11 Likelihoodquotiententests

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1 11 Likelihoodquotietetests I de Paragraphe 7-10 wurde beste Tests UMP-Tests oder UMPU-Tests i spezielle Verteilugssituatioe hergeleitet Hier soll u ei allgemeies Kostruktiosprizip für Tests vo zusammegesetzte Hypothese H : ϑ Θ K : ϑ Θ 1 = Θ c behadelt werde das uter sehr allgemeie Verteilugsaahme zu gute führt das Prizip der Likelihoodquotietetests : Tests Sei dazu X = X 1 X ud P X = { P X ϑ = fx; ϑ µ : ϑ Θ } Θ sei k-dimesioal dh Θ sei Teilmege eier k-dimesioale Hyperebee i eiem euklidische Raum aber icht Teilmege eier k 1-dimesioale Hyperebee Ma teste zum Niveau α die Hypothese H : ϑ Θ K : ϑ / Θ wobei Θ 0 k 0 -dimesioal sei mit 0 k 0 < k Beispiel 111 Sei X = X 1 X X i iid Na σ -verteilt Ma teste zum Niveau α 0 1 : H : a = a K : a a 0 Hier ist Θ = { ϑ = a σ a σ R R + } -dimesioal Θ 0 = { ϑ = a σ σ > 0 } 1-dimesioal 1 fx; ϑ = exp 1 x πσ σ i a er folgede Asatz eies Likelihoodquotietetests basiert auf der Idee der Maximum- Likelihood-Methode ud verallgemeiert de Neyma-Pearso-Asatz für beste Tests bei eifache Hypothese : 111 ϕx = 1 Λx : = ϑ Θ 0 fx; ϑ ϑ Θ fx; ϑ < l wobei 11 E ϑ ϕx = P ϑ ΛX < l! α ϑ H Θ 0 51

2 Bemerkug 111 Existiere ML-Schätzer ˆϑ bzw ˆϑ0 für ϑ uter Θ bzw Θ so ist der Likelihoodquotiet LQ im Test ϕ gemäß vo der Form Λx = fx; ˆϑ 0 fx; ˆϑ Beispiel 111 Fortsetzug Nach Beipiel 61 a erhält ma für ϑ Θ die ML-Schätzer â = x = 1 x i σ = 1 x i x Etspreched ergibt sich für ϑ Θ also a = a als ML-Schätzer für σ : σ 0 = 1 x i a 0 amit erhält ma also ϑ Θ fx; ϑ = f x; â σ = π ϑ Θ 0 fx; ϑ = f x; a σ 0 = π Λx = Beachtet ma dass Λx = x i x x i a 0 x i x e x i a 0 e x i a 0 = x i x + x a 0 so ergibt sich x a 0 x i x dh Λx ist streg mooto falled i T x = 1 1 x a 0 x i x amit ist der LQ-Test vo der äquivalete Form 1 > ϕx = T x c 5

3 a uter ϑ Θ also a = a zu wähle T X eie t 1 -Verteilug besitzt ist c = t 1;1 α Ergebis : Als LQ-Test zum Niveau α für H : a = a K : a a 0 ergibt sich der zweiseitige Studet-t-Test 1 x a 0 ϕx = s > t 1;1 α wobei s = 1 x 1 i x ϕ ist damit UMPU-Test uter der Verteilugsaahme Pϑ X = Na σ 1 ie Verteilug des LQ-Tests uter der Nullhypothese H : ϑ Θ 0 ist icht immer so direkt herzuleite wie im Beispiel 111 Häufig muss ma sich damit begüge de kritische Wert asymptotisch festzulege ies soll im Folgede utersucht werde vgl auch Serflig 1980 Ch 44 Hierzu werde die Regularitätsbediguge aus Satz 63 vorausgesetzt erweitert auf de Fall ϑ Θ Θ offe ud k-dimesioal Mit de Bezeichuge a ϑ := 1 ϑ 1 log f 1 X i ; ϑ 1 log f 1 X i ; ϑ ϑ k d ϑ := ˆϑ ϑ ϑ = ϑ 1 ϑ k ergibt sich aalog zum Beweis vo Satz 63 uter Beutzug des k-dimesioale zetrale Grezwertsatzes : Lemma 111 Sei X 1 X eie iid Folge mit Verteilug P X 1 ϑ = f 1 x 1 ; ϑ µ 1 ϑ Θ k-dimesioal ud sei Iϑ = E ϑ ϑ log f 1X 1 ϑ ϑ log f 1X 1 ϑ die Kovariazmatrix des Gradiete ϑ log f 1x 1 ϑ uter de geate Regularitätsbediguge a gelte die folgede Verteilugskovergezaussage : 53

4 a a ϑ Y mit P Y ϑ = N Iϑ b d ϑ Z mit P Z ϑ = N I 1 ϑ c a T ϑi 1 ϑa ϑ χ mit P χ ϑ = χ k d d T ϑiϑd ϑ χ mit P χ ϑ = χ k e a ϑ Iϑd ϑ P ϑ 0 Bemerkug 11 Aus Lemma 111 d erhält ma sofort ei asymptotisches Kofidezellipsoid de für ϑ zum Niveau 1 α ämlich C 1 α x = { ϑ : ˆϑ ϑ Iˆϑ ˆϑ ϑ χ k;1 α } lim P ϑ C1 α X 1 X ϑ = P ϑ χ χ k1 α = 1 α Hierbei wurde uter de geate Regularitätsbediguge Lemma 111 d ud P Iˆϑ Iϑ ϑ 0 ausgeutzt Für die Loglikelihoodfuktio l ϑ = log LX 1 X ; ϑ = erhält ma u die folgede Asymptotik : log f 1 X i ; ϑ Lemma 11 Uter de Voraussetzuge vo Lemma 111 gilt : a [ l ˆϑ l ϑ ] 1 d ϑ Iϑd ϑ P ϑ 0 b [ l ˆϑ l ϑ ] χ wobei P χ ϑ = χ k 54

5 Asymptotischer LQ-Test a Eifache Nullhypothese H : ϑ = ϑ [ K : ϑ ϑ0 ] Mit x = x 1 x λ = log Λx ist der LQ-Test 111 äquivalet zu 1 > 111 ϕx = λ c Wege Λx = Lx; ϑ 0 / Lx; ϑ L : Likelihoodfuktio ergibt sich u ϑ Θ λ = [ l ˆϑ l ϑ 0 ] l : Loglikelihoodfuktio so dass wege Lemma 11 das Niveau asymptotisch zu α eigehalte wird we c = χ k;1 α! Ergebis : Asymptotischer LQ-Test zum Niveau α für H : ϑ = ϑ K : ϑ ϑ ist 111 ϕx 1 x = 1 log Λx 1 x > χ k;1 α Bemerkug 113 Mit Hilfe vo Lemma 111 bzw Lemma 11 erhält ma sofort auch die folgede asymptotische Tests zum Niveau α für H : ϑ = ϑ K : ϑ ϑ 0 : 1 Wald-Test : Mit W : = d ϑ 0 Iˆϑ d ϑ 0 1 > 113 ϕx 1 x = W χ k;1 α ; Rao-Test : Mit V : = a T ϑ 0I 1 ϑ 0 a ϑ 0 1 > 114 ϕ x 1 x = V χ k;1 α 55

6 ie Tests halte alle uter ϑ = ϑ 0 ei asymptotisch das Niveau α Sie sid sogar äquivalet uter ϑ K der Form ϑ = ϑ so geate lokale Alterative dh uter vgl Serflig 1980 Ch 443 dh sie besitze asymptotisch dieselbe Güte uter ϑ K Allerdigs besitzt der asymptotische LQ-Test für ud beliebiges ϑ K beste Güte uter alle asymptotisch uverfälschte Tests zum Niveau α für H : ϑ = ϑ K : ϑ ϑ 0 vgl Wilks 196 Ch ie obige Aussage lasse sich wie folgt übertrage : b Zusammegesetzte Nullhypothese H : ϑ Θ Θ 0 k 0 -dimesioal 1 k 0 < k [ Θ k-dimesioal K : ϑ Θ c 0 ] Hier ist der LQ-Test 111 äquivalet zu 1 > 115 ϕx 1 x = λ c wobei λ = log Lx; ϑ ϑ Θ 0 ϑ Θ Lx; ϑ = [ l ˆϑ l ˆϑ0 ] ˆϑ : ML-Schätzer uter ϑ Θ ˆϑ0 : ML-Schätzer uter ϑ Θ 0 Es lässt sich zeige vgl Serflig 1980 Ch 444 : 116 [ l ˆϑ l ˆϑ0 ] χ mit P χ ϑ = χ k k 0 ϑ Θ 0 amit erhält ma de folgede asymptotische LQ-Test zum Niveau α für H : ϑ Θ K : ϑ Θ c 0 : 1 > 117 ϕx 1 x = λ χ k k 0 ;1 α 56

7 ieser Test ist ebefalls optimal für uter alle asymptotisch uverfälschte Tests zum Niveau α für H : ϑ Θ K : ϑ / Θ 0 Beispiel 11 Asymptotischer Homogeitätstest Seie X = X 1 X Y = Y 1 Y uabhägig X i iid P X 1 ϑ 1 = f 1 x 1 ; ϑ 1 µ 1 -verteilt ϑ 1 Θ k-dimesioal Y i iid P Y 1 ϑ = f 1 y 1 ; ϑ µ 1 -verteilt ϑ Θ Ma teste asymptotisch zum Niveau α die Hypothese H : ϑ 1 = ϑ K : ϑ 1 ϑ Als gemeisame Likelihoodfuktio ergibt sich : Lx y; ϑ 1 ϑ = f 1 x i ; ϑ 1 f 1 y i ; ϑ wobei ϑ 1 ϑ Θ := Θ Θ k-dimesioal ie Nullhypothese H Θ 0 := { ϑ 1 ϑ 1 : ϑ 1 Θ } ist k-dimesioal Als Teststatistik ergibt sich λ = [ log L x y; ˆϑ 1 ˆϑ log L x y; ˆϑ ˆϑ ] wobei ˆϑ1 ˆϑ ML-Schätzer für ϑ1 ϑ Θ ˆϑ ˆϑ 0 ML-Schätzer für ϑ1 ϑ 1 Θ0 Ergebis : Asymptotischer Homogeitätstest zum Niveau α : 1 > ϕx y = λ χ k;1 α 57