5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

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1 6a Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre Ahag zum Kapitel Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre. Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm..a Kostruktio des Amplitudegages mittels Amplitudelieal Eie adere Möglichkeit zur Gewiug des exakte Amplitude- ud Phasegages besteht dari, astelle der Schabloe ei Lieal zu beutze. Das Amplitude- sowie das Phaselieal sid für eie logarithmische Maßstab vo 0 mm/dekade etwickelt. Der Vorteil besteht dari, dass außer dem gesuchte Amplitudegag lediglich die Asymptote der eizele Frequezgäge ud die des Gesamtfrequezgages gezeichet werde müsse. Das Diagramm gewit dadurch a Übersichtlichkeit. Der Gedake, der dem Amplitudelieal zugrude liegt, soll a Bild.9a erläutert werde. I Bild.9a sid für ei Verzögerugsglied.Ordug mit der Übertragugsfuktio G + s ud für ei PD-Glied mit der Übertragugsfuktio G + s die Asymptote ud Amplitudegäge G ( j) ud G ( j) aufgezeichet. rägt ma vo der Eckfrequez E / gleich lage Abstäde a ach liks ud ach rechts ab, so sid die Abweichuge i zwische Asymptote ud Amplitudegag gleich. Für das P- -Glied muss a dieser Stelle vo der Asymptote abgezoge werde, um de Wert des Amplitudegages zu erhalte, für das PD-Glied ist er positiv zu ehme. Auf dem Amplitudelieal sid die -Werte aufgetrage. Für E beträgt 3, ei Maximum.

2 . Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 7a G G G 0 /s E 0, 3 0, 0,0 Amplitudelieal a a Bild.9a Amplitudegag für G + s ud G + s Für das Beispiel. würde die Hadhabug folgedermaße aussehe. Aus dem Verlauf der Asymptote vo G( j) ergibt sich ei iteressiereder Bereich vo 0, s -, de ma i etwa gleiche Abschitte 0,0; 0,; 0,; 0,; ; ; ; 0; 0; 0 s - zerlegt ud fertigt achstehede abelle a. - s 3 0,0 0, 0, 0, ,6 0,97 3,0 0,6 0,7 0,04 0,04 0,7 0,97 3,0 0,97 0,7 0,04 +0,0 +0,07 +0,6 +0,97 +, +0,6 +0,7 +0,03 0,6,0 3,6,,93 0,04 +,98 +0,6 +0,7 +0,03 Zur Ermittlug der -Werte legt ma das Amplitudelieal mit der Marke E a die Eckfrequez E des.gliedes, liest bei de obige Kreisfrequeze die - Werte ab ud trägt sie i die abelle ei. Da es sich um ei P- -Glied hadelt, sid die -Werte mit egativem Vorzeiche zu versehe. Das Gleiche wird für G ( j) ud G 3 ( j) wiederholt. Ma erhält für die -Werte egatives ud für die 3 -Werte positives Vorzeiche, da es sich um ei PD-Glied hadelt. Die resultierede Abweichug zwische dem Asymptoteverlauf ud Amplitudegag vo G( j) erhält ma aus

3 8a Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre ud wird a der jeweilige Kreisfrequez vo dem resultierede Asymptoteverlauf vo G( j) subtrahiert bzw. addiert...a Kostruktio des Phasegages mittels Phaselieal Das Phaselieal ergibt sich i ählicher Weise wie das Amplitudelieal i Abschitt..a. Bild.0a zeigt de Phasegag für ei P- -Glied mit der Übertragugsfuktio G + s ud für ei PD-Glied mit der Übertragugsfuktio, G + s dere Amplitudegäge i Bild.9a dargestellt sid. 90 ϕ 7 60 ϕ Phaselieal E ϕ E 0 /s Bild.0a Phasegag für G + s ud G + s Für G (j) erhält ma taϕ ϕ arcta ( ) ud für G ( j) taϕ +

4 . Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 9a ϕ arcta ( ). Das heißt, für gleiches uterscheide sich ϕ () ud ϕ () ur durch das Vorzeiche. Auf dem Phaselieal sid, ausgehed vo ϕ 4 für E ach liks ud rechts die Stelle markiert, a dee der Phasewikel de agegebee Wert hat ud ist für eie logarithmische Maßstab vo 0 mm/dekade kostruiert. Die Beutzug des Phaselieals soll am Beispiel. erläutert werde. Das Phaselieal wird mit der Marke E / bzw. ϕ( E) 4 a die Eckfrequez E des.gliedes gelegt, die ϕ () - Werte zu de i der abelle vorgegebee - Werte ermittelt ud mit egativem Vorzeiche i die achstehede abelle eigetrage. Das Gleiche wird für ϕ () ud ϕ 3 () wiederholt, wobei ϕ () ebefalls egativ ud ϕ 3 () positiv ist. Der Phasewikel des Gesamtfrequezgages ergibt sich zu ϕ() ϕ () + ϕ () + ϕ 3 () ud wird a der jeweilige Kreisfrequez aufgetrage. /s 0,0 0, 0, 0, ϕ / ϕ / ϕ 3 / ϕ / Beispiel.a Gegebe sid zwei i Reihe geschaltete Glieder mit de Übertragugsfuktioe xa( s) K P G mit x e( s) + s + s K P 8 7 s 0 s xa K P G mit xe + s K P 4 3 0, s 3 Gesucht sid: a) Der Amplitude- ud der Phasegag. b) Für welche Kreisfrequez ist G( j )? c) Für welche Kreisfrequez ist ϕ () 80? Zu a) Zuächst muss G ( j) (P- -Glied) utersucht werde, ob eie weitere Zerlegug i zwei P- -Strecke möglich ist. Die Dämpfug ist gleich: α D β 7 s 0 s,0 >. Folglich ist folgede Zerlegug möglich

5 60a Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre K G + s P + s K P + s a + s b G + s ( a K P b + ) + s Durch Koeffizietevergleich fidet ma a b a b + (.30a) ab. (.3a) Löst ma die Gl. (.30a) ud (.3a) ach a ud b auf, so erhält ma a s ud b s. Es hadelt sich hier um drei i Reihe geschaltete P- -Glieder mit de Eckfrequeze - E 0, s E 0, s b - a E3 3 - s. Wir zeiche zuächst die Eizel- ud Gesamtasymptote, wie i Bild.a gezeigt. Zur Ermittlug des Amplitude- ud Phasegages wird vo 0 bis 0 s, wie i der achstehede abelle agegebe, uterteilt. - s 3 0,0 0,0 0, 0, 0, 0 0 0,04 0,6,0 3,0 0,6 0, 0,04 0,0 0,04 0,7 0,64 3,0,0 0,6 0,04 0,0 0,04 0,6,0 3,0 0,64 0,7 0,04 0,0 0,30,8 3,68 3,86, 3,3 0,68 0,7 0,04 ϕ / ϕ / ϕ 3 / ϕ / Voraussetzug für die Awedug des Amplitude- ud Phaselieals ist, dass ei logarithmischer Maßstab vo 0 mm/dekade verwadt wird. Die eizele - Werte fidet ma durch Alege des Amplitudelieals mit der Marke E a die etsprechede Eckfrequez E,, 3, wie i Absch...a beschriebe. Aaloges gilt für die Kostruktio des Phasegages ϕ ().

6 . Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 6a 0 40 G (:) 30 G 0 G a G E (:) E E G b (3:) G /s ϕ Bild.a Bode-Diagramm für K G + s P + s K P + s 3 Beispiel.3a Gegebe ist eie PID-Regeleirichtug mit der Übertragugsfuktio G R K PR + + sv (.3a) s K PR 0 ; 0 s ; v s.

7 6a Das Bode Diagramm. Frequezkeliieverfahre Es soll das Bode-Diagramm mittels Amplitude- ud Phaselieal ermittelt werde. Wie bereits i Abschitt. erwäht, ka ei PID-Glied i ei I- ud zwei PD-Glieder zerlegt werde. Hierzu brige wir Gl. (.3a) zuächst auf eie gemeisame Neer ud zerlege aschließed de Zähler i zwei Liearfaktore (s.a. Abschitt 4.3.6). G G R R + s + s v K P, (.33a) s ( + s )( + sv ) K P. (.34a) s Durch Koeffizietevergleich der beide Zähler vo (.33a) ud (.34a) erhalte wir: +, (.3a) v v. (.36a) v Löse wir (.3a) ud (.36a) ach ud v, so fide wir ( + ) s 7,4 s v ( ) s,76 s. I der i Gl. (.34a) gefudee Form lässt sich das Bode-Diagramm i eifacher Weise kostruiere. Wir zeiche zuächst die Asymptote der eizele Glieder. Das I-Glied scheidet die - Achse für I / 0, s. Die beide PD-Glieder habe die Eckfrequeze E / 0,38 s E / v 0,36 s. K PR ka etweder zu eiem der drei Glieder hizugeschlage oder durch eie Parallele zur - Achse mit 0 lg (K PR ) 6 berücksichtigt werde. Wie der resultierede Asymptoteverlauf i Bild.a zeigt, liegt der iteressierede - Bereich zwische 0 s ud s. Dieser ist, wie i der achstehede abelle agegebe, uterteilt. Wie Bild.a zeigt, wird für 0 0,3 s, - v ϕ ( 0 ) 0 ud G R ( j 0 ) K PR.

8 . Darstellug i Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 63a Der uterteilte - Bereich zwische 0 s ud s /s 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0, ,0 0,09 0,3,83,70 0,3 0,08 0,0 3 0,0 0,08 0,3,6,83 0,3 0,4 0,0 0,0 0,0 0,6,,86, 0,6 0,6 0,0 ϕ / ϕ / ϕ 3 / ϕ / G G ϕ E E 0 0 v /s Bild.a Bode-Diagramm eies PID-Gliedes mit K PR 0; 0 s; v s.

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