Funktechnische Arbeitsblätter

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1 Aus Funkschau 6-8-/96. Digitalisiert /4 von Eike Grund für mit freundlicher Genehmigung der Funkschau-Redaktion. Die aktuellen Ausgaben der FUNKSCHAU finden Sie unter (Im Original -spaltig) Funktechnische Arbeitsblätter Darstellung periodischer Funktionen durch Fouriersche Reihen A. Numerische Methode für empirisch gefundene Kurven. Allgemeines Gegeben ist ein periodischer Kurvenverlauf. Die Periode ist. Eine Periode wird in n Teile zerlegt, so daß ein Teil die Breite n n,d.h.8 n im Winkelmaß hat. (Bild ) Bekannt sind also die Ordinaten oder Amplituden an den einzelnen Stellen x o, x, x,... Verlangt ist: eine Funktion zu bestimmen, deren Kurvenverlauf sich der gegebenen Kurve möglichst weit annähert. Die Funktion soll von der allgemeinen Form sein: f (x) = a + a l cos x + a cos x + a 3 cos 3 x... () + b sin x + b sin x + b 3 sin 3 x... oder abgekürzt n f (x) a a cosx b sinx (a) Die Aufgabe besteht also darin, die Koeffizienten a, a, a, a 3,... b, b, b 3,... zu bestimmen. Setzt man diese Koeffizienten in die Gleichung () ein, so soll der Kurvenverlauf der so gebildeten Funktion dem gegebenen Kurvenzug (Bild ) möglichst getreu entsprechen. Dieses Verfahren dient z. B. in der Tonfrequenztechnik und Elektroakustik dazu, um aus Oszillogrammen auf den Gehalt an Grundwelle und Oberwellen zu schließen und Klirrfaktoren zu ermitteln.. Die Koeffizientenbestimung Zahl der T eile, in d i e d er K u r venzug z e rl e gt w i rd An sich kann für n eine beliebige Zahl gesetzt werden; normalerweise verwendet man aber zur Rechnungsvereinfachung dafür eine durch teilbare Zahl, meistens n = 4 oder 6, also n = 8 oder. n DK 57.5 Mth 3. Ausgabe 4 Blätter Bei einer Teilung in acht Abschnitte liegen dann die Meßpunkte, bezogen auf die Grundwelle, bei, 45, 9, 35, 8, 5, 7, 35, 36 und bei einer er-teilung bei, 3, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 3, 33, 36. Es werden - mit

2 Rücksicht auf die praktische Bedeutung - nur diese zwei Einteilungen hier ausführlich behandelt. Zum Schluß werden die allgemeinen Formeln für eine beliebige Unterteilung angegeben (Abschnitt A 6). 3. Bestimmung der Koeffizienten bei Teilung in acht Abschnitte Aus der Kurve oder Tabelle werden die acht Ordinaten y, y, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 und y 8 entnommen. Aus diesen bildet man folgende Summen und Differenzen: Gegebene Ordinaten y y y 3 y 4 y 8 y 7 y 6 y 5 y 8 = s y +y 7 = s y +y 6 = s y 3 +y 5 = s 3 y 4 = s 4 y - y 7 = d y - y 6 = d y 3 - y 5 = d 3 Daraus bildet man erneut folgende Summen und Differenzen Errechnete Summen s s s 4 s s 3 s Summe s +s 4 = s +s 3 = s = Differenz s - s 4 = s - s 3 = Errechnete d d Differenzen d d 3 Summe d + d 3 = d = Differenz d - d 3 = Aus diesen Summen (, ') und Differenzen (, ) berechnen sich die Koeffizienten nach folgenden Formeln: 8a 8a4 4a 4a 4a3 4b 4b ' 4b3 ' ' ' ' Mit diesen so errechneten Werten wird die Funktion f (x) gebildet: f (x) = a + a cos x + a cos x + a 3 cos 3 x + a 4 cos 4 x + b sin x + b sin x + b 3 sin 3 x 4. Bestimmung der Koeffizienten bei Teilung in zwölf Abschnitte Wie in Abschnitt 3 werden aus den zwölf Ordinaten y... y folgende Summen und Differenzen gebildet: Gegebene Ordinaten y y y 3 y 4 y 5 y 6 y y y y 9 y 8 y 7 y Summe y + y y + y y 3 + y 9 y 4 + y 8 y 5 + y 7 y 6 = s = s = s = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 Differenz y - y y - y y 3 - y 9 y 4 - y 8 y 5 - y 7 = d = d = d 3 = d 4 = d 5 Zweite Summen- und Differenzbildung: s Errechnete Summen s s s s 6 s 5 s 4 s 3 Summe s + s 6 = s + s 5 = s + s 4 = s 3 = 3 Differenz s - s 6 = s - s 5 = s - s 4 = d Errechnete Differenzen d d d 5 d 4 d 3 Summe d + d 5 = d + d 4 = d 3 + = 3 Differenz d - d 5 = d - d 4 =

3 Aus diesen Summen (, ') und Differenzen (, ') berechnen sich die Koeffizienten nach folgenden Gleichungen: a 3 6a 3 6a 3 6a3 6a4 3 6a5 3 a6 3 6b ' 3 ' ' 3 6b 3 ' 3 ' 6b3 ' ' 3 6b4 3 ' 3 ' 6b5 ' 3 ' ' 3 Mit diesen Koeffizienten wird die Funktion f (x) gebildet: f (x) = a + a cos x + a cos x +a 3 cos 3 x + a 4 cos 4 x + a 5 cos 5 x + a 6 cos 6 x + b sin x + b sin x + b 3 sin 3 x + b 4 sin 4 x + b 5 sin 5 x 5. Zahlenbeispiel Gegebene Ordinaten: y =,38 y =,7 y 3 =,4 y 4 = 8,4 Gegebene Ordinaten y 8 8,76 y,38 y 7 3, s 3,59 Summe s 8,76 Differenz d,83 y 5 = 8,58 y 6 =,4 y 7 = 3, y 8 = 8,76 y,7 y 6,4 s,7 d 4, y 3,4 y 5 8,58 s 3 9,99 d 3,83 y 4 8,4 s 4 8,4 Errechnete Summen s s 8,76 s 4 8,4 Summe,7 Differenz 6,8 s 3,59 s 8 9,99 6,4 3,58 Daraus berechnen sich die Koeffizienten: s,7 8a = + + =,7 6,4 +,7 = 4,96 a = -,87 4a 6,8,77 3,58 33,47 a = 8,37 4a = - =,7,7 = a = Errechnete Differenzen d d,83 d 3,83,7 Summe 5,66 Differenz d 4, 4, 4a3 6,8,77 3,58,3 a 3 =,3 8a 4 = + =,7 + 6,4 +,7 = 7,84

4 4b 4b3 a 4 =,3 ' ',77 (5,66) 4, 8, b =,3 4b = = b = ' ',77 (5,66) 4,, b 3 =,3 Damit lautet die Funktion f (x): f (x) =,87 + 8,37 cos x +,3 cos 3 x +,3 cos 4 x,3 sin x +,3 sin 3 x 6. Allgemeine Formeln für die Koeffizienten a) Der K o e f f izien t a a n n y Mit sind die einzelnen Teilpunkte auf der x-achse bezeichnet. n ist die Anzahl aller Teilpunkte (in B i d 3 also n = ). y sind die Amplituden an den einzelnen Teilpunkten. b) D i e K o effiz ienten a (aber nicht für = n), also a, a, a 3... a Die Bedeutung von n, n und y siehe unter a), für cos x ist einzusetzen: n cos x und zwar bei Berechnung von a a a 3 cos x cos x cos 3 x Dabei läuft von... (nach obigem Beispiel), jedoch sind die einzelnen Abszissenwerte in dem zugehörigen Winkel einzusetzen. Beispiel: er Teilung x 8 n x = 3, x = 6, x 3 = 9... Wir erhalten also für cos, x, und zwar bei Berechnung des Koeffizienten a und einer er Teilung folgende Werte: cos 3, cos 6, cos 9, cos... c) D e r Ko e f fizient a n Die Bedeutung von n, n, und y siehe unter a). d) D i e K o effiz ienten b n an n n y bn Die Bedeutung von n, n, y siehe unter a). Die Glieder n y sin x sin x werden genau wie die Glieder cos x berechnet. Bei Berechnung des Koeffizienten b und einer Teilung in acht Abschnitte erhalten wir folgende Werte für sin x : n n y sin x = sin 45 = ½ sin x = sin 9 = sin x 3 = sin 35 = ½ sin x 4 = sin 8 = sin x 5 = sin 5 = ½ sin x 6 = sin 7 = sin x 7 = sin 35 = ½ sin x 8 = sin 36 =

5 B. Zerlegung gebräuchlicher Kurvenzüge In vielen Fällen liegen nun in der Nachrichtentechnik aber auch Kurvenzüge vor, die sich noch relativ einfach analytisch darstellen lassen.. Beispiele: Rechteckkurve (tritt auf beim Multivibrator) Sägezahnkurve (tritt auf beim Kippgenerator) Sinushalbwelle (tritt auf bei Einweggleichrichtung) Bild 4 bis 7 Umgeklappte Sinusschwingung (tritt auf bei Zweiweggleichrichtung) Für diese und eine Reihe anderer ähnlicher Kurven braucht man die numerische Rechnung (Abschnitt A) nicht durchzuführen. Hier lassen sich aus vorliegenden Funktionen der Kurven die Koeffizienten der Fourierschen Reihe berechnen.. Regeln über die Koeffizienten Generell kann man sich dazu folgendes merken: Ist die Funktion u n gerade, das heißt ist f( x)= f(x), Beispiel: dann enthält die Reihe n u r s in - Glieder. Ist die Funktion gerad e, das heißt ist f ( x) = f (x), Beispiel: dann enthält die Reihe k e i n e s in - Glieder. Hat die Kurve eine weitere Symmetrielinie [z. B. f (x) = f ( x)], Beispiel: fallen in der Fourier-Reihe, die nur aus sin-gliedern besteht, alle die fort, deren Argument ein geradzahliges Vielfaches von x ist. Es bleiben also nur sin x, sin 3 x, sin 5 x usw. Oder zum Beispiel: Hier fallen in der Reihe, in der die sin-glieder fehlen, alle die cos- Glieder weg, deren Argument ein ungeradzahliges Vielfaches von x ist. Es bleiben übrig nur: d, cos x, cos 4 x cos 6 x Grafisches Beispiel: Rechteckkurve Addiert man an Hand der Reihe für eine Rechteckkurve die Grundwelle und die Oberwellen grafisch, sieht man ohne weiteres ein, daß die oben aufgezählten Gesetzmäßigkeiten über den Fortfall bestimmter Gliedergruppen ihre Berechtigung haben.

6 Formel für die Rechteckkurve (Bild ): f x 4h sin 3x sin x 3 sin5x 5... a) Rechteckkurve b). Annäherung sin x cos x muß wegfallen, da er für x = den Wert hat, während ja die Funktion für x = durch Null gehen soll. sin x (in b gestrichelt eingezeichnet) muß wegfallen, da jede der beiden Halbwellen durch Summation von sin x und sin x sehr unsymmetrisch würde. c). Annäherung sin x sin 3x 3 d) 3. Annäherung sin x sin 3x 3 sin5x 5 4. Berechnung der Fourier-Reihe Ein periodischer Schwingungsvorgang läßt sich gewöhnlich durch eine Summe von harmonischen Schwingungen (Grundwelle, Oberwellen und Gleichstromglied [f = ]) ersetzen. Das heißt, die periodische Funktion f (x) kann durch f (x) = a + a cos x + a cos x + a 3 cos 3x... + b sin x + b sin x + b 3 sin 3x...dargestellt werden. Es ist also notwendig, die Koeffizienten dieser Reihe: a, a...a n, b...b n zu bestimmen. a) E u l e r - Fo u ri er-fo r meln z u r Bestimmung d e r Fourier-Ko e f - f izient en. a an š bn f x f x f x dx cosnx dx sinnx dx n =,, 3, 4,... b) D a r stel lung d e r Fouri e r-reihe i n k om pl ex e r S ch r ei bweise. f x n an e inx Die Koeffizienten a n können bestimmt werden durch: an f x e inx dx c) Beispi el fü r di e Berechnung n a ch 4a, d. h. mit den Euler-Fourierschen Formeln. Gegeben sei eine umgeklappte Sinusschwingung (B i l d 6 ) Für den Bereich... ist f (x) = sin x Für den Bereich... ist f (x) = + sin x Dann berechnet sich a nach B 4a in folgender Weise a h š h š h š f x cos x dx sin xdx cos x sin x dx h š š h

7 Entsprechend ergibt sich nach B 4a: an h š h š h š h š f x cosnx dx sinx cosnx dx sinx cosnx dx sinx nxdx h š cos nx n sinx sinx cosnx dx cosnx dx sin x nx dx sinx nxdx cos n x n cos n x n sin x nx dx cos n x n Da cos ( ) = cos, kann vereinfacht werden: an h š cos n x n an h cos n x š n cos n x n cos n x n Daraus berechnen sich die a-koeffizienten wie folgt: a entfällt nach Bild a 4 h 3 a 3 entfällt nach Bild a4 4 h 35 Die b-koeffizienten, d. h. die sin-glieder, entfallen nach Bild 9. Deshalb lautet die Gleichung für f (x) f x h 4h cosx 3 cos4x 35 cos6x d) Beispiel fü r d i e Berechnung nach Ab s ch nitt 4b, d.h. für die komplexe Schreibweise. Gegeben seien nach B i l d 7 Halbwellenimpulse Die Impulsfrequenz (Wiederholungsfrequenz) hat eine Periode von x =, die die Impulsform selbst bestimmende Frequenz f i hat eine kürzere Periode, und zwar gilt: a k = a 4k = a = /k a gibt also an, um wie viel die Periode von f i kürzer ist als die der Wiederholungsfrequenz. Für f(x) gilt also: f (x) = h cos x/k Kontrolle: Für x = k f (x) = cos k/k = cos / = wie laut Zeichnung Bild 7 gefordert ist. Für die Fouriersche Reihe ergibt sich dann: f (x) an e inx und für an = f (x)e inx dx an = k k hcos x k einx dx

8 Nach Mth /a, Abschnitt C gilt: Damit wird: an h 4 k k e ix k n e ix k n dx cos ei e i h e ix k n 4 i k n h 4 e ik k n k k e i k i k n k e ix k n i k n k k n ei k k n e i k i k n k n h i sin k k n i sin k k n 4 i k n i k n h sin kn sin kn k n k n an h cos kn k n cos kn k n Siehe Funktechnische Arbeitsblätter Mth / = an h cos kn h k und a k n k n cos kn 4k n h k kh 4k Die nebenstehende Gleichung () kann dann wie folgt geschrieben werden: () () h cos kn f (x) e inx kh n k 4k h k n n cos kn 4k n e inx

9 d.h. die Summe von Gl. wird in drei Summanden aufgelöst und zwar: a) n =... ; b) n = ; c) n = Setzt man nun im ersten Summanden für n den Wert n, dann erhält man für ihn Gleichung 3, wenn folgendes beachtet wird; läuft n von bis, dann geht n von bis, oder, was das gleiche ist, von bis. Der erste Summand von () lautet dann: (3) h cos(n) k (3) k 4k e i n h cos kn x e inx n k 4k n Damit wird: f (x) kh h k = kh h k = kh 4kh cosn k e inx e inx 4k n cosn k cosnx 4k n cosn k 4k n cosnx 5. Graphische Darstellung von Grund- und Oberwellen zwar ist das Auswerten der in Abschnitt C gegebenen Formeln nicht schwierig, aber manchmal zu zeitraubend. Außerdem genügt in vielen Fällen ein Überblick über den Verlauf der Amplitudenbegrenzungskurve, um beurteilen zu können, welche Oberwellen noch zu berücksichtigen sind bzw. von welcher Harmonischen ab die Oberwellenamplituden als uninteressant gelten können. Es ist deshalb in den rechten Spalten der auf Blatt 3a und 4 folgenden Formelzusammenstellung für die wichtigen Kurven über der Ordnungszahl der Harmonischen der zugehörige Amplitudenwert aufgetragen. Bei den periodischen Funktionen zu den Kurven Nr. 5, 6, 7, 8, 9,,, 3, 4 erfolgt die Abnahme sehr rasch. Da die kleinen Amplitudenwerte in der graphischen Darstellung schwer ablesbar sind, bringt die folgende T a b e lle (Blatt 4a) die errechneten Amplitudenwerte Tabelle der Amplitudenwerte für die Kurven 5 bis 4 Ordnungszahl der C 5, C 6, C 7 C 8, C 9 C C, C 3 C 4 Harmonischen f,3,5,636 f f,45 f 3,,, f 4,,85 f 5.4,4,4 f 6,855,364 f 7,4,4,4 f 8,475, f 9,4,4,4 f f,87,87,87 f,,89

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12 D. Anhang Weiteres Beispiel für die Berechnung nach B4b, d.h. für die komplexe Schreibweise: Gegeben seien nach Bild 8 Dreieckimpulse. Die Gleichung einer Geraden lautet: y = ax + b () Für die rechte Flanke des Dreiecks nach Bild 8 gilt: y = h für x = () y = für x = k (3) () und (3) nacheinander in () eingesetzt lassen a und b bestimmen: y = h ( x/k) Entsprechend folgt für die linke Dreiecksflanke Für die Fouriersche Reihe ergibt sich nun: y = h ( + x/k) an h h k k k x k e inx dx h h e inx dx k an h e ink e ink in h n sinn k k x k e inx dx x e inx dx k h i k n o k e inx h k k h dx i k n x e inx dx h e in k ik n in h e in k ik n in k einx dx Für x e inx dx kann geschrieben werden: i n einx dx h n sinn k h e in k ik n in eink in h n sinn k h n sinn k h n sinn k h ik n h k n h k cos n k in cos n k n n k sinn k ( cosn k) n h h n k sinn k sinn k h cos n k h cos n k n k n k n n k n Setzt man zur Bestimmung von a n =, so wird der Ausdruck =. Man muß deshalb Zähler und Nenner nach n differenzieren. h k sinn k a k n h k n k Setzt man noch sin x = x (für kleine Argumente), so erhält man: a k n h k h cos n k f (x) e inx hk n n k n h cos n k e inx n n k n Setzt man im ersten Summanden (s. B 4d) für n -n, so erhält man: f (x) h k h n k n cos n k n cosnx