Integralrechnung = 4. = n

Transkript

1 Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Itegrlrehug. Allgemei Die Berehug vo Bogeläge, Shwerpukte ud Trägheitsmomete, der Areit ud des Effektivwertes eies elektrishe Wehselstromes, der Bhkurve vo Stellite, des Zeitverhltes vo Shwiguge oder der Zuverlässigkeit vo Buteile k mit Hilfe der Itegrlrehug erfolge. Alle diese Frgestelluge lsse sih uf eie Grudufge zurükführe: die Bestimmug des Fläheihltes vo krummliig egrezte Flähe. Dei zeigt sih die üerrshede Ttshe, dss die Itegrlrehug direkt uf die Umkehrug des Differezieres führt. Utersumme Oersumme Bsp.: Uter- Oersumme für die Fuktio f(x)(x^)/: Breite der Teilitervlle: x 0 4 Utersumme: U x [ f ( x ) + f ( x ) f ( x )] * 0 [ f (0) + f ( ) + f () * f ( )] [0,5 * 0 + 0,5 * 0,5 + 0,5 * Oersumme: O x [ f ( x ) + f ( x ) f ( x )] * + 0,5 *,5 ] 0,875 [ f ( ) + f () + f ( ) * f ()] [0,5 * 0,5 + 0,5 * Zettler Alexder Seite + 0,5 *,5 + 0,5 * ],875

2 Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/. Bestimmtes Itegrl Es sei y f(x) eie Fuktio, die uf dem Itervll [, ] defiiert ud eshräkt ist. M zerlegt u ds Itervll [, ] i gleih reite Teilitervlle ud ildet für diese Zerlegug die Oersumme O ud die Utersumme U. Existiert d für sowohl der Grezwert lim U der Folge der Utersumme ls uh der Grezwert lim O der Folge der Oersumme ud stimme diese Grezwerte üerei, so heißt die Fuktio y f(x) itegrierr uf [, ]. Der gemeisme Grezwert wird estimmtes Itegrl vo y f(x) uf [, ] get. M shreit: f x) dx lim U ( lim O ). ( Bezeihuge: f(x) Itegrd x Itegrtiosvrile, utere zw. oere Itegrtiosgreze [, ] Itegrtiositervll Amerkug: Itegrierr sid, ws iht weiter egrüdet wird, vor llem die stetige Fuktioe ud uh die stükweise stetige Fuktioe. Für die Itegrierrkeit eier Fuktio estehe weiger strege Forderuge ls für die Differezierrkeit. Geometrishe Deutug: Ds estimmte Itegrl vo y f(x) uf [, ] ist der orietierte Fläheihlt der flähe zwishe dem Grphe vo y f(x) ud der x-ahse vo x is x. Ist eie Fuktio y f(x) itegrierr, k h eier Zerlegug des Itegrtiositervlles i Teilitervlle jeder Fuktioswert i eiem Teilitervll ls Höhe eies Rehteks geomme werde: stets erhält m im Grezfll ls Grezwert I der Formulierug ls Grezwert der Utersumme gilt: dx lim f ( xi ) x i 0. Drus leitet sih historish die Shreiug eies estimmte Itegrls her. Ds Itegrlzeihe ist ei i die Läge gezogees S; es eriert, dss ds Itegrl der Grezwert eier Summe ist. Die Itegrtiosvrile k elieig ezeihet werde: dx f ( t) dt f ( u)... Ds estimmte Itegrl ist ls Grezwert eier Produktsumme defiiert (worus sih die geometrishe Deutug ls Fläheihlt ergit). Viele physiklishe Größe werde ls solhe Grezwerte ud dmit ls Itegrle defiiert. Ds esprohee Itegrl, ds so gete RIEMANN Itegrl, ist der eifhste, er für die Awedug wihtigste Itegrlegriff. Es git oh dere Itegrllegriffe. Zettler Alexder Seite

3 Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/. Stükweise Itegrtio Stükweise Itegrtio h Zerlegug des Itegrtiositervll: Für < < gilt: dx dx +.4 Bestimmtes Itegrl ls Summe vo orietierte Fläheihlte x) dx f ( // Vertushe der Itegrtiosgreze ewirkt eie Vorzeihewehsel. dx 0 Zettler Alexder Seite

4 Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Im Üerlik:. Es sei U die Utersumme ud O die Oersumme eier Fuktio y f(x) für eie Zerlegug des Itervlls [, ] i gleih reite Teilitervlle. Existiere d die Grezwerte lim U ud lim O ud stimme sie üerei, so heißt die Fuktio itegrierr. De gemeisme Grezwert wird estimmtes Itegrl vo y f(x) uf dem Itervll [, ] get. y f(x) heißt Itegrd, x Itegrtiosvrile, ud sid die Itegrtiosgreze.. Geometrishe Deutug: Ds estimmte Itegrl ist gleih dem (orietierte) Fläheihlt der Flähe zwishe dem Fuktiosgrphe ud der x-ahse.. Stetige oder stükweise stetige Fuktioe sid itegrierr. 4. Stükweise Itegrtio ei eier Zerlegug des Itegrtiositervlles [, ]: Ist < <, so gilt: dx dx + 5. Vereiruge: x) dx f ( dx sowie dx 0. 5 Huptstz der Differetil- ud Itegrlrehug.5. Stmmfuktio ud uestimmtes Itegrl Die Itegrtio ist die Umkehrug der Differetitio. F(x) ist die Stmmfuktio vo f(x), we F (x)f(x). Außerdem esitzt eie Fuktio uedlih viele Stmmfuktioe. Bsp.: Ermittle eie Stmmfuktio vo f(x)x³+x²+ itegriere 4 x x f(x) x³+x²+ + + x 4 differeziere Die Mege ller Stmmfuktioe vo f(x) wird ls uestimmtes Itegrl der Fuktio f(x) ezeihet. Shreiweise: dx F( x) f(x) x C Itegrd Itegrtiosvrile Itegrtioskostte Die Itegrtioskostte drf ei eiem uestimmte Itegrl iht weggelsse werde. Git m C eie Wert, so ekommt m die zu dieser Kostte gehörige Stmmfuktio. Zettler Alexder Seite 4

5 Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Die Proe für die uestimmte Itegrtio lutet: ( dx) ' Bsp.: Ermittle ds uestimmte Itegrl. 7 6 x x ( x + x x) dx + x Huptstz der Differetil- ud Itegrlrehug We m eie stetige Fuktio f(t) ht d gilt:.) Die Fuktio x 4 A( x) f ( t) dt ist die Stmmfuktio vo f(t). A (x)f(x)..) We F(x) eie elieige Stmmfuktio vo f(t) ist d gilt: dx F( ) F( ) Jede Flähefuktio A(x) ist eie Stmmfuktio ud k durh Itegriere ermittelt werde. Existiert keie Stmmfuktio vo f(x), (kommt ei stetige Fuktioe vor), oder we die Stmmfuktio iht ermittelt werde k verwedet m zur Berehug des estimmte Itegrls umerishe Methode. Bsp.: (x² ) dx x² dx ³ ( )³ dx [ ( ) ] 45 5 x² x³ dx [ x].6 Gruditegrle M k eie Itegrtiosufge kum direkt mit Hilfe der Gruditegrle löse, jedoh ilde sie eie gute Ausggspukt für ds prktishe Rehe. Weitere Gruditegrle fide sie uf der Formelsmmlug. Zettler Alexder Seite 5