Darstellung periodischer Funktionen durch Fouriersche Reihen

Transkript

1 Aus Fuschau 6-8/957. Digitalisiert 9/6 vo Eie Grud für mit freudlicher Geehmigug der Fuschau-Redatio. Die atuelle Ausgabe der FUNKSCHAU fide Sie uter (Im Origial -spaltig) Darstellug periodischer Futioe durch Fouriersche Reihe DK 57.5 Mth 3. Ausgabe 4 Blätter A. Numerische Methode für empirisch gefudee Kurve. Allgemeies Gegebe ist ei periodischer Kurveverlauf. Die Periode ist. Eie Periode wird i Teile zerlegt, so daß ei Teil die Breite π 8 =, d. h. im Wielmaß hat. π (Bild ) => Beat sid also die Ordiate oder Amplitude a de eizele Stelle x, x, x,... Verlagt ist: eie Futio zu bestimme, dere Kurveverlauf sich der gegebee Kurve möglichst weit aähert. Die Futio soll vo der allgemeie Form sei: f(x) = a +a l cos x + a cos x + a 3 cos 3x... () + b si x + b si x + b3 si 3 x... oder abgeürzt f ( x) a a cos x b si x (a) Die Aufgabe besteht also dari, die Koeffiziete a, a, a, a 3,... b, b, b 3,... zu bestimme. Setzt ma diese Koeffiziete i die Gleichug () ei, so soll der Kurveverlauf der so gebildete Futio dem gegebee Kurvezug (Bild ) möglichst getreu etspreche. Dieses Verfahre diet z. B. i der Tofrequeztechi ud Eletroausti dazu, um aus Oszillogramme auf de Gehalt a Grudwelle ud Oberwelle zu schließe ud Klirrfatore zu ermittel.. Die Koeffizietebestimug Zahl der Teile, i die der Kurvezug zerlegt wird A sich a für eie beliebige Zahl gesetzt werde; ormalerweise verwedet ma aber zur Rechugsvereifachug dafür eie durch teilbare Zahl, meistes = 4 oder 6, also = 8 oder. Bei eier Teilug i acht Abschitte liege da die Meßpute, bezoge auf die Grudwelle, bei, 45, 9,35, 8, 5, 7, 35, 36 ud bei eier er-teilugbei, 3, Bild Eileitug des Kurvezuges i acht Ordiate y bis y 8

2 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 3,33, 36. Es werde mit Rücsicht auf die pratische Bedeutug ur diese zwei Eiteiluge hier ausführlich behadelt. Zum Schluß werde die allgemeie Formel für eie beliebige Uterteilug agegebe (Abschitt A 6). 3. Bestimmug der Koeffiziete bei Teilug i acht Abschitte Aus der Kurve oder Tabelle werde die acht Ordiate y, y, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ud y8 etomme. Aus diese bildet ma folgede Summe ud Differeze: Aus diese Summe (, ') ud Differeze (, ) bereche sich die Koeffiziete ach folgede Formel: 8 a + 8 a + 4 4a 4b ' + ' 4a 4 b ' 4a 4b ' ' 3 3 Mit diese so errechete Werte wird die Futio f (x) gebildet: f (x) = a + a cos x + a cos x + a3 cos 3 x + a4 cos 4 x + b si x + b si x + b3 si 3 x 4. Bestimmug der Koeffiziete bei Teilug i zwölf Abschitte Wie i Abschitt 3 werde aus de zwölf Ordiate y... y folgede Summe ud Differeze gebildet: Aus diese Summe (, ') ud Differeze (, ') bereche sich die Koeffiziete ach folgede Gleichuge: a + a a 3 6b = ' 3 ' ' 3 6a 3 6b = 3 ' 3 ' 6a3 6b 3= ' ' 3 6a4 3 6b 4 = 3 ' 3 ' 6a5 3 6b 5= ' 3 ' ' 3 Mit diese Koeffiziete wird die Futio f (x) gebildet: f (x) = a + a cos x + a cos x +a 3 cos 3 x + a 4 cos 4 x + a 5 cos 5 x + a 6 cos 6 x + b si x + b si x + b 3 si 3 x + b 4 si 4 x + b 5 si 5 x

3 5. Zahlebeispiel Gegebee Ordiate: y =,38 y =,75, y 3 =,4 y 4 = 8,4, y 5 = 8,58 y 6 =,4, y 7 = 3,, y 8 = 8,76 Daraus bereche sich die Koeffiziete: 8a = + + =,7 6,4 +,7 = 4.96 a =,87 4a = + =6,8 +,77* 3,58 = 33,4 a = 8,37 4a = =,7,7 = a = 4a3 = 6,8,77*3,58 =,3 a 3 =,3 8 a + =,7 + 6,4 +,7 = 7,84 a 4 =,3 4 4b ' + ' =,77 * ( 5,66) 4, = 8, b =,3 4 b ' = b = 4b3 ' ' =,77* ( 5,66) + 4, =, b 3 =,3 Damit lautet die Futio f (x): f (x) =,87 + 8,37 cos x +,3 cos 3 x +,3 cos 4 x,3 si x +,3 si 3 x 6. Allgemeie Formel für die Koeffiziete a) Der K o e f f i z i e t a a y Mit ϱ sid die eizele Teilpute auf der x-achse bezeichet. ist die Azahl aller Teilpute 3

4 (i B i d 3 also = ). yϱ sid die Amplitude a de eizele Teilpute ϱ. b) D i e K o e f f i z i e t e aμ (aber icht für μ = ), also a, a, a 3... a y cos x Die Bedeutug vo, ud yϱ siehe uter a), für cos μ xϱ ist eizusetze: ud zwar bei Berechug vo a a a3 cos xϱ cos xϱ cos 3 xϱ Dabei läuft ϱ vo... (ach obigem Beispiel), jedoch sid die eizele Abszissewerte i dem zugehörige Wiel eizusetze. x 8 Wir erhalte also für cos μ, xϱ, ud zwar bei Berechug des Koeffiziete a ud eier er Teilug folgede Werte: cos 3, cos 6, cos 9, cos... c) D e r K o e f f i z i e t a a y ( ) Die Bedeutug vo,, ϱ ud yϱ siehe uter a). d) D i e K o e f f i z i e t e b b y si x Die Bedeutug vo,, yϱ siehe uter a). Die Glieder si μ xϱ werde geau wie die Glieder cos μxϱ berechet. Bei Berechug des Koeffiziete b ud eier Teilug i acht Abschitte erhalte wir folgede Werte für si μ xϱ: si x = si 45 = si x 5 = si 5 = si x = si 9 = si x 6 = si 7 = si x 3 = si 35 = si x 7 = si 35 = si x 4 = si 8 = si x 8 = si 36 = B. Zerlegug gebräuchlicher Kurvezüge I viele Fälle liege u i der Nachrichtetechi aber auch Kurvezüge vor, die sich och relativ eifach aalytisch darstelle lasse.. Beispiele: Rechtecurve (tritt auf beim Multivibrator) Beispiel: er Teilug x = 3, x = 6, x3 = 9... Sägezahurve (tritt aufbeim Kippgeerator) Bild 4 bis 7 Siushalbwelle (tritt auf bei Eiweggleichrichtug) Umgelappte Siusschwigug (tritt auf bei Zweiweggleichrichtug) 4

5 Für diese ud eie Reihe aderer ählicher Kurve braucht ma die umerische Rechug (Abschitt A) icht durchzuführe. Hier lasse sich aus vorliegede Futioe der Kurve die Koeffiziete der Fouriersche Reihe bereche.. Regel über die Koeffiziete Geerell a ma sich dazu folgedes mere: Ist die Futio ugerade, das heißt ist f( x)= f(x), Beispiel: (Bild 8) da ethält die Reihe ur si - Glieder. Ist die Futio gerade, das heißt ist f ( x) = f (x), Beispiel: (Bild 9) da ethält die Reihe eie si - Glieder. Hat die Kurve eie weitere Symmetrieliie [z. B. f (x) = f ( x)], Beispiel: (Bild ) falle i der Fourier-Reihe, die ur aus si-glieder besteht, alle die fort, dere Argumet ei geradzahliges Vielfaches vo x ist. Es bleibe also ur si x, si 3 x, si 5 x usw. Oder zum Beispiel: (Bild ) Hier falle i der Reihe, i der die si-glieder fehle, alle die cos- Glieder weg, dere Argumet ei ugeradzahliges Vielfaches vo x ist. Es bleibe übrig ur: d, cos x, cos 4 x cos 6 x Grafisches Beispiel: Rechtecurve Addiert ma a Had der Reihe für eie Rechtecurve die Grudwelle ud die Oberwelle grafisch, sieht ma ohe weiteres ei, daß die obe aufgezählte Gesetzmäßigeite über de Fortfall bestimmter Gliedergruppe ihre Berechtigug habe. Formel für die Rechtecurve (Bild ): f x 4h si 3x si 5x si x a) Rechtecurve b). Aäherug si x 5

6 cos x muß wegfalle, da er für x = de Wert hat, währed ja die Futio für x = durch Null gehe soll. si x (i b gestrichelt eigezeichet) muß wegfalle, da jede der beide Halbwelle durch Summatio vo si x ud si x sehr usymmetrisch würde. c). Aäherug d) 3. Aäherug si 3x si x 3 si 3x si 5x si x 3 5 Bild 4 Bild 5 4. Berechug der Fourier-Reihe Ei periodischer Schwigugsvorgag läßt sich gewöhlich durch eie Summe vo harmoische Schwiguge (Grudwelle, Oberwelle ud Gleichstromglied [f = ]) ersetze. Das heißt, die periodische Futio f (x) a durch f (x) = a + a cos x + a cos x + a3 cos 3x... + b si x + b si x + b3 si 3x... dargestellt werde. Es ist also otwedig, die Koeffiziete dieser Reihe: a, a...a, b...b zu bestimme. a) Euler-Fourier-Formel zur Bestimmug der Fourier-Koeffiziete. a f x dx a f x cos x dx b f x si x dx (=,, 3, 4, ) b) Darstellug der Fourier-Reihe i omplexer Schreibweise Die Koeffiziete a öe bestimmt werde durch: ix a f x e dx c) Beispiel für die Berechug ach 4a, d.h. mit de Euler-Fouriersche Formel. Gegebe sei eie umgelappte Siusschwigug (Bi ld 6 ) f x ae ix Für de Bereich... ist f (x) = si x Für de Bereich... ist f (x) = + si x Da berechet sich a ach B 4a i folgeder Weise h h h h a f x dx si x dx si x dx cos x cos x ( ) h Etspreched ergibt sich ach B 4a: h h a f x cos x dx si x cosx dx si x cosx dx 6

7 h si x cos x dx si x cos x dx h si x xdx si x x dx si x x dx si x x dx h cos x cos x cos x cos x Da cos ( ) = cos, a vereifacht werde: a a x h cos cos x x h cos cos x Daraus bereche sich die a-koeffiziete wie folgt: 4 h a etfällt ach Bild a 3 4 h a3 etfällt ach Bild a4 3 5 Die b-koeffiziete, d. h. die si-glieder, etfalle ach Bild 9. Deshalb lautet die Gleichug für f (x) h 4h cos x cos 4x cos6 x f x d) BeispielfürdieBerechugachAbschitt4b, d.h. für die omplexe Schreibweise. Gegebe seie ach Bil d 7 Halbwelleimpulse Die Impulsfrequez (Wiederholugsfrequez) hat eie Periode vo x =, die die Impulsform selbst bestimmede Frequez fi hat eie ürzere Periode, ud zwar gilt: a * = a * 4 = a a gibt also a, um wie viel die Periode vo fi ürzer ist als die der Wiederholugsfrequez. Für f(x) gilt also: f (x) = h * cos x/ Kotrolle: Für x = f (x) = cos / = cos / = wie laut Zeichug Bild 7 gefordert ist. Für die Fouriersche Reihe ergibt sich da: i x ix x ix f x a e ud für a f ( x) e dx a h cos e dx Nach Mth /a, Abschitt C gilt: Damit wird: cos 7 e i e i

8 a ix ix ix ix h h e e a e e dx 4 4 i i i i i i h e e e e 4 i i i si i si si si h h 4 4 i i i h cos cos Siehe Futechische Arbeitsblätter Mth / h cos h cos a = 4 ud a h h 4 Die ebestehede Gleichug () a da h cos ix h h cos ix wie folgt geschriebe werde: f x e e 4 4 d.h. die Summe vo Gl. wird i drei Summade aufgelöst ud zwar: a) =... ; b) = ; c) = Setzt ma u im erste Summade für de Wert, da erhält ma für ih Gleichug 3, we folgedes beachtet wird; läuft vo bis, da geht vo bis, oder, was das gleiche ist, vo bis. Der erste Summad vo () lautet da: Damit wird: h cos h cos e e 4 4 i x ix () (3) h h cos ix ix h h cos f x e e cos x 4 4 h 4h cos cos x 4 8

9

10

11 5. Graphische Darstellug vo Grud- ud Oberwelle zwar ist das Auswerte der i Abschitt C gegebee Formel icht schwierig, aber machmal zu zeitraubed. Außerdem geügt i viele Fälle ei Überblic über de Verlauf der Amplitudebegrezugsurve, um beurteile zu öe, welche Oberwelle och zu berücsichtige sid bzw. vo welcher Harmoische ab die Oberwelleamplitude als uiteressat gelte öe. Es ist deshalb i de rechte Spalte der auf Blatt 3a ud 4 folgede Formelzusammestellug für die wichtige Kurve über der Ordugszahl der Harmoische der zugehörige Amplitudewert aufgetrage. Bei de periodische Futioe zu de Kurve Nr. 5, 6, 7, 8, 9,,, 3, 4 erfolgt die Abahme sehr rasch. Da die leie Amplitudewerte i der graphische Darstellug schwer ablesbar sid, brigt die folgede T a b e l l e (Blatt 4a) die errechete Amplitudewerte. Tabelle der Amplitudewerte für die Kurve 5 bis 4 D. Ahag Weiteres Beispiel für die Berechug ach B4b, d.h. für die omplexe Schreibweise: Gegebe seie ach Bild 8 Dreiecimpulse. Die Gleichug eier Gerade lautet: y = ax + b () Für die rechte Flae des Dreiecs ach Bild 8 gilt: y = h für x = () y = für x = (3) () ud (3) acheiader i () eigesetzt lasse a ud b x bestimme: y h x Etspreched folgt für die lie Dreiecsflae y h h x ix h x ix Für die Fouriersche Reihe ergibt sich u: a e dx e dx ix ix ix h h h e dx xe dx x e d

12 ix ix Für xe dx a geschriebe werde : e dx. i i i h e e h ix h ix a e dx e dx i i i i i h h e h e si i i i i i i h h e e si i i i h cos cos si h h si h i i h h si cos si h h si h cos si h cos Setzt ma zur Bestimmug vo a =, so wird der Ausdruc =. Ma muß deshalb Zähler ud h si Neer ach differeziere. h h Setzt ma och si x = x (für leie Argumete), so erhält ma: a h cos h h cos f x e e ix Setzt ma im erste Summade (s. B 4d) für -, so erhält ma: h h cos f ( x) cos x ix Mth 3/4a