wurde = 000 ml geworfe, worde, es sei dbei 600 ml Kopf eigetrete, lso: ds Ereigis X = x = 0.6 ist eigetrete. Mit verschiedee Werte vo ɛ ergebe sich die Sicherheite ɛ = 0 : P < p < /0 2 = 0.975, ɛ = 20 : P < p < /20 2 = 0.9, ɛ = 50 : P < p < /50 2 = Also: ch dem Experimet ich mit midestes 97.5%-iger Sicherheit sge, dss p im Itervll 0.5, 0.7 liegt. Mit midestes 90%-iger Sicherheit liegt p im Itervll 0.55, Mit mideste 37.5%-iger Sicherheit liegt p im Itervll 0.58, Amerug: eie sehr ähliche Disussio hbe wir scho eiml i Beispiel 2.39 geführt. Die Vrible S = X = i X i = Azhl der Erfolge eies Beroulli- Experimets ist beterweise biomil-verteilt, lso P X p < ɛ = P X p < ɛ = P S E S < ɛ = P S = = p q. =0,..., p < ɛ > p ɛ < p+ɛ D wir p icht ee, öe wir diese W eite zwr icht ext bereche, ber

6 06 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE mit p 0.6, = 000 grob bschätze: P X p < 0 P X p < 20 P X p < = = = , , Die vom Gesetz der große Zhl gelieferte Sicherheite sid lso rg utertriebe ei Wuder, de ds Gesetz der große Zhl beruht uf Chebyshev Beispiel 4.6: Bei Würfe mit eiem evtl. mipulierte Würfel soll die W eit p, eie Sechs zu würfel, empirisch ermittelt werde. Wie oft muss m werfe, um p mit eier Sicherheit vo midestes 97.5% uf eie bsolute Geuigeit vo ɛ = /000 festlege zu öe? Sei X wieder die Mittelwertvrible Azhl der geworfee Sechse bei Würfe Erwrtugswert E X = p: Gemäß Beispiel 4.5 gilt P X ɛ < p < X + ɛ =: S. P X ɛ < p < X + ɛ ɛ 2 4 ɛ 2. Also muss so groß sei, dss /4 ɛ 2 S gilt, lso 4 S ɛ 2 = 06 = Dies ist wiederum eie zwr sichere, ber ziemlich grobe Abschätzug. Setzt m log zu Beispiel 4.5 die Approximtio p /6 i die exte Biomil-Verteilug der Vrible S = Azhl der Sechse ei, so ergibt sich mit = für eie gemessee reltive Häufigeit x der Sechse die wesetlich äher bei liegede Sicherheit P x p < 000 /6+/000 = /6 /000 P x p < Probiert m eiige Werte vo für p = /6 mit der obige exte Formel us, so zeigt sich, dss bereits Versuche für die Sicherheit reiche: für = , für = , für = Wir werde diese Rechug i Beispiel 4.3 och eiml ufgreife.

7 4.2. DIE MOIVRE-LAPLACE-NÄHERUNG 07 Allgemei gilt, dss ds Gesetz der große Zhl lso i.w. die Chebyshevsche Ugleichug zwr sehr wichtig für die Philosophie der W eitsrechug ist, für die Prxis ber ur schlechte Abschätzuge liefert siehe die letzte Beispiele. Der folgede Abschitt liefert wesetlich geuere Abschätzuge für die Biomil-Verteilug. 4.2 Die Normlverteilug ls Grezwert der Biomil-Verteilug: der Stz vo Moivre-Lplce I Abschitt wurde mit der Poisso Verteilug bereits eie Grezverteilug der Biomil Verteilug vorgestellt. Zur Erierug: betrchtet m ud gleichzeitig p 0, so dss λ = p ostt ist, so gilt lim p p = lim λ λ λ =! e λ. Wir betrchte hier u eie dere Grezübergg: de Grezfll, wobei p ostt gehlte wird. Für biomil-verteiltes S = Azhl der Erfolge bei bei Wiederholuge eies Beroulli-Experimets mit Erfolgsw eit p betrchte die reltive Erfolgshäufigeit X = S / ud Y = S p = X p. Es gilt E Y = E S p = 0, Vr Y = Vr S p = Vr S =. M et dieses Y uch zetrierte Erwrtugswert 0 ud ormierte Streuug reltive Erfolgshäufigeit. Diese ist für großes ormlverteilt: Zu bechte m Beispiel Zu bechte m: Vr α X + β = E α X + β 2 E α X + β 2 = α 2 E X αβe X + β 2 αe X + β 2 = α 2 E X 2 α 2 E X 2 = α 2 Vr X.

8 08 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Stz 4.7: Moivre-Lplce Sei S : Ω {0,,..., } biomil-verteilt: P S = = p q, q = p. Für p q 0 gilt: lim P S p b = b e x2 /2 dx. I Worte: für großes geügt die zetrierte ud ormierte Erfolgshäufigeit eier Normlverteilug mit Erwrtugswert 0 ud Streuug. Der Approximtiosfehler für großes ist O/ : P S p b = b e x2 /2 dx + O. Beweissizze: Elemetres Abschätze der Biomiloeffiziete über die Stirlig-Formel lässt die Expoetilfutio uftuche. Die exte W eit P S p b ist eie Summe über Biomil Terme, die ch der Approximtio ls Riem Summe für ds Itegrl iterpretiert werde. Die Riem Summe overgiert für gege ds Itegrl. Hier die techische Detils: Es gilt = P S p b = P p + S p + b b = p q, = p +, b = p + b bzuschätze. Die Terme sid dmit für Werte vo zu pproximiere, für die p cost gilt, lso / = O/ ud / = O/. Mit der Stirlig-Formel für Fultäte siehe Abschitt folgt p q =!!! = e e + O e + O + O

9 4.2. DIE MOIVRE-LAPLACE-NÄHERUNG 09 = p q + O. Ersetze durch die Abweichuge vom Erwrtugswert y = y = p. Mit de relevte Werte vo gilt y cost, lso y = O. Mit = p + y, = p y = q y gilt: = p + y q y = 2 + y q p y 2 = y = +O = + y q p y2 2 +O. Für de ächste Ftor gilt: p p p+y = = p + y y2 y3 y +O = e 2 p 2 y2 y = e 2 p Für de ächste Ftor gilt log: q q q y = = q y y2 y3 y +O = e 2 q 2 y2 y = e 2 q + y p p+y = e p + y p l+ y p y 3 y2 y + O 2 = e 2 p y q y 3 y2 y + O 2 = e 2 q Isgesmt folgt bechte p + q = p+q = : p q = e y y 2 = e y O. q y = e q y q l y q y2 y 2 p e 2 q + O = e + O. + O y O. Die gesuchte W eit lässt sich ch diese Vorbereituge bschätze. Es wird y wieder durch y = p ersetzt: P := P S p b = b = p q = b = e p 2 2 } {{ } I + b O =. } {{ } F

10 0 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Setzt m x = p/, so lässt sich der erste Term I ls Riem- Summe mit eier äquidistte Zerlegug des Itervlls [x, x b +] mit ostter Schrittweite x + x = / iterpretiere. Hierbei ist ud es folgt I = x = + O, x b + = b + O b = e x2 /2 x + x = b e x2 /2 dx + O. Die Approximtio eies Itegrls durch eie äquidistte Riem-Summe ht de Fehler O/Schrittweite. Im Fehlerterm F erstrect sich die Summe ur über b + + b = O Terme, lso gilt F O O/ = O/. Isgesmt ergibt sich dmit die Behuptug P = b e x2 /2 dx + O. Für die i Bemerug 4.8 behuptete gleichmäßige Kovergez bezüglich ud b müsste m die Abschätzuge verfeier. Dies erspre wir us hier. Q.E.D. Bemerug 4.8: M zeige, dss diese Approximtio durch die Normlverteilug gleichmäßig i de Greze ud b ist, d.h., der Fehlerterm O/ ubhägig vo ud b ch obe bgeschätzt werde durch eie ur vo bhägede Fehlerterm, der für verschwidet. Visulisierug 4.9: Die folgede Bilder visulisiere de Grezübergg. Über dem Itervll [, b] = [ 4, 5] wird die Dichte ρx = e x2 /2 / der N0, -Verteilug gezeichet. Weiterhi wird für p = 0.2 ud verschiedee Werte vo ds Alogo eier Dichte für die disrete Vrible Y = S p/ ls Bledigrmm folgedermße drgestellt: Die Bi, p-verteilte Vrible S immt die Werte = 0,...,. Diese -Werte werde uf der x-achse die Itervlle [x, x + der Läge dx = / vo jeweils x = p

11 4.2. DIE MOIVRE-LAPLACE-NÄHERUNG bis x + = x + dx zugeordet. Über diese Itervlle sid jeweils die ostte W eitswerte y = p q /dx der Biomil-Verteilug drgestellt. Der Slierugsftor /dx sorgt dbei dfür, dss die Fläche y dx eies Bles mit Breite dx geu die W eit P S = = p q ist. Mit wchsedem overgiert die disrete Bi, p-verteilug offesichtlich gege die otiuierliche N0, -Verteilug: = 0 p q pq {}}{ x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 0 = 2 = 4 = 6 x = 20 x 0 x 5 x 0 x = 00 x 0 x 20 x 30 x = 500 x 70 x 80 x 90 x 00 x 0 x 20 x 30 x

12 2 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Folgeruge 4.0: Die spezielle Form der Moivre-Lplce-Näherug i Stz 4.7 wird i äquivlete Aussge umgeschriebe. Mit P S p b = P p + S p + b b oder uch mit der mittlere Häufigeit X = S / P S p X p b = P b = P A X p b B = P p + } {{ } A X p + b B folge umittelbr llgemeie Approximtioe für biomil-verteilte Vrible S ud die verwdte mittlere Häufigeite X = S /. Aus der Moivre-Lplce-Näherug P S p b = b e x2 /2 dx + O folgt mit = p+, b = p+b, lso = p, b = b p : P S b = b p p e x2 /2 dx + O. Mit A =, B = b, lso = A, b = B : P A X p B = B A q q e x2 /2 dx + O. Mit A = A p, B = B p: P A X B = B p A p q q e x2 /2 dx + O. Die Itegrle öe z.b. mit der Wertetbelle der Futio Φ uf Seite 8 umerisch ermittelt werde: b e x2 /2 dx = b 0 e x2 /2 dx 0 e x2 /2 dx

13 4.2. DIE MOIVRE-LAPLACE-NÄHERUNG 3 = 2 b e x2 /2 dx b Φb für b 0 e x2 /2 dx Φ für 0 b e x2 /2 dx = sigb Φ b sig Φ. 2 Bemerug ud Wrug 4.: Für großes liefert Moivre-Lplce gute Näheruge, flls die zu berechede W eite icht llzu lei sid. M sollte ber icht erwrte, dss die Näheruge ußer bei riesigem uf mehr ls eiige weige Dezimlstelle geu sid. Sid die zu berechede W eite lei, so mcht sich der dditive Fehler O/ str bemerbr. Beispiel: Betrchte eie ufire Müze mit p = P Kopf = 0.6. Die Vrible S = Azhl der Köpfe bei Würfe ist Bi, p-verteilt. Wir vergleiche die exte Formel P S b = mit der Moivre-Lplce-Näherug b = P S b = b p p p q e x2 /2 dx + O Für = 00: P 55 S 70 = ext Für = 0 000: Moivre, Fehler P 5950 S 600 = ext Moivre, Fehler Die Fehler verhlte sich i der Tt wie O/ : sie flle etw um de Ftor /0, we um de Ftor 00 wächst. Achtug: werde leie W eite pproximiert, mcht sich der dditive Fehler der Moivre-Lplce-Näherug bemerbr. Z.B., für = 0 000: P 5500 S 5700 = ext Moivre.

14 4 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Bemerug 4.2: Wählt m i de Folgeruge 4.0 speziell B = A = ɛ > 0, so erhält m Dmit folgt q P ɛ X p ɛ = ɛ = Φ ɛ ɛ q + O. lim P X p ɛ =, e x2 /2 dx + O wie bereits durch ds Gesetz der große Zhl vorusgesgt wurde: der Erwrtugswert E X = p der Beroulli-Vrible X : Ω {0, } ls empirischer Mittelwert X häufiger Wiederholuge X i mit großer W eit Sicherheit S bestimmt werde. Ds Gesetz der große Zhl 4. liefert für ds Beroulli- Experimet X mit Erwrtugswert µ = p ud Vriz 2 = S = P X p < ɛ ɛ 2, dies wird durch Moivre-Lplce verfeiert zu S = P X p ɛ = Φ ɛ Dmit hbe wir u eie bessere Atwort uf die Frge + O. Wie oft muss ds Experimet X wiederholt werde, um de Erwrtugswert E X = p durch de Mittelwert X = i X i ubhägiger Messuge X i mit Sicherheit S = P X p < ɛ uf eie bsolute Geuigeit ɛ festlege zu öe? Ds Gesetz der große Zhl liefert die Abschätzug siehe uch die Beispiele 4.5 ud ɛ 2 S ɛ 2 S, über Moivre-Lplce erhlte wir us S Φɛ pq mit der Umehrfutio Φ u die relistischere leiere Approximtioe bzw. ɛ 2 Φ S 2 4 ɛ 2 Φ S 2 ɛ 2 Φ S 2

15 4.3. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 5 wir öe immer /4 beutze, flls die Größeordug vo p, q icht bet ist. Zum Vergleich für verschiedee vorgegebee Sicherheite S: S S Φ S Fzit: Moivre-Lplce erleichtert ds Lebe liefert relistische Abschätzuge, we m mit großer Sicherheit de Prmeter p empirisch bestimme möchte. Beispiel 4.3: Wir betrchte och eiml Beispiel 4.6: wie oft muss ei Würfel geworfe werde, um p = P Sechs mit eier Sicherheit vo 97.5% uf eie bsolute Geuigeit ɛ = /000 festlege zu öe? Mit der reltive Häufigeit X der bei Würfe beobchtete Sechse ist so zu bestimme, dss gilt. Nch der vorige Bemerug 4.2 gilt S P X p < ɛ P X p < =: S 000 Φ ɛ ɛ 2 Φ S 2. Die Wertetbelle für Φ uf Seite 8 zur Bestimmug vo Werte der Umehrfutio Φ beutzt werde. M fidet Φ = S, lso muss i guter Näherug ɛ gelte. Für ɛ = /000 folgt mit der zusätzliche Ahme eies äherd fire Würfels p /6, q 5/6, dss Würfe durchzuführe sid vergleiche mit de i Beispiel 4.6 gefudee Werte. Ohe die Zustzhme p /6, q 5/6 m wege = p p /4 die Geuigeit ɛ mit der Sicherheit S = i jedem Fll für Würfe grtiere. 4 ɛ

16 6 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE 4.3 Der Zetrle Grezwertstz Der letzte Abschitt zeigte, dss eie Bi, p-verteilte Vrible S sich für großes durch eie ormlverteilte Vrible äher lässt. Die Biomil- Verteilug ist die Verteilug eier Summevrible: S = = X i ist die Azhl der Erfolge bei ubhägige Wiederholuge X i eies Beroulli- Experimets X : Ω {0, }. Es stellt sich u herus, dss dies ur ei Spezilfll eies viel llgemeiere Gesetzes ist: jede Summe vo ubhägige Wiederholuge X i eies beliebige Experimets X ähert sich für großes eier Normlverteilug, egl ob ds Experimet ei Beroulli-Experimet ist oder eier evetuell beliebig omplizierte Verteilug gehorcht! Diese bemereswerte Eigeschft erlubt i viele Fälle, prtische Aweduge uch d qutittiv zu erfsse, we ichts über de uterliegede Zufllsmechismus bet ist. Nch häufige Wiederholuge weiß m, dss Summe ud Mittelwerte sich pproximtiv ormlverteilt verhlte we m ur geüged oft wiederholt ht. Stz 4.4: Zetrler Grezwertstz Sei X, X 2,... ei Fmilie ubhägiger Zufllsvrible über eiem gemeisme Stichproberum Ω, E, P. Alle Vrible hbe die selbe Verteilug, der gemeisme Erwrtugswert sei µ = E X = E X 2 =..., die gemeisme Streuug sei = X = X 2 =.... Für S = = X gilt: lim P S µ b = b e x2 /2 dx. Die Kovergez ist gleichmäßig i ud b. Der Approximtiosfehler für großes ist O/ : P S µ b = b e x2 /2 dx + O Beweissizze: ur eie sehr grobe Adeutug Zu eier Zufllsvrible X : Ω R defiiert m die sogete Fourier- Trsformierte ˆXα = E e i α X mit i =, α R. Die Verteilugsfutio F X vo X ist durch die Futio ˆXα eideutig bestimmt. Beispielsweise lässt sich für eie otiuierliche Vrible die Dichte ρx = F X x durch sogete Fourier-Rüctrsformtio ρx = e i α x ˆXα dα

17 4.3. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 7 us ˆXα reostruiere. Die Fourier-Trsformtio der N0, -Verteilug berechet sich zu ˆXα = e i α x e x2 /2 dx = e α2 /2. Es wird gezeigt, dss sich die Fourier-Trsformtio der Vrible Y = S µ für großes der Fourier-Trsformtio e α2 /2 der N0, -Verteilug ähert. Hierus folgt d, dss sich uch die Verteilug vo Y der N0, -Verteilug ähert. Es gilt E e i α Y = E e i α P X µ = E e i α X µ. D mit de X uch die Vrible e i α X µ/ ubhägig sid, gilt ch Stz 2.53 die Produtzerlegug des Erwrtugswerts: E e i α Y = = = E e i α X µ = E e i α X µ. Hierbei wurde verwedet, dss lle Vrible die selbe Verteilug hbe. Durch Reiheetwiclug vo exp ud l folgt: = l E +! l E e i α Y i α X µ + 2! = l E + i α E X µ! 0 = l α2 2 + O = 3 = l E e i α X µ i α 2 X µ + O 3 α 2 2! 2 E X µ 2 α2 2 + O O 3 = α2 2 +O. Es folgt, dss die Fourier-Trsformierte vo Y gege die Fourier-Trsformierte e α2 /2 der N0, -Verteilug overgiert: E e i α Y = e α2 /2 + O e α2 /2. Q.E.D.

18 8 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE I Alogie zu de Folgeruge 4.0 ergebe sich folgede Umformulieruge. Hierbei brucht i 4.0 lediglich der Erwrtugswert p ud die Vriz des Beroulli-Experimets durch eie llgemeie Erwrtugswert µ bzw. eie llgemeie Vriz 2 ersetzt zu werde: Folgeruge 4.5: Mit P S µ b oder uch mit de Mittelwerte X = S / P A P S µ b X µ b B = P µ + S µ + b b X µ = P = P µ + A b = X µ + b B folge umittelbr llgemeie Approximtioe für Summevrible S ud Mittelwerte X = S / für großes. Aus dem Zetrle Grezwertstz P S µ b b e x2 /2 dx folgt mit = µ +, b = µ + b, lso = µ, b = b µ : Mit A = P S b b µ e x2 /2 dx. µ, B = b, lso = A, b = B : P A X µ B B A e x2 /2 dx. Mit A = A µ, B = B µ: P A X B B µ A µ e x2 /2 dx. Die Itegrle öe z.b. mit der Wertetbelle der Futio Φ uf Seite 8 umerisch ermittelt werde:

19 4.3. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 9 b e x2 /2 dx = sigb Φ b sig Φ. 2 I Alogie zur Bemerug 4.2 folgt Bemerug 4.6: Wählt m i de Folgeruge 4.5 B = A = ɛ > 0, so erhält m für großes P ɛ X µ ɛ ɛ ɛ e x2 /2 dx = Φ ɛ ud dmit lim P X µ ɛ =, wie bereits durch ds Gesetz der große Zhl vorusgesgt wurde: der Erwrtugswert E X = µ eier beliebige Vrible X ls empirischer Mittelwert X häufiger Wiederholuge X i mit großer W eit Sicherheit S bestimmt werde. Ds Gesetz der große Zhl 4. liefert für ds Experimet X mit Erwrtugswert µ ud Vriz 2 P X µ < ɛ 2 ɛ 2, dies wird durch de Zetrle Grezwertstz verfeiert zu P X µ ɛ Φ ɛ. Bemerug 4.7: Führt m i de Folgeruge 4.5 P A X B B µ A µ e x2 /2 dx die Substitutio x = r µ P A X B durch, so ergibt sich B / A e r µ / dr. Dieses Itegrl etspricht de W eite eier Nµ, 2 /-verteilte Vrible siehe Abschitt 2.4.7, d.h., es gilt die Aussge: Der Mittelwert vo ubhägige Messuge eier beliebige Zufllsvrible mit Erwrtugswert µ ud Streuug geügt für großes pproximtiv eier Normlverteilug mit Erwrtugswert µ ud Streuug /.

20 20 KAPITEL 4. GRENZWERTSÄTZE Bemerug 4.8: I der Prxis ergibt sich llerdigs ds Problem: wie groß muss de u wirlich sei, dmit die Ahme eier Normlverteilug relistisch ist? Es gilt folgede Abschätzug ch Berry ud Essee, flls m ebe dem Erwrtugswert µ ud der Vriz 2 = E X µ 2 der Vrible uch och die Größe κ = E X µ 3 et. Für beliebiges b R gilt: P S µ b b e x2 /2 dx 0.8 κ 3. Mit b = b folgt durch die Dreiecsugleichug P < S µ b b e x2 /2 dx.6 κ 3. Hier sieht m deutlich de Approximtiosfehler O/ des Zetrle Grezwertstzes. Bemerug 4.9: I der Prxis et m i der Regel weder de Erwrtugswert µ, och die Streuug, och die Größe κ. Hier setzt u die Sttisti ei: es seie ubhägige Messuge x,..., x eier Zufllsvrible X gegebe. M schätzt d µ,, κ b durch x = = x i, v = 2 x i x 2, x i x 3. Für großes liegt x mit großer W eit i der Nähe vo µ ds hbe wir i diesem Kpitel gezeigt. M et x eie Schätzwert für µ. Alog m zeige, dss v eie Schätzug für 2 liefert siehe uch Übugsufgbe 48. Heuristisch liefert eie Näherug für κ. Beispiel 4.20: Eie typische Fehlerrechug der Physi Eie physilische Größe X wird mehrfch gemesse, die Größe oder der Messprozess uterliegt eier stochstische Störug. Es ergebe sich die = 0 Werte 99, 00, 03, 99, 02, 00, 98, 0, 02, 0. Der whre Wert der Erwrtugswert µ vo X soll mit eier Sicherheit vo S = bgeschätzt werde. Als Mittelwert ud Schätzug der Vriz berechet m x = x i = 00.5, v = x i x 2 = 2.5.

21 4.3. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 2 Wir schätze die ubete Streuug vo X durch die empirische Streuug v b: mit 2 v ergibt sich v.6. Setzt m der Messug x etsprechede Mittelwertvrible ls ormlverteilt vorus, so liefert Bemerug 4.6 die Sicherheit S = P x µ ɛ = Φ ɛ Es ist die bsolute Geuigeit ɛ gefrgt, mit der x de gesuchte Erwrtugswert µ pproximiert:. ɛ = Φ S.6 0 Φ S 0.5 Φ S. Für S = gilt Φ S 2.00; es folgt ɛ.0. Also gilt mit 95.4%-iger Sicherheit i Physierottio: µ = 00.5 ±.0. Für S = gilt Φ S.00; es folgt ɛ 0.5. Also gilt mit 68.3%-iger Sicherheit: µ = 00.5 ± 0.5. Diese Aussge sid türlich ddurch etws verfälscht, dss m icht wirlich et, soder empirisch über 2 v pproximiert ht. M fidet i der Tt bei Nturwisseschftler ud Igeieure folgedes Rezept für Fehlerrechuge : Bei Messuge x,..., x eier Größe X gilt X = x mit x = x i, 2 = x i x 2. ± 2 Uter der Approximtio des Zetrle Grezwertstzes gilt diese Aussge mit 95.4%-iger Sicherheit der Ftor 2 i 2 / etspricht Φ Zustzfrge: wieviele Messuge muss m mche, um µ mit 95.4%iger Sicherheit uf die Geuigeit ɛ = 0. festzulege? Nu ist S = P x µ ɛ = Φ ɛ ch ufzulöse: = 2 ɛ 2 Φ S 2 2 ɛ 2 Φ S = 000.