Entstehen soll eine unendliche trigonometrische Reihe der Form n

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1 utoriu Mthe M Fourier Reihe & Fourier rsfortio. Fourier Reihe Die Fourier Reihe ist für die Medietechi ud speziell die Nchrichtetechi eie der wichtigste Eleete. Ds hägt dit zuse, dss sie es eröglicht, Sigle zu lysiere ud soit Aussge über jee zu che, die durch reie Betrchtug i Zeitbereich icht öglich wäre. Nch Fourier setzt sich jedes beliebige Sigl i Sius ud Cosiusschwiuge zerlege, wodurch es öglich wird, die Frequeze eies Sigls zu erittel. Uterschiede wird zwische periodische ud icht-periodische Sigle. Die i Folgede beschriebee Fourier Reihe gilt ur für periodische Sigle. (Aerug: Als Sigle werde zur thetische Betrchtug Futioe geutzt) Etstehe soll eie uedliche trigooetrische Reihe der For f ( x) = + ( cos( x) + b si( x) ) die jeweils die Sius ud Cosiusteile des Sigls i Aplitude ud Frequez ls Sueglieder besitzt. Diese Reihe heißt Fourier Reihe vo f ( x ). Zuächst geht es i Folgede u die Bestiug der Fourier Koeffiziete, udb, dch d u die Berechug dieser Koeffiziete ud der Fourier Reihe. Fourier Koeffiziete: Diese sich it Hilfe der Additiostheoree herleite, ide sich zuächst uf -periodische Futioe beschrät ud sich über Itegrtio der Reihe i Itervll, die Koeffizieteforel usrechet. [ ] Dieser Rechug liege folgede Itegrle zu Grude:. si( x) = cos( x) = ( cos( ) cos( ) ) =. cos( x) = si( x) = ( si( ) si( ) ) =, flls l 3. cos( x) cos ( lx) =, flls = l>, flls = l= ( x) 4. cos si lx = ( x) ( lx) 5. si si, flls loder = l= =, flls = l> Die utere drei Itegrle öe it Hilfe der Additiostheoree erittelt werde.

2 Möchte u die Fourier Koeffiziete bestie, uss die Futio f ( x) über de Itervll[,] itegriere, u die Koeffiziete i Abhägigeit der Futio erittel zu öe. Erittlug des Koeffiziete : f ( x) = + ( cos( x) + b si( x) ) = + cos( x ) b si( x ) + = = = f x Etspreched ergibt sich für udb durch Multipliziere der Reihe it cos ( x)( Berechug ) ud si x Berechugb : cos = cos + cos cos f x x x x x si f x = = f ( x) cos( x) x = b b = f ( x) si( x) I diese Fll verwedet die obe gezeigte Itegrle uch uter dere dzu, zu beweise, dss = ist ud deswege die gezeigte Uforuge durchführe.

3 Zusefssed lso sge, dss eie -periodische Futio f ( x) sich i ihre Fourier-Reihe f x x b x ( ) = + cos + si etwicel lässt, wobei die folgede Berechuge der Koeffizietedurchgeführt werde üsse: Forel für die Fourier-Koeffiziete: = f x = f x x cos ( N ) b = f x x si ( N ) Kriterie für die Existez der Fourier Reihe:. Ds gewählte Periodeitervll lässt sich i edlich viele eilitervlle zerlege, i dee f x stetig ud ooto ist.. I de Ustetigeitsstelle existiert sowohl der rechts- ls uch der lisseitige Grezwert. Die Kovergez der Reihe lässt sich, we diese beide Kriterie erfüllt sid, wie folgt beschreibe:. We f i Put x stetig ist, d gilt f x x b x = + ( cos + si). We die Futio eie Sprugstelle Put xbesitzt, dere Grezwerte ( ) = li ( ) = li f x f x ud f x f x x x x x ud die verllgeeierte Ableituge f x f x f' x li ' li f x f x + = ud f ( x ) = + x x xx x x xx i de Pute x u + existiere, d overgiert die Reihe dieser Stelle gege de rithetische Mittelwert der Futioswerte

4 Reihe f x = ( ) ( ) f x f x Außerde sid Syetrieeigeschfte der Futio etscheided drüber, welche der drei Koeffiziete bereche uss. We diese vor der Berechug betrchtet, sich oft eiiges Recheufwd spre. Bedeutug der Syetrieeigeschfte vo Futioe bei der Berechug vo Fourier- Reihe:. Eie gerde Futio besitzt ur gerde Reihegleider, d.h. ur Kosiusteile. Es etfällt ddurch die Berechug der Siusteile, lso der Fourier-Koeffizietb. Die Reihe sieht d folgederße us: f ( x) = + cos( x). Eie ugerde Futio besitzt ur gerde Reihegleider, d.h. ur Siusteile. Es etfällt ddurch die Berechug der Kosiusteile, lso die Fourier-Koeffiziete ud. Die Reihe sieht d folgederße us: = si f x b x Je ehr Glieder der Fourier Reihe bestit werde, desto besser wird die Näherug die Grudfutio. Jees wird i Folgede durch eie grfische Drstellug gezeigt. Als Beispiel betrchte wir u eie Norlprbel i Itervll[, ], die -periodisch i beide Richtuge fortgesetzt ist (siehe Abb. ). Abb. : Die gegebee Futio f ( x) = x it der -periodische Fortsetzug Wichtig ist dieser Stelle türlich, dss de Grphe der Futio vor Auge ht ud weiß, it welche Sigl, lso it welcher Futio gerde ruhtiert. Dher wird bei de Übugsufgbe ier etweder Futioster oder Grph gegebe, u dies zu triiere.

5 Beispielufgbe: Die Futio f ( x) = x sei uf de Itervll[, ] stetig ud i beide Richtuge - periodisch uf der geste x-achse fortgesetzt. Bestie Sie die Fourier-Reihe vof.. Utersuchug der Futio uf Syetrie x ist chsesyetrisch uf de Itervll[, ] bestit werde. Es etfällt die Berechug vo b, dher üsse ur Kosiusteile. Berechug der Fourieroeffiziete x = f ( x) x = = = = = f ( x) cos( x) x cos( x) = ( x) si( x) si = x x = x si( x) cos = x ( x) cos( x) = ( cos( ) cos( ) ) ( ) + cos cos( ) si( x) cos( ) = + = 4 = = 4 = Die Fourier Reihe vo -periodisch fortgesetztex lutet lso ( ) x + 4 cos ( x) 3 D die Futio uf Rstetig ist (eie Sprugstelle de Itervllgreze), die Futio f uch ls schreibe. f x ( ) = + 4 cos 3 ( x)

6 Die bisher betrchtete Futioe besße ier die Periodizität it. Eie Fourier Reihe gibt es ber uch für jee Reihe, welche diese Periodizität icht besitze. Dzu stellt eifch die etsprechede Preter (i diese Fll die Kreisfrequez) so u, dss eie For etsteht, die die gegebee Periode uf bezieht ud es soit eröglicht, die Berechug durchzuführe. Drus etstehe d durch die Substitutio folgede Fourier-Koeffiziete: dt t: = x, = = dt f ( t) = F t f ( t) + cos t b si t + = F( x) cos( x) F t cos t dt = b = f ( t) cos t dt = f ( t) si t dt = f t dt Koplexe Fourier-Reihe: We sich die Defiitioe vo Sius ud Kosius schut, uch eie weitere For der Fourier-Reihe erittel, bei der it de oplexe Zhle gerechet wird. So ist es öglich, sich die Berechug der Fourier Koeffiziete zu vereifche, weil ur och ei Koeffiziet beötigt wird, der lle Werte ethält. Dieser wird it c bezeichet. Die oplexe Drstellug der Fourier-Reihe eier -periodische Futio f lutet: ix ix c e it c = f ( x) e Für eie Futio f it der Periode > gilt i x i x ~ f x c e it c = f x e

7 . Fourier rsfortio Die Fourier rsfortio ist die Möglicheit, Futioe beliebiger Läge ud beliebiger Periodizität zu lysiere. heoretisch diese Periode uedlich lg sei. I de Übugsufgbe wird llerdigs druf verzichtet, weil uch begrezte Futioe durch die Fourier rsfortio lysiere. Ds Ergebis eier Fourier rsfortio ist ei Frequezverluf, ds so gete otiuierliche Spetru der Futio. Jees gibt, welche Frequeze i eie Sigl ethlte sid. Dher ist diese Berechug für lle Frequezlyse, z.b. i der Nchrichtetechi, die Grudlge. Eie eletroische For der Fourier rsfortio fidet z.b. i Oszillosope Awedug, we eie FF Alyse durchführt (FF = fst Fourier trsfor). Die Fourier rsfortio erhält durch Löse dieser Forel: ( ω) ˆ : iωt f = f t e dt Dbei sollte bechte, dss die Futio Ede ls Futio der Frequez (ls Spetru) gegebe wird, itegriert wird llerdigs it der jeweilige Futiosostte der zu lysierede Futio. Die rsfortio uch, sofer die Futio i gegebee Itervll stetig ist, durch die Iverse Fourier rsfortio rücgägig gecht werde. ˆ iωt f t = f ( ω) e dω Die Fourier rsfortio ht eiige wichtige Recheschritte, die u eil ufgeführt werde: - Bestiug des zu utersuchede Bereichs (der Itegrtiosgreze) geht i der Regel us der Aufgbestellug hervor, soste de Defiitiosbereich der Futio eisetze - Für eiige Werte uss i Flle des Nichtexistiere des Futioswertes och eie Extrberechug durchführe (Bsp. Neer der berechete Futio wird Null) Zusefssed sollte folgedes deutlich sei:. Die Fourier Reihe eier periodische Futio ht ls Ergebis ds disrete Liiespetru der Futio, ds die eizele ethltee Frequeze ud dere Aplitude ls Liie (Pes) zeigt. Die Fourier rsfortio eier Futio ht ls Ergebis ds otiuierliche Frequezspetru der Futio, i der lle ethltee Frequeze ud dere Aplitude ls Futio der Frequez zeigt