Kapitel 30. Aufgaben. Verständnisfragen. Aufgabe 30.1 Gegeben ist die Funktion. 0 <x π 2 π 2 <x π. x, π. f(x)=
|
|
- Walter Bruhn
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 3 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 3.1 Gegeben ist die Funktion { fx= x,, <x <x. Setzen Sie die Funktion a als gerade Funktion, b als ungerade Funktion, c als -periodische Funktion auf das Intervall [, fort. Skizzieren Sie jeweils den Funktionsverlauf in, und berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten c, c 1 und c 1 sowie die reellen Koeffizienten a, a 1 und b 1. Aufgabe 3. Leiten Sie aus der komplexen Darstellung der Parseval schen Gleichung siehe Seite 144 die folgende reelle Form her: Für eine reellwertige Funktion f L, mit den Fourierkoeffizienten a k, k N bzw. b k, k N gilt a + ak + b k = 1 fx dx. k=1 Aufgabe 3.3 Die mit -periodische Funktion f : R R besitzt im Intervall, die Werte fx= cosh x, x,. Begründen Sie, dass f stückweise stetig differenzierbar ist. Ist f auch stetig differenzierbar? Bestimmen Sie auch die Fourierreihe der Funktion in reeller Form. Ist diese punktweise konvergent? Tritt das Gibbs sche Phänomen auf? Aufgabe 3.4 Sind f, g : R C -periodische Funktionen mit f,g L,, so ist auch h definiert durch hx = fx tgtdt, x,, eine Funktion aus L,. Man nennt h die Faltung von f mit g. Wir bezeichnen mit f k, g k bzw. h k die Fourierkoeffizienten der entsprechenden Funktion. Zeigen Sie den Faltungssatz h k = f k g k, k Z. Aufgabe 3.5 Der Satz über die trigonometrische Interpolation von Seite 155 soll bewiesen werden. Dazu sind für N N die Interpolationspunkte durch x j = + j N, j =,...,N gegeben. Zeigen Sie:
2 5 Aufgaben zu Kapitel 3 a Es gelten die Gleichungen { N, l = k, e il kx j =, sonst, j= { N e ikx j x l N, j = l, =, sonst. k= N+1 b Erfüllen die Zahlen c N+1,...,c N C das Gleichungssystem so gilt N k= N+1 c k e ikx j = fx j, j =,...,N 1, c k = 1 fx j e ikx j, N j= k = N + 1,...,N. c Durch die c k aus der letzten Formel in Aufgabenteil b ist eine Lösung des Gleichungssystems aus Teil b gegeben. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion f, die durch {, <x, fx= e ix, <x, gegeben ist. Aufgabe 3.7 Entwickeln Sie die Funktion fx= x cos x, x,, in eine Fourierreihe in reeller Form. Aufgabe 3.8 Die -periodische Funktion f ist auf dem Intervall, durch fx= x x gegeben. Skizzieren Sie f und berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten. Warum konvergiert die Fourierreihe für jedes x R? Zeigen Sie außerdem 1 n 4 = 4 9. Aufgabe 3.9 Berechnen Sie den Wert der Reihe 1 n+1 1 4n 1 unter Verwendung der Fourierreihe der -periodischen Funktion f mit x fx= cos, x,.
3 Aufgaben zu Kapitel 3 51 Zeigen Sie dazu für n = 1,, 3,... cos x cosnx dx = 1n 4 1 4n Aufgabe 3.1 Die Funktion f ist auf R gegeben durch x x, x, fx=, sonst. a Zeigen Sie, dass g : R R, definiert durch gx = f x + eine gerade Funktion ist. b Bestimmen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von g. c Zeigen Sie fxe inx dx = i n n Z,, x R, und bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten von f. gx cosnx dx, Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Beim Anschlagen einer Saite werden Obertöne angeregt. Sie sind auch wichtig für die Klangfarbe. Nun ist es so, dass die zweite und vierte Oberschwingung genau ins Halbtonkonzept passen, in dem eine Oktave in 1 Halbtöne zerlegt wird, die dritte und sechste fast genau und die fünfte auch noch einigermaßen. Die siebente Oberschwingung aber liegt ziemlich genau zwischen zwei Halbtönen und sorgt entsprechend für Dissonanzen. Wo muss man eine Saite anschlagen, um die siebente Oberschwingung so weit wie möglich zu unterdrücken? Aufgabe 3.1 Ermitteln Sie mit einem Separationsansatz die Lösung u :[,] R < R des Problems u xx x, t + 4u t x, t 3ux, t = mit Anfangswert ux, = xx für x [,] und Randwerten u,t= u, t =. Aufgabe 3.13 Eine zirkulante n n-matrix ist eine Matrix C = c jk C n n mit c jk = γ j k, j,k = 1,...,n, mit γ j C, j = 1 n,...,n 1 und γ j n = γ j, j = 1,...,n 1. a Überlegen Sie sich ein Beispiel für eine zirkulante 4 4-Matrix. b Es ist C eine zirkulante N N-Matrix, a = a,...,a N 1 C N, γ = γ,...,γ N 1 und b = Ca. Mit F bezeichnen wir die Matrix der diskreten Fouriertransformation. Zeigen Sie: Fb j = N Fγ j Fa j, j =,...,N 1. c Wieso kann die Multiplikation mit einer zirkulanten Matrix effizient implementiert werden?
4 5 Hinweise zu Kapitel 3 Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 3.1 Nutzen Sie die vereinfachten Formeln zur Berechnung der Fourierkoeffizienten für gerade bzw. ungerade Funktionen und den Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten. Aufgabe 3. Berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten und setzen Sie sie in die Parseval sche Gleichung in der komplexen Form ein. Aufgabe 3.3 Wie sieht f an den Stellen ± aus? Stellen sie für die Bestimmung der Fourierreihe fest, ob die Funktion gerade oder ungerade ist und nutzen Sie die vereinfachten Formeln für die Fourierkoeffizienten. Aufgabe 3.4 Schreiben Sie einen Ausdruck zur Berechnung von h k hin und vertauschen Sie die Reihenfolge der Integrale. Nutzen Sie dann die Periodizität von f bzw. von g. Aufgabe 3.5 a Nutzen Sie die geometrische Summenformel. b und c Die Aussagen folgen durch einfaches Einsetzen aus Teil a. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Verwenden Sie die Formel für die Fourierkoeffizienten und berechnen Sie das Integral. Aufgabe 3.7 Ist die Funktion gerade oder ungerade, sodass die vereinfachten Formeln für die Fourierkoeffizienten verwendet werden können? Zur Berechnung der Integrale zeigen Sie zunächst cosx sinkx = 1/sink + 1x + sink 1x. Aufgabe 3.8 Verwenden Sie zur Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten die Tatsache, dass f gerade ist. Man muss partiell integrieren. Den Reihenwert erhält man durch Anwendung der Parseval schen Gleichung für die Funktion f. Aufgabe 3.9 Bei der zunächst zu zeigenden Formel führt man für die linke Seite zweimal eine partielle Integration durch. Man erhält wieder dasselbe Integral mit einem anderen Vorfaktor und kann auflösen. Die Fourierreihe müssen Sie an der Stelle betrachten. Aufgabe 3.1 a Berechnen Sie g explizit. b Nutzen Sie die vereinfachten Formeln für eine gerade Funktion. c Nutzen Sie, dass g außerhalb eines bestimmten Intervalls verschwindet und verwenden Sie die Euler sche Formel. Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Betrachten Sie eine Saite der Länge. Die Anfangsauslenkung modelliert man als eine stückweise lineare Funktion. Aus ihren Fourierkoeffizienten erhält man die Lösung nach den Überlegungen vom Anfang des Kapitels. Aufgabe 3.1 Schreiben Sie ux, t = vtwx und stellen Sie gewöhnliche Differenzialgleichungen für v und w auf. Die Gesamtlösung ist eine Reihe über alle so erhaltene Lösungen. Indem man die Fourierreihe der Anfangswerte aufstellt, erhält man die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich. Ausführlich sind Separationsansätze im Kapitel 9 beschrieben. Aufgabe 3.13 a In jeder Zeile müssen dieselben Einträge vorkommen, aber jeweils nach rechts verschoben. b Drücken Sie Fb j durch γ, a und ω jk aus und nutzen Sie die Periodizität von γ. c FFT.
5 Lösungen zu Kapitel 3 53 Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 3.1 a c = a = 3/8, a 1 = /, b 1 =, c 1 = c 1 = 1/. b c = a = a 1 =, b 1 = 1 + /, c 1 = i 1/ + 1/, c 1 = i 1/ + 1/. c c = a = 3/8, a 1 = b 1 = c 1 = c 1 =. Aufgabe 3. Siehe ausführlichen Lösungsweg. Aufgabe 3.3 a = sinh/, a k = 1 k sinh/ 1 + k. Das Gibbs sche Phänomen tritt nicht auf. Aufgabe 3.4 Siehe ausführlichen Lösungsweg. Aufgabe 3.5 Siehe ausführlichen Lösungsweg. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 c 1 = 1/, c k = für k ungerade, k = 1 und c k = i/ 1 k, k gerade. Aufgabe 3.7 Die Fourierreihe lautet 1 sinx + 1 k k k 1 sinkx. k= Aufgabe 3.8 a = /6, a k 1 =, a k = 1/k, b k =, k N. Aufgabe 3.9 Die Fourierreihe von f lautet n+1 4n 1 cosnx. Aufgabe 3.1 a b Die Fourierkoeffizienten sind a n = 1k k für n = k, k = 1,, 3,..., bzw. a n = 4 1k k+1 3 für n = k + 1,k =, 1,, 3,...sowie b n =, n = 1,, 3,... c Die Fourierkoeffizienten sind c = /1 und c ±n = 1 k für n = k, k = 1,, 3,..., bzw. c ± = i k+1 für n = k + 1, k =, 1,, 3,... Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Für eine Saite der Länge muss man an einer der Stellen x = n/7, n = 1,...,6, anschlagen. 1 1 n Aufgabe 3.1 Die Lösung lautet ux, t = n 3 e 3+n 4 t sinnx. Aufgabe 3.13 a Ein Beispiel ist C = b siehe ausführlichen Lösungsweg. c Mithilfe der FFT ist der Aufwand ON ln N Operationen.
6 54 Lösungswege zu Kapitel 3 Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 3.1 In der Abbildung 3.17 sind die drei Fortsetzungen dargestellt. Für die Berechnung der Koeffizienten gilt: fx gerade -periodisch 1 f x 1 ungerade Abbildung 3.17 Die Funktion f und ihre Fortsetzungen auf das Intervall,. a Es soll f gerade fortgesetzt werden, es gilt also und c = a = 1 fxdx = 1 / x dx + 4 = 3 8 a 1 = fx cos x dx = / x cos x dx + / cos x dx = [x sin x + cos x]/ +[sin x] / = 1 1 =. Da f a reell und gerade sein soll, ist b 1 = und c 1 = c 1 = a 1 = 1. b Da f b reell und ungerade ist, gilt c = a = und a 1 =. Es bleibt b 1 = fx sin x dx = x sin x dx + sin x dx / = [sin x x cos x]/ [cos x] / = 1 = + 1.
7 Lösungswege zu Kapitel 3 55 Daraus folgt und c 1 = i b 1 1 = i + 1 c 1 = i b 1 1 = i + 1. c Es gilt hier c = a = 1 fxdx = fxdx = 3 8 wie in Teil a. Ferner ist a 1 = 1 fx cos x dx = 1 fx+ cos x dx + 1 fx cos x dx. Mit der Substitution t = x + im ersten Integral folgt a 1 = 1 ft cost dt + 1 fx cos x dx = 1 ft cost dt + 1 fx cos x dx =. und ganz analog folgt b 1 =. Damit ist auch c 1 = c 1 =. Aufgabe 3. Es ist nach der Parseval schen Gleichung auf beiden Seiten mit multipliziert 1 fx dx = k= c k = c + Da c = a ist, haben wir bereits den ersten Term gefunden. k=1 c k + c k. Weil f reellwertig ist, sind die Koeffizienten a k bzw. b k ebenfalls reell. Damit ist c k = a k i b k = 1 4 a k i b k a k + i b k = 1 ak 4 + i a k b k i a k b k + bk = 1 ak 4 + b k. Ganz analog folgt Somit erhalten wir c k = 1 4 c k + c k = 1 ak + b k. ak + b k. Setzen wir dies in die Formel oben ein, so steht die Behauptung da.
8 56 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.3 Auf dem Intervall, ist f stetig differenzierbar mit der Ableitung f x = sinhx. Diese lässt sich stetig fortsetzen in die Randpunkte ±. Dasselbe Argument gilt für jedes andere Intervall der Form k 1, k + 1, k Z. Daher ist f stückweise stetig differenzierbar. Die Funktion ist allerdings nicht stetig differenzierbar, denn es ist zum Beispiel sinh = f = f + = sinh. Da f eine gerade Funktion ist, sind die Koeffizienten b k =, k N. Ferner ist und a k = a = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 coshx dx = 1 [sinhx] = sinh coshx coskx dx e x + e x e ikx + e ikx dx e 1+ikx + e 1 ikx + e 1 ikx + e 1+ikx dx [ e 1+ikx e 1+ikx 1 + ik e 1+ik e 1+ik 1 + ik ] + e1 ikx e 1 ikx 1 ik + e1 ik e 1 ik 1 ik. Da expik = exp ik = 1 k, k Z, folgt a k = 1k e e 1 + ik = 1k sinh = 1k sinh 1 + k. + e e 1 + ik ik ik Da f stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, konvergiert die Fourierreihe an jeder Stelle x R gegen fx, es gilt also fx= sinh 1 k k coskx. k=1 Das Gibbs sche Phänomen kann nicht auftreten, denn f ist stetig. Aufgabe 3.4 Wir bestimmen die Fourierkoeffizienten h k durch h k = 1 hx e ikx dx = 1 fx tgtdt e ikx dx.
9 Lösungswege zu Kapitel 3 57 Da f, g L, und e ikx C [, ], ist der gesamte Integrand auf dem Quadrat,, integrierbar. Nach dem Satz von Fubini darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Es folgt h k = 1 gt fx te ikx dx dt. Nun Substituieren wir im inneren Integral x = t + s und erhalten h k = 1 t gt fse ikt+s ds dt t = 1 t gt e ikt fse iks ds dt. t Jetzt nutzen wir, dass f -periodisch ist und wir den Integrationsbereich des inneren Integrals wieder auf das Intervall, verschieben können. Dadurch separieren die Integrale, und wir folgern h k = 1 gt e ikt fse iks ds dt = 1 gt e ikt dt fse iks ds = g k f k. Damit ist der Faltungssatz bewiesen. Aufgabe 3.5 a Ist l k kein Vielfaches von N, so gilt unter Verwendung der geometrischen Summenformel Für l k = Nm, m Z, ist Für l, k { N + 1,...,N} ist j= Damit können wir beide Fälle durch N 1 e il kx j = e il k j= e il kj/n il k 1 eil k = e 1 e il k/n =. N 1 e il kx j = e i N+jm = N. j= j= l k { N + 1,...,N 1}. j= e il kx j = N δ lk zusammenfassen. Dabei ist δ lk das Kronecker-Delta siehe Kapitel mit δ lk = für k = l und δ ll = 1. Ganz analog erhalten wir auch die Formel N e ikx j x l = N δ jl. k= N+1
10 58 Lösungswege zu Kapitel 3 b Wir nehmen an, dass eine Lösung des Gleichungssystems c N+1,...,c N existiert. Dann gilt für k = N + 1,...,N, j= fx j e ikx j = N c l e il kx j j= l= N+1 N = c l e il kx j l= N+1 j= N = c l Nδ lk l= N+1 = N c k. c Mit den c k aus der Formel erhalten wir N k= N+1 c k e ikx j = 1 N N k= N+1 l= = 1 fx l N l= fx l e ikx j x l N k= N+1 = 1 fx l N δ jl N l= = fx j für j =,...,N 1. Also ist durch diese c k stets eine Lösung gegeben. e ikx j x l Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Es ist Für k = 1 ist c 1 = 1/. Für k = 1 erhalten wir Damit ist c k = für k ungerade, k = 1 und c k = 1 fxe ikx dx = 1 e i1 kx dx. c k = [ ] c k = 1 e i1 kx i1 k = 1 = i e i1 k 1 i1 k 1 k k i 1 k, k gerade.
11 Lösungswege zu Kapitel 3 59 Die Fourierreihe ist durch 1 i eix + 1 k eikx k= gegeben. Aufgabe 3.7 Die Funktion f ist ungerade, daher sind die Koeffizienten a k =, k =, 1,,... Zur Bestimmung der Koeffizienten b k berechnen wir zunächst cosx sinkx = 1 e ix + e ix e ikx e ikx 4i = 1 e ik+1x e ik 1x + e ik 1x e ik+1x 4i = 1 sink + 1x + sink 1x. Nun ergibt sich für k die Formel b k = 1 x sink + 1x + sink 1x dx = 1 [ sink + 1x x cosk + 1x k + 1 k + 1 ] sink 1x x cosk 1x + k 1 k 1 = 1k+1 k + 1 1k 1 k 1 = 1 k k k 1. Für k = 1 erhalten wir b 1 = x cosx sinx dx = 1 x sinxdx = 1 [ sinx x cosx ] 4 = 1. Damit haben wir die Fourierreihe 1 sinx + k= 1 k k k 1 sinkx gefunden.
12 51 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.8 fx x x 1 Abbildung 3.18 Die Funktion fx= x x,,. x Da f gerade ist, sind die Koeffizienten b k =, k N. Für die Koeffizienten a k berechnen wir: a = 1 x x dx = 1 x xdx [ ] = 1 x x3 3 = 6 a k = x x coskx dx = [ ] x x sinkx x sinkx dx k k = [ ] x coskx k k k cosx dx = k 1k 4 k [sinx] = k 1 + 1k, k N Somit ist a k = für ungerades k und Nach der Parseval schen Gleichung ist 1 = a k = 1,k N. k k= = fx dx c k = a + k=1 1 k 4. k=1 a k
13 Lösungswege zu Kapitel Das Integral errechnet sich als 1 fx dx = 1 x x dx [ x 3 = 1 3 x4 4 = ] + x5 5 = 4 3. Somit folgt k=1 1 k 4 = = Aufgabe 3.9 Es ist x cos cosnx dx [ x ] = sin cosnx + n [ = 4 sin cosn + n cos + n = 4 cosn + 4n cos x sin sinnx dx x ] sinnx x cos cosnx dx x cosnx dx. Also ist oder 1 4n x cos cosnx dx = 4 cosn = 4 1 n, x cos cosnx dx = 4 1n 1 4n. Nun berechnen wir die Fourierreihe von f.daf gerade ist, folgt b n = für n = 1,, 3,... Für die Koeffizienten a n gilt a n = 1 x cos cosnx dx = n 1 4n = 4 1 n+1 4n 1, n 1, a = 1 cos x dx =. Also lautet die Fourierreihe von f n+1 4n 1 cosnx.
14 51 Lösungswege zu Kapitel 3 Den gesuchten Reihenwert erhalten wir durch Auswertung der Fourierreihe in x =. Da f stetig differenzierbar ist, stimmt der Wert der Fourierreihe mit dem Wert von f an jedem x, überein. Damit gilt 1 = f = n+1 4n 1, und somit 1 n+1 1 4n 1 = 1 4 =. 4 Aufgabe 3.1 a Wir berechnen g explizit: gx = f x + { x + = x, x +,, sonst, { = 4 x, x,, sonst. Offensichtlich ist somit g gerade. b Wir bezeichnen die reellen Fourierkoeffizienten von g mit a n, n =, 1,,... bzw. mit b n, n = 1,, 3,... Dann gilt b n = für alle n, dag eine gerade Funktion ist. Ferner ist Somit folgt c Es ist a = 1 gx dx = 1 [ ] / 4 x dx = 1 / x x3 = 4 3 1, a n = gx cosnx dx = / 4 x cosnx dx [ ] = / x x sinnx sinnx 4n n n cosnx + n 3 sinnx = 4 n n 3 sin n n cos, n = 1,, 3,... fxe inx dx = 1k a n = k, n = k, k = 1,, 3, k k+1 3, n = k + 1,k =, 1,, 3,... g x / e inx dx = e in/ gx e inx dx 3/ = i n gx e inx dx = i n Die vorletzte Umformung gilt, da g außerhalb des Intervalls /,/ verschwindet. Da g eine gerade Funktion ist, ist gx sinnx dx =. Somit folgt die letzte Umformung mit der Euler schen Formel. gx cosnx dx.
15 Lösungswege zu Kapitel Es bleibt die Fourierreihe von f in der komplexen Form zu bestimmen. Wir bezeichnen die Fourierkoeffizienten mit c n, n Z. Mit der eben gezeigten Formel folgt c = a, c n = in a n Mit dem Ergebnis aus b folgt c = /1 und, c n = in a n, n = 1,, 3,... { 1 c ±n = k, n = k, k = 1,, 3,... i k+1, n = k + 1, k =, 1,, 3,... Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Wir geben uns eine Saite der Länge vor, die Schwingung wird also durch die Fourierreihe b k sinkx k=1 dargestellt. Das Anschlagen der Saite an der Stelle x bringt diese in eine Ausgangslage der Form { A x ux = x, <x x A x x, x <x<. Dabei ist A > die Amplitude, die nur linear in das Ergebnis eingeht. Auf die relative Größe der Koeffizienten zueinander hat sie also keinen Einfluss, und wir setzen im folgenden A = 1. Wir bestimmen die Koeffizienten b k, indem wir u ungerade auf das Intervall, fortsetzen. Dann gilt b k = [ x x ] x sinkx dx + sinkx dx x x x = [ sinkx x k x coskx ] x [ ] coskx k x k x [ x coskx + sinkx ] x k k x = sinkx x k coskx cosk k x k + coskx x k + cosk xk x coskx x k + sinkx x k = sinkx [ x + x ] x x k + coskx [ x x ] x k = sinkx x x k. Die k-te Oberschwingung verschwindet also, falls kx eine Nullstelle der Sinusfunktion ist. Damit die 7-te Oberschwingung zu null wird, ist also x = n/7, n = 1,...,6, eine geeignete Wahl. Aufgabe 3.1 Mit dem Ansatz ux, t = vtwx folgt vtw x + 4v twx 3vtwx =
16 514 Lösungswege zu Kapitel 3 bzw. für alle x [,] und t>. w x wx = 4 v t vt + 3 = k R Setzen wir w x = kwx, so erfüllt v die separable Differenzialgleichung Wir erhalten eine Lösung Weiter gilt für w die allgemeine Lösung v t = k 3 vt. 4 vt = e 3 k 4 t. wx = c 1 e kx + c e kx. Mit den Randbedingungen folgt c 1 + c =, d. h. c 1 = c, und weiter c 1 e k e k =. Für nichttriviale Lösungen muss c 1 = sein, und, da der sinh nur die Nullstelle x = hat, muss k = n für ein n N gelten. Also ergeben sich die Möglichkeiten mit Konstanten c 1n R. Wir erhalten Lösungen in der Form Somit ist ux, t = wx = c 1n sinnx ux, = c 1n e 3+n 4 t sinnx. c 1n sinnx. Um die Anfangsbedingung einzusetzen, müssen wir den Ausdruck xx in eine Fourierreihe entwickeln. Da es sich um eine ungerade Funktion handelt, sind die Koeffizienten a n =, n N. Für die b n gilt b n = xx sinnx dx [ ] = xx cosnx n [ = n = n = x= + 3x cosnx dx n ] 3x sinnx n n 6x sinnx dx [ 6x cosnx 6 sinnx ] n n 1 1n n 3.
17 Lösungswege zu Kapitel Aufgrund der Anfangsbedingung muss b n = c 1n sein. Wir erhalten die Lösung des Anfangs-Randwert-Problems. ux, t = Aufgabe 3.13 a Die Matrix ist zirkulant. Hier ist C = 1 1 n n 3 e 3+n 4 t sinnx γ 3 =, γ = 3, γ 1 = 1, γ =, γ 1 =, γ = 3, γ 3 = 1. b Die Matrix der diskreten Fouriertransformation ist F = ω jk mit Daher gilt ω jk = 1 N e ijk/n, j,k =,...,N 1. ω jk+l = 1 k+l/n e ij N = 1 N e ijk/n e ijl/n = N ω jk ω jl und somit auch ω jk N = N ω jk 1 N e Ij = ω jk. Nun berechnen wir die linke Seite der zu beweisenden Gleichung: Fb j = k= ω jk b k = a l k= l= ω jk γ k l a l = ω jk γ k l l= k= N 1 l 1 = a l ω jk+l γ k + ω jk+l γ k l= k= k= l = l= N 1 l a l ω jk+l γ k k= + ω jk+l N γ k. k=n l
18 516 Lösungswege zu Kapitel 3 In der letzten Umformung haben wir die Formel γ k N = γ k genutzt. Mit unseren Vorüberlegungen von oben ergibt sich nun Fb j = l= = N a l l= k= ω jk+l γ k a l ω jl = N Fa j F γ j. k= ω jk γ k c Nach der in b gezeigten Formel, sind zunächst diskrete Fouriertransformationen mit einem Aufwand von ON ln N Operationen durchzuführen. Anschließend sind die transformierten Vektoren gliedweise zu multiplizieren, was N Multiplikationen entspricht. Am Ende steht eine inverse diskrete Fouriertransformation, die ebenfalls den Aufwand ON ln N besitzt. Ein Aufwand von ON ist gegenüber einem Aufwand von ON ln N zu vernachlässigen. Damit ist der Gesamtaufwand bei ON ln Nim Gegensatz zu ON, falls man die gewöhnliche Matrizenmultiplikation verwendet.
Aufgaben zu Kapitel 30
Aufgaben zu Kapitel 3 1 Aufgaben zu Kapitel 3 Verständnisfragen Aufgabe 3.1 Gegeben ist die Funktion { x,
MehrFerienkurs der TU München- - Analysis 2 Fourierreihen und Taylorreihen. Marcus Jung, Jonas J. Funke
Ferienkurs der U München- - Analysis Fourierreihen und aylorreihen Lösung Marcus Jung, Jonas J. Funke 3.8. FOURIERREIHEN Fourierreihen Aufgabe. Sei f : R R stetig und periodisch mit Fourierkoeffizienten
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe (9 Punkte) Es sei die Fläche S R 3 gegeben durch S : { } (x, y, z) R 3 : 4z x + y 4, z. (a) ( Punkte) Geben Sie eine Parametrisierung für S an. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von
MehrVIII. Fourier - Reihen
VIII. Fourier - Reihen Dieses Kapitel enthält eine kurze Einführung in die mathematische Beschreibung von Schwingungen. Übersicht über den Inhalt von Kapitel VIII: 5. Der Satz von Fejér 53. Die Parsevalsche
MehrMathematik 2 (Master Sicherheitstechnik)
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 4.6.8 Mathematik Master Sicherheitstechnik) Übungsblatt 8 Aufgabe 5. Konvergenz von Fourierreihen) Der Sinus Hyperbolicus ist die Funktion sinhx) = e x e x). Es
Mehrcos(kx) sin(nx)dx =?
3.5 Fourierreihen 3.5.1 Vorbemerkungen cos(kx) sin(nx)dx =? cos gerade Funktion x cos(kx) gerade Funktion sin ungerade Funktion x sin(nx) ungerade Funktion x cos(kx) sin(nx) ungerade Funktion Weil [, π]
MehrFourier-Integrale: Ausgangsdaten und Transformierte sind jeweils Funktionen über der ganzen reellen Achse.
Fourier-Reihen Fourier-Transformation Die Fourier-Transformation ist eines der wichtigsten Instrumente zur Behandlung linearer Systeme, seien es gewöhnliche oder partielle lineare Differentialgleichungen
MehrKomplexe Analysis für ITET und RW/CSE. Serie 11
Prof. Dr. F. Da Lio R. Gantner Frühlingssemester 5 Komplexe Analysis für ITET und RW/CSE ETH Zürich D-MATH Serie Aufgabe. Fourierreihen (.a Sei f p die ungerade periodische Fortsetzung der Funktion f :
MehrD-CHEM Mathematik III Sommer 2016 Prof. Dr. F. Da Lio. First Draft. 20 x ct x + ct x 4t x + 4t 20, 4t 20 x 20 4t.
D-CHEM Mathematik III Sommer 06 Prof. Dr. F. Da Lio First Draft. a) Der Wert u(x, t) kann für (x, t) berechnet werden, wenn (x, t) im Einflussgebiet von [ 0, 0] liegt (denn nur auf dem Intervall [ 0, 0]
MehrAnalysis für Informatiker und Statistiker Modulprüfung
Prof. Dr. Peter Otte Wintersemester 2013/14 Tom Bachmann, Sebastian Gottwald 18.02.2014 Analysis für Informatiker und Statistiker Modulprüfung Lösungsvorschlag Name:.......................................................
MehrModulprüfung HM III (kyb, mech, phys)
Seite von 5 Modulprüfung HM III (kyb, mech, phys) Hinweise: Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt. Alle nicht in der Vorlesung behandelten Sachverhalte sind zu beweisen, Lösungsschritte
Mehrexp(z) := k=0 sin(z) := k=0 cos(z) := k=0
Die komplexen Zahlen und komplexe Exponentialfunktion In diesem Vortrag sollen die komplexen Zahlen eingeführt werden, und wichtige Eigenschaften wiederholt und bewiesen werden. Wir definieren die komplexen
MehrHöhere Mathematik II. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof Dr E Triesch Höhere Mathematik II SoSe 5 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
Mehr6 Fourierreihen und die Fouriertransformation
Mathematik für Physiker IV, SS 13 Mittwoch 9.5 $Id: fourier.tex,v 1.4 13/5/31 16:8:3 hk Exp hk $ 6 Fourierreihen und die Fouriertransformation 6.1 Die Fourierreihe einer integrierbaren Funktion Am Ende
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die
MehrTeil III. Fourieranalysis
Teil III Fourieranalysis 3 / 3 Fourierreihen Ziel: Zerlegung einer gegebenen Funktion in Schwingungen Konkret: f : (, L) R gegebene Funktion Gesucht: Darstellung der Form ( f (x) = a + a n cos ( n L x)
Mehr15. Übungsblatt zur Höheren Mathematik III (P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 2012/13
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmund 15. Übungsblatt zur Höheren Mathematik III P/ET/AI/IT/IKT/MP WS 1/13 Aufgabe 1 Bestimmen Sie eine auf der Menge M := {x, y R x + y
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe 1 8 Punkte Es seien eine Kurve K R mit Parametrisierung C : [ π, π] R und ein Vektorfeld g : R R gegeben durch cos t 4y Ct :, gx, y : sin t 1 05 K 05 05 1 15 05 a 3 Punkte Berechnen Sie die Zirkulation
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure , Uhr (1. Termin)
Studiengang: Matrikelnummer: 1 3 4 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklausur A zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1 17.. 14, 8. - 11. Uhr 1. Termin Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche
MehrModellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.
Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung
MehrSerie 12 - Integrationstechniken
Analysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 5 Serie - Integrationstechniken. Berechnen Sie folgende Integrale: a e x cos(x dx Wir integrieren zwei Mal partiell, bis wir auf der rechten Seite wieder das Integral
Mehr3.3 Eindimensionale Wellengleichung
3.3. Eindimensionale Wellengleichung 77 3.3 Eindimensionale Wellengleichung Die Wellengleichung lautet c 2 u(x,t) = 2 u t 2(x,t) für alle x Ω Rn, t R, wobei c > 0 eine Konstante ist. Schauen wir uns diese
MehrFourier-Reihen. Definition. Eine auf R definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode T 0, wenn f(x + T ) = f(x) x R.
Fourier-Reihen Sehr häufig in der Natur begegnen uns periodische Vorgänge, zb beim Lauf der Gestirne am Nachthimmel In der Physik sind Phänomene wie Schwingungen und Wechselströme periodischer Natur Zumeist
MehrMathematik für Sicherheitsingenieure II (MScS, MScQ)
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal,.3.7 Mathematik für Sicherheitsingenieure II MScS, MScQ) Modulteil: Mathematik II Aufgabe. 8+6+6 Punkte) a) Bringen Sie folgende komplexe Zahlen in die Form x + iy
Mehr10. Periodische Funktionen, Fourier Reihen
H.J. Oberle Analysis II SoSe 212 1. Periodische Funktionen, Fourier Reihen Jean Baptiste Joseph Fourier: Joseph Fourier wurde am 21.3.1768 bei Auxerre (Burgund) geboren und starb am 16.5.183 in Paris.
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 13. es kann keine allgemein gültige Aussage getroffen werden.
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Wenn man zwei beliebig oft differenzierbare Funktionen addiert, dann werden ihre Taylorreihen an einem Punkt
MehrPrüfungklausur HM 1 (Ing), Lösungshinweise
Aufgabe : a Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung z + i z =? Skizzieren Sie die Lösungsmenge in der Gaussschen Zahlenebene. 6 Punkte b Für welche komplexen Zahlen z gilt (z + i = 8 e π i? Die
MehrKlausur zur Höheren Mathematik III für die Fachrichtungen: kyb, mecha, phys
Prof. Pöschel Höhere Mathematik III 3.9.5 Klausur zur Höheren Mathematik III für die Fachrichtungen: kyb, mecha, phys Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 8 Minuten Erlaubte Hilfsmittel:
MehrMathematik für Sicherheitsingenieure II (MScS, MScQ)
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal,..28 Mathematik für Sicherheitsingenieure II (MScS, MScQ) Modulteil: Mathematik II Aufgabe. (6+7+7 Punkte) a) Bringen Sie folgende komplexe Zahlen in die Form x +
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von Wintersemester 7/8 (..8) z = ( + i)( i) + ( + i). (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung WS 17/18: Woche vom
Übungsaufgaben 3. Übung WS 17/18: Woche vom 3. 10. - 7. 10. 017 Fourierreihen: 16. b,c,e,o), 16.3 a, b), 16.4 a) auch reelle Fourierreihe) Klausureinsicht zu Mathematik II 11.8. 017): 30.10.17, 7.00-8.30
Mehrv(x, y, z) = (1 z)x 2 + (1 + z)y 2 + z. Hinweis: Der Flächeninhalt der Einheitssphäre ist 4π; das Volumen der Einheitskugel
Aufgabe Gegeben sei das Gebiet G : { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < } und die Funktion Berechnen Sie das Integral v(x, y, z) ( z)x 2 + ( + z)y 2 + z. G n ds, wobei n der nach außen zeigende Normalenvektor
MehrProbeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker
I. Bouw.7.8 U. Hackstein Probeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker Es gibt 5 Punkte pro Teilaufgabe, also insgesamt 7 Punkte. Aufgabe. Skizzieren Sie folgenden Bereich: D = {(x, y) R x + y
Mehr, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3
Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrD-BAUG Analysis I/II Winter 2015 Dr. Meike Akveld
D-BAUG Analysis I/II Winter 5 Dr. Meike Akveld Lösung. [ Punkte] Es sei das Gebiet B {z C } z + Im(z) gegeben. a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der komplexen Ebene. Für z x + iy gilt z + Im(z) x + y +
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
MehrFourier-Reihen: Konvergenzsatz von Fejér & Weierstraßscher Approximationssatz
Seminar Analysis III Universität Dortmund / Fachbereich Mathematik Fourier-Reihen: Konvergenzsatz von Fejér & Weierstraßscher Approximationssatz Seminar vom.4.3 von Christian Gervens Christian Gervens:
MehrLösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, geod, mach, medtech, tema, umw, verf, verk )
Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, geod, mach, medtech, tema, umw, verf, verk Aufgabe : ( Punkte Gegeben ist der Körper K {(x,y,z R 3 x 2 + y 2 + z 2 ; x,y,z } (a Geben Sie K in Kugelkoordinaten
MehrFourierreihen und -transformation
Kapitel Fourierreihen und -transformation. Fourierreihen 8 postulierte Fourier (ohne stichhaltige Beweise: Jede beliebige Funktion f(x mit Periode, d. h. f(x = f(x +, lässt sich in eine Reihe der Gestalt
Mehr7.2 Die Wellengleichung
66 7 Partielle Differenzialgleichungen 7.2 Die Wellengleichung Die schwingende Saite Bei der schwingenden Saite handelt es sich um einen frei verformbaren, gewichtslosen Faden, der unter Spannung steht
Mehr10.1 Einleitung: Die Saitenschwingungsgleichung
Kapitel Fourier-Reihen Fourier-Reihen sind seit langer Zeit ein zentrales Thema in der Analysis, das auch immer wieder Anstöße zu neuen Entwicklungen gab. Ursprung des Problems war die Saitenschwingungsgleichung,
MehrLösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt.
Übung zur Analysis III WS / Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt. Aufgabe 54 Sei a R\{}. Ziel ist die Berechnung des Reihenwertes k a + k. Definiere dazu f : [ π, π] R, x coshax. Wir entwickeln f in eine
MehrKarteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke
Karteikarten, Analysis 2, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, felix.b.mueller@physik.lmu.de Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung Analysis 2 bei Herrn PD Hanke
MehrVorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 216) Kapitel 11: Potenzreihen und Fourier-Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.
MehrAufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrSPEZIELLE KAPITEL DER MATHEMATIK TEIL 1
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik SPEZIELLE KAPITEL DER MATHEMATIK TEIL 1 13. Fourier-Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 216/17
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrApproximation von Funktionen
von Funktionen Fakultät Grundlagen Februar 6 Fakultät Grundlagen von Funktionen Übersicht Problemstellung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktionen 3 Fakultät
MehrMathematik I HM I A. SoSe Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Mathematik I SoSe 08 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
Mehr1. Aufgabe 8 Punkte. f (x) = (x 2 + 1) e x2. Es gilt. f (x) = 2xe x2 + ( x ) e x2 ( 2x) = 2x 3 e x2.
1. Aufgabe 8 Punkte Geben Sie die Bereiche, auf denen die Funktion f : R R mit f (x) = (x + 1) e x monoton wachsend oder fallend ist, an, und untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Extrema.
MehrFourier-Reihen und Fourier-Transformation
Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Matthias Dreÿdoppel, Martin Koch, Bernhard Kreft 25. Juli 23 Einleitung Im Folgenden sollen dir und die Fouriertransformation erläutert und mit Beispielen unterlegt
MehrPrüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
Mehr1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) := xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie Symmetrien.
1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) : xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) inweis: Verwenden Sie Symmetrien. Lösung: Betrachte den Diffeomorphismus j : B 1 () B 1
MehrLösungsvorschläge zur Klausur
Prüfung in Höhere Mathematik 3 5. September 3 Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, IuI, mach, tema, umw, verf, geod und so weiter ; Aufgabe : Punkte Im R 3 wird eine Fläche T durch die Abbildung
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 3.9.5, min Aufgabe (8 Punkte) Gegeben ist der Körper K : {(x, y, z) R 3 x + 4y, z 3}. Berechnen Sie der Ausfluss von g : R 3 R 3 durch den Rand K mit g(x, y, z) (x
MehrWestfälische Wilhelms-Universität Münster. Seminararbeit. Fourier-Reihen. vorgelegt von. Stefan Marczinzik
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Seminararbeit Fourier-Reihen vorgelegt von Stefan Marczinzik Fachbereich Mathematik und Informatik Seminar: Integraltransformationen (WS /3) Seminarleiter: Prof.
MehrFourier-Integrale: Ausgangsdaten und Transformierte sind jeweils Funktionen über der ganzen reellen Achse.
Fourier-Reihen Fourier-Transformation Die Fourier-Transformation ist eines der wichtigsten Instrumente zur Behandlung linearer Systeme, seien es gewöhnliche oder partielle lineare Differentialgleichungen
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min. cos(x), y(0) = 1.
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung.9.6, min Aufgabe ( Punkte) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: y = e y cos(x), y() =. Sei y : I R die maximale Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (diese
MehrAufgaben zu Kapitel 20
Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v
Mehrf(t) = a 2 + darstellen lasst Periodische Funktionen.
7. Fourier-Reihen Viele Prozesse der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlaufen periodisch oder annahernd periodisch, wie die Schwingungen einer Saite, Spannungs- und Stromverlaufe in Wechselstromkreisen
MehrÜbungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM
TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4
MehrParseval-Identität: Seien zwei Funktionen v. mit Fourier-Reihen: dann gilt: Parseval-Identität. Speziell:
Parseval-Identität: Seien zwei Funktionen v. mit Fourier-Reihen: dann gilt: (kühnes Vertauschen von Integral und Summe!) Parseval-Identität Speziell: Anmerkung: beide Seiten kann man als Skalarprodukt
Mehr8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 $Id: fourier.tex,v.4 9/7/ :5:6 hk Exp $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8. Fourier Reihen Wir wollen jeder, oder zumindest möglichst vielen, Funktionen
Mehr10 Potenz- und Fourierreihen
10 Potenz- und Fourierreihen 10.1 Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen Im letzten Kapitel soll es noch einmal um eindimensionale Analysis gehen. Speziell werden wir uns mit Folgen und Reihen reeller
MehrPartielle Integration
Partielle Integration Aus der Produktregel (fg) = f g + fg ergibt sich eine analoge Formel für unbestimmte Integrale: f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Partielle Integration 1-1 Partielle Integration
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 partielle Differentialgleichungen (Klausuraufgaben) Marcel Bliem Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Herbst 2010 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
MehrFunktion; trigonometrische Reihen; trigonometrische Polynome; gliedweise Integration; Integration und Grenzübergang; Fourier-
Kapitel 26 Fourier-Reihen 26.1 Einführung (Spektrum; harmonische Analyse; Periode einer Funktion; trigonometrische Reihen; trigonometrische Polynome; gliedweise Integration; Integration und Grenzübergang;
MehrPrüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1
Studiengang: Matrikelnummer: 3 4 5 6 Z Bonus Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure.. 7, 3. - 6. Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen
MehrD-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 11. Bitte wenden!
D-HEST, Mathematik III HS 07 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner Lösung Bitte wenden! . Lösen von partiellen Differentialgleichungen mit Separationsansätzen a Betrachten Sie für D > 0 die partielle Differentialgleichung
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
MehrDie Wärmeleitungsgleichung
Die Wärmeleitungsgleichung In einem Stab der Länge 1 wird die Temperaturverteilung gegeben durch die Funktion u : ([0,1] [0, )) R, u(x,t) ist die Temperatur am Punkt x zum Zeitpunkt t. Die Funktion erfüllt
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
Mehrhhhhh 8 ( x)/2, <x 0, ( x)/2, 0 <x, , ] hinaus. Diese Funktion ist ungerade, ihre Fourierreihe also eine reine Sinusreihe. Man findet 1 cos nx dx.
86 5 Fouriertheorie Für gerades f ist f (x) sin nx ungerade, somit b n = f (x) sin nx dx =. Für ungerades f ist dagegen f cos nx ungerade, also a n = f (x) cos nx dx =..Ò Beispiel Die Sägezahnfunktion
MehrLösungen zur Klausur zur Analysis 1, WiSe 2016/17
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL..7 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof. N. V. Shcherbina Dr. T. P. Pawlaschyk www.kana.uni-wuppertal.de Lösungen zur Klausur zur Analysis, WiSe 6/7 Klausureinsicht:
Mehr2.3 Konvergenzverhalten von Fourierreihen
24 2 Fourierreihen 2.3 Konvergenzverhalten von Fourierreihen Wir diskutieren die folgenden Fragen: Unter welchen Umständen konvergiert eine Fourierreihe einer Funktion? Wann kann man eine stückweise stetige
MehrPrüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1
Studiengang: Matrikelnummer: 3 4 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 8. 7. 6, 8. -. Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
MehrAnalysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur
Prof. Dr. Peter Otte Wintersemester 213/14 Tom Bachmann, Sebastian Gottwald 14.3.214 Analysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur Lösungsvorschlag Name:.......................................................
MehrEinführung in die Fourier-Reihen. 1 Fourier-Reihen: Definitionen
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 05.07.2010 André Stollenwerk, Eva-Maria Seifert Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem, inwiefern sich Funktionen mittels Sinus und Cosinus, das heißt periodischen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (
Mehrg(x) := (x 2 + 2x + 4) sin(x) für z 1 := 1 + 3i und z 2 := 1 + i. Geben Sie das Ergebnis jeweils
. Aufgabe Punkte a Berechnen Sie den Grenzwert n + n + 3n. b Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. Dabei ist a R eine Konstante. fx : lnx e a, gx : x + x + 4 sinx c Berechnen Sie z z und z z in der Form
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
MehrGrundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau)
Prof. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 3.8.8 Dr. T. Pawlaschyk Grundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau) Aufgabe. (5+5+5+5 Punkte) a) Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie WAHR oder FALSCH
Mehr7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare
MehrEin Beispiel zur Fourier-Entwicklung
Ein Beispiel zur Universität Leipzig, Mathematisches Institut Januar 2011 Aufgabenstellung Entwickle die Funktion u(x) = { 0 in π in ( ) ( π, π 3 2π ( 3, π) π 3, 2π ) 3 über dem Intervall [ π, π] in eine
MehrGrundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele
Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. 1 DETERMINANTEN 1
MehrHöhere Mathematik I/II
Markus Stroppel Höhere Mathematik I/II Z. Zusätze. Z.. Skalarprodukte in Funktionenräumen. Wir wollen an einigen Beispielen zeigen, dass es nützlich sein kann, Skalarprodukte auch in ganz allgemeinen (reellen)
MehrStaatsexamen Herbst 2017 Differential- und Integralrechnung, Thema I
Staatsexamen Herbst 17 Differential- und Integralrechnung, Thema I 1. a) Die Aussage ist wahr! Sei s R der Reihenwert der Reihe k=1 Da a n = s n s n 1 für n, ist also b) Die Aussage ist falsch! a k, also
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Höhere Mathematik für Ingenieure 2 Prof. Dr. Swanhild Bernstein Sommersemester 218 Institut für Angewandte Analysis Kurven- und Parameterintegrale Parameterintegrale Typische Beispiele für Parameterintegrale
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2016/17. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 016/17 7. Fourier-Methoden 7.1. Periodische Funktionen In der Physik und in der Technik spielen periodische Funktionen eine
Mehr