30 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ea

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1 0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus bei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes der Differetil- ud Itegrlrechug für Kurse uf erhöhtem Aforderugsiveu erfolge k. Um ds Verstädis zu sicher, wird eie trgfähige Grudvorstellug vom Itegrlbegriff etwickelt. Dbei soll vo chprobleme us Kotexte wie Zu- ud Abluf sowie Geschwidigkeit ud Weg usgegge ud die Erfhrug mit Grezprozesse erweitert werde. Bei der Rekostruktio vo Bestäde köe Vorgäge betrchtet werde, die sich mithilfe kostter oder stückweise lierer Fuktioe beschreibe lsse. Auf i diesem Zusmmehg gemchte Etdeckuge ufbued köe tmmfuktioe defiiert ud die Aussge des Huptstzes der Differetil- ud Itegrlrechug schließlich erkt, formuliert ud begrüdet werde. Ei Beispiel eies us Äderugsrte ud Afgsbestd (re-)kostruierte Bestdes k folgede Aufgbe biete: Aufgbe 1: Die Messstelle eier Ölpipelie zeigt zu jedem Zeitpukt die momete Durchflussmege. ie wird mit Hilfe eies im Rohr befestigte Propellers bestimmt. Ds Bild rechts zeigt ei dzugehöriges Messdigrmm. ) Ermittel ie die Gesmtölmege, die i dem drgestellte Zeitrum durch die Pipelie fließt. b) Bereche ie die gesmte Ölmege, die ch jeder tude durch die Pipelie geflosse ist, ud stelle ie diese Werte im utere Digrmm grphisch dr. c) Ermittel ie eie Gleichug eier Fuktio D, die de Durchfluss zu jedem Zeitpukt t beschreibt. 1

2 0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea Eie Lösugsskizze wäre etw: ) Berechug der Gesmtölmege m m 60 m m 5h 0 h 0 h 5h m h h h h b) Berechug der gesmte Ölmege, die ch jeder tude durch die Pipelie geflosse ist: Zeit i tude Durchflussmege i m 0 t für 0 t 5 c) Eie Durchflussfuktio ist D(t) 10 t 80 t 50 für 5 t 8 80 t 90 für 8 t 1 Der Grph vo D ist im Bild obe drgestellt.. Die i diesem Zusmmehg uftretede Frge ch tetigkeit ud Differezierbrkeit der Fuktioe stelle eie Verbidug zur Kurvepssug drstelle ud sollte psseder telle berbeitet werde. Um ds Itegrl ls Grezwert vo Produktsumme zu beschreibe, ist es sivoll, die Rekostruktio uch Beispiele zu betrchte, bei dee die Berdug icht stückweise lier ist. Für eie grudsätzliche Klärug der Vorgehesweise reicht eie Beschräkug uf i dem betrchtete Itervll mooto steigede Fuktioe mit icht egtive Fuktioswerte us. Aufgbe : Gegebe ist die Fuktio f mit f(x) x. Betrchtet wird der Grph der Fuktio im Itervll [0 ;]. chätze ie de Flächeihlt mithilfe sogeter Obersumme durch Uterteilug i 4, 8, 16 Rechtecke b.

3 0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea i. 4 Rechtecke ii. 8 Rechtecke iii. 16 Rechtecke iv. Fläche uter f Für die Berechug der Flächeihlte ergibt sich: 4 Rechtecke: 0,5 0,5 0,5 1 0,5,5 0,5 4,75 8 Rechtecke:, Rechtecke:, Eie Verschulichug der Berechug mithilfe etsprecheder Werkzeuge uterstützt die Argumettio. Aschulich ist klr, dss diese Obersumme bei immer weiterer Verfeierug der Uterteilug gege de gesuchte Flächeihlt uter dem Grphe vo f kovergiere. Die Erfhruge solle verllgemeiert werde: Aufgbe : Gegebe ist die Fuktio f mit f(x) x. Bestimme de Flächeihlt uter dem Grphe vo f im Itervll [0 ;b] für ei beliebiges b 0. Begrüde ie die ufgeführte Terme. x f x f x f x f x f x 1 1 Für die Fuktio f mit f(x) x im Itervll [0 ;b] bedeutet dies: b 1 b b b b b (1 ) TIPP: b b Für ergibt sich: 1 lim b.

4 0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea Die Formel für die umme der erste Qudrtzhle k etweder eiem Tfelwerk oder eiem CA-Recher etomme bzw. mitgeteilt werde. Aloge Überleguge köe für die Utersumme gestellt werde. Dmit verbude sid vertiefede Überleguge hisichtlich des Grezwertes. Für x f x1 f x f x f x1 f x k die ummeschreibweise b i b b i1 i1 i eigeführt werde. Mit ihr oder der usgeschriebee umme wird die Itegrlschreibweise erläutert: b lim x dx. 0 Die Frge, w ud wie weit die Grezprozesse formlisiert werde, k icht puschl betwortet werde. Zur formle Beschreibug k die Limes-chreibweise oder die Pfeil- chreibweise verwedet werde. Dbei immt die Limes-chreibweise eher de Grezwert ls Ergebis eies Grezprozesses i de Fokus ud die Pfeil-chreibweise legt de Fokus uf de Grezprozess selbst. Die chreibweise sollte de Argumettiosweise der chülerie ud chüler gepsst werde ud diese sivoll verdeutliche. Die streg formle Defiitio des Grezwertes ist weig Verstädis förderd ud sollte icht eigeführt werde. vgl. Aussge im OM Kurvepssug ea ud OM Ableituge Die formle Beschreibug wird icht beötigt, um de Grezwert zu verstehe. Ds schuliche Verstädis, ds die chülerie ud chüler i frühere chuljhrgäge erwerbe (z.b. we Terme zu Puktmuster ufgestellt werde), wird i diesem Lerbereich weiter gefestigt. Die Utersuchuge führe schließlich zum Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug: Ist die Äderugsrtefuktio f uf dem Itervll [ ; b] stetig, so ist die zugehörige x Itegrlfuktio I mit I (x) f(t) dt dort differezierbr ud es gilt I (x) f(x). 4

5 0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea Diese tz gilt es chzuweise. Aufgbe : Vollziehe ie de Beweis ch ud erläuter ie die ihm zugrudeliegede trtegie ud die geometrische Zusmmehäge. Beweis De Zugg zur Ableitug eier Fuktio fide wir über de Differezequotiete. I Der Differezequotiet der Itegrlfuktio I der telle x ist: (x h) I (x). h Der Zähler des Differezequotiete I (x h) I (x) k ls Flächestück uter dem Grphe vo f über dem Itervll [x ; x h] iterpretiert werde. Dieses Flächestück lässt sich durch Rechteckfläche bschätze. We f mooto wächst, gilt: f(x) h I (x h) I (x) f(x h) h. We wir die Ugleichug durch h dividiere ( h 0), erhlte wir: Für h 0 strebt f(x h) f(x). I (x h) I (x). h f(x) f(x h) Der etsprechede Grezwert des Differezequotiete ist die Äderugsrte I (x) der telle x. Dmit gilt: f(x) I (x) f(x). Ud somit: I (x) f(x). 5