6. Fourier-Transformation
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- Silvia Frank
- vor 6 Jahren
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1 6. Fourier-rasformatio Wir betrachte zuächst eie periodische Fuktio: f t+ f t. (6- Die Idee ist, das sie sich durch eie Überlagerug periodischer, harmoischer Schwiguge darstelle lässt. Aalogie: ( + cos( ω + ϕ + cos( ω + ϕ cos( ω + ϕ f t A A t A t A t ( ωt ϕ A cos +. Etwicklug eies Vektors ach Basisvektore: ; ( ( t t (6-3 (6-3 r x ˆ e Etwicklug eier Fuktio ach Polyome d f f t t t ayolor-etwicklug :! dt. Beispiel Rechteckschwigug ud Sägezahschwigug Approximatio eier so geate Rechteckschwigug (liks ud eier Sägezahlschwigug (rechts durch Überlagerug vo Sius-Fuktioe i verschiedeer Ordug. Abb übige, de 6.7.7
2 Umschreibuge: mit cos cos cos si cos ud a cos A, b si A ist f ( t acos( ωt + b si ( ωt iωt iωt iωt iωt ( e + e ( e e i iωt iωt ( ( a ib e + ( a + ib e ; ( ωt+ ϕ ( ϕ ( ωt ( ϕ ( ωt ( ϕ ( ϕ oder mit gazezahlige Idizes Fourier-Reihe Berechug der Koeffiziete c : i t ( c e ω. f t eberechug: für m, im ωt imωt imω dte e e i( m ω i( m ω sost; δ m (6-4 (6-5 (6-6 Multiplikatio, Itegratio: imωt i ( m ωt dte f ( t cdte cm δm iωt c dte f ( t ud iωt f ( t ce. Wikelgeschwidigkeit der Oberwelle: ω ω. (6-7
3 3 Reelle Fuktioe f f f c e c e c c * iωt * iωt * reell: ; iωt iωt * iωt f ce c + ( ce + ce iωt * iωt c + c e + c e a + ib ( cos( ωt + isi( ωt aib ( cos( ωt isi( ωt ( ( ω ( ω c + a cos t b si t. (6-8 Beispiele: Rechteckschwigug [ ] { } [ ] Fuktio: für t -,, Periodedauer, f ( t für t,,, Wikelgeschw. ω für t,. Koeffiziete: c dtf ( t ; it it it c dtf ( t e dte dte it it e (( e i i i i ( (( i i ,,,,... < > Fourier-Reihe: i( t i f ( t t e e i ix ix si (( t wege ( e e si x. i (6-9 übige, de 6.7.7
4 4 Sägezahschwigug Fuktio: Periodedauer, t für t [ -, ], f ( t für t {, }, Wikelgeschw. ω Koeffiziete: c dtt, it it i + i i + i c dtf ( t e dtte e e ( ( ( ( + ( t it+ it e i ( i ; Fourier-Reihe: ( it ( it ( f ( t i e e si t si. (6- Aperiodische Vorgäge Wir komme zu aperiodische Vorgäge, we wir die Periodedauer immer läger mache: Oberwelle: ω ; Differez beach- Δ ω ω+ ω ; barter Oberwelle: lim Δ ω dω ud iωt iωt f ( t ce f ( t dωc( ω e ; iωt iωt c dte f ( t c( ω dtf ( t e. ormierug: iωt iωt f ( t dω dtf ( t e e ( ( ω c iω( tt iω( tt dt dω f ( t e dt f ( t dωe f t δ ( tt siehe Ahag am Schluß des Kapitels! (6-
5 5 Beispiel Fourier-rasformierte der Gaußfuktio f x e. Fourier-rasformatio ikx ( x/ x ikx c( k f ( x e dx e e dx x x ikx ikx ikx + + x x kx x ikx + ( Quadratische Ergäzug x ( x/ x (6- e dx e e dx ikx ikx kx + x ikx + x ikx x ikx x x x e e dx e dx e dx + + ikx ikx + + Substitutio: x ikx x' +, dx xdx' x I I kx kx x ( x + y e x e dx e x e dx dy rdrdϕ ( Polarkoordiate kx kx r ρ e x rdr d ϕe e x dρe ρ r dρ rdr ρ e (6-3 kx. x e Vektorraumiterpretatio Aalogie zu räumliche Vektore: Ortsraum Fuktioeraum ikx Basis: eˆ k, e ; + Ieres Produkt ikx ilx eˆ ˆ k ej δkj, dx e e δ ( k l ; ( Orthogoalität : Darstellug vo ikx r a ˆ kek, f ( x dxc( k e. Vektore: (6-4 übige, de 6.7.7
6 6 Spektralaalyse: Sehr wichtig für die Utersuchug vor allem liearer Systeme (Astroomie, Atom-, Kerphysik, Elektroik, Medizi,. Das Leistugsspektrum c( ω zeigt, wie stark eizele Frequeze i eiem Sigal vorhade sid. Soeaktivität als Fuktio der Jahreszahl (liks ud das Leistugssprektrum dieser Fuktio (rechts als Fuktio der Jahre/Zyklus (siehe ute. Abb. 6- Im Leistugsspektrum vo Abb. 6- ist icht c( ω, soder c aufgetrage, so dass das ω Argumet icht Zykle/Jahr soder Jahre/Zyklus direkt abgelese werde ka. Lösug liearer Differetialgleichuge Die Basisfuktioe der Fourier-Aalyse sid Eigefuktio der Differetatio: ikx ikx si kx si kx, cos kx cos kx, e ie. (6-5 x x x Daher ka ma vor allem liear Differetialgleichuge aller Art (auch partielle mit Hilfe der Fourier-Aalyse i rei algebraische Gleichuge umwadel.
7 7 Beispiel Wellegleichug für das elektrische Potetial: ϕ ϕ μ Wellegleichug: t x ; ikx ( ωt Asatz: ϕ xt, dkdωc k, ω e ; ( ( ik ikx ( ωt Eisetze: dkdω ( iω c( k, ω e ; μ ikx ( ω t ik i( ( kk x( ωω t dxdte dkdω ( iω c( k ω dxdte μ δ( kk δ( ωω, ; ik also ( iω, ω ± k; μ μ ik( xt / c Feld: ϕ xt, dkdωc k, ω e. ( c (6-6 übige, de 6.7.7
8 8 Ahag: Beweis vo dxe ikx δ ( k Hilfsmittel: mit Zwischerechug: ikx ikx x I dxe lim dxe ik ik ik ik + + ikx x x x x x ik k x u I lim e dxe lim e due Polarkoordiate u v u + v r J due dve dudve rdr e dϕ ρ r dρ rdr ρ dρe ρ e I lim e k ik x k 4 J k 4 Das ist eie Darstellug der δ-distributio: es ist: k für k ; I lim e k ud J ik u x k r für ; ρ dki lim dke lim rdre lim dρe lim dxe ikx I δ ( k ρ r r ρ, dρ dr e rick wie obe (6-7 (6-8
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4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Konvergenz von Fourier-Reihen
Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, 3..27 obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge
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Kumig Metallurgy College Physik 2. Semester Frühjahr 2015 Skript Aufgabe Vokabular DE CH Autor: Herbert Müller (herbert-mueller.ifo) Quelle: Physik-Skript 2. Semester der Hochschule Ahalt (D) wikipedia.org
Vorkurs Mathematik für Informatiker Potenzen und Polynome --
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Tests statistischer Hypothesen
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2 Differentialrechnung und Anwendungen
Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.
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Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
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6. Die Gamma-Funktion
6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.
Das kollektive Risikomodell. 12. Mai 2009
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Ganzrationale Funktionen
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Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
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von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
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Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.
Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,
Tutorium Mathematik I, M Lösungen
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Stochastisches Integral
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