Approximation von Funktionen

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1 von Funktionen Fakultät Grundlagen Februar 6 Fakultät Grundlagen von Funktionen

2 Übersicht Problemstellung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktionen 3 Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

3 Ausgangsproblem Problemstellung Ein wichtiges Problem der Mathematik ist, eine Funktion durch eine einfachere Näherungsfunktion zu approximieren. Dabei sind folgende Überlegungen anzustellen: Auswahl einer Grundmenge von Näherungsfunktionen. Gebräuchlich sind folgende Funktionenklassen: Polynome Splines 3 für periodische Vorgänge 4 Exponentialfunktionen Festlegung eines messbaren Kriteriums für die Auswahl der am besten geeigneten Funktion aus der vorgegebenen Grundmenge. Übereinstimmung der Ableitungen Minimierung des Abweichungsquadrats Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 3

4 Taylorpolynom Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione Es sei f (x) eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Gesucht: Polynom T n (x) der Ordnung n, so dass an der Stelle x die Ableitungen der Funktion f (x) und des Polynoms T n (x) übereinstimmen. f (x) = T n (x) = a + a (x x ) + a (x x ) a n (x x ) n mit f (k) (x ) = T n (k) (x ) ; k =,,..., k Die Koeffizienten a k lassen sich elementar bestimmen. Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 4

5 Koeffizienten des Taylorpolynoms Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione T n (n) (x)= n (n ) (n )... a n. T n (x) = a + 3 a 3 (x x ) n(n )a n (x x ) n T n(x) = a + a (x x ) + 3a 3 (x x )... + na n (x x ) n f (x) T n (x) = a + a (x x ) + a (x x ) a n (x x ) n f (x ) = T n (x )= a a = f (x ) f (x ) = T n(x )= a a = f (x ) f (x ) = T n (x )= a a = f (x ). f (n) (x ) =T n (n). (x )= n!a n a n = f (n) (x ) n! Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 5

6 Taylorentwicklung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione Mittels partieller Integration kann man den folgenden Zusammenhang zeigen: f (x) = f (x )+ f (x )! (x x )+ f (x )! (x x ) f (n) (x ) n! (x x ) n +R n(x,x) mit R n(x,x) = f (n+) (t) (n+)! (x x ) n+ ; t [x,x] Gilt R n(x,x) Funktion f (x) : für n, dann entsteht die Taylorreihe der f (x) = f (x ) + f (x )! (x x ) + f (x )! (x x ) +... = + f (n) (x ) n! (x x ) n +... k= f (k) (x ) k! (x x ) k Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 6

7 Taylorentwicklung; Beispiele Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione f (x) = e x, x = ; f (k) (x) = e x, f (k) () = e = : = e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +... = f (x) = cos x, x = ; k= x k k! f (x) = sin x f () = f (x) = cos x f () = f (x) = sin x f () = f (4) (x) = cos x f (4) () = = cos x = x! + x4 4! x6 6! + x8 8! +... = k= ( ) k xk (k)! analog: sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! +... = k= ( ) k xk+ (k+)! Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 7

8 Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione von f (x) = cos x mit Taylorpolynomen cos x = ( ) n x n (n)! = x! + x 4 4! x 6 6! + x 8 8! x! + x! ±... n= y T 4 (x) T 8 (x) cos x T (x) T (x) x T (x) T (x) T 46 8 (x) = x! + x 4 4! x 6 6! + x 8 8! x! + x! T 6 (x) Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 8

9 Komplexe e-funktion Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! + x7 7! + x8 8! + x9 9! +... cos x = x! + x4 4! x6 6! + x8 8!... sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! +... x = j ϕ = e jϕ = +(jϕ)+ (jϕ)! + (jϕ)3 3! + (jϕ)4 4! + (jϕ)5 5! + (jϕ)6 6! + (jϕ)7 7! + (jϕ)8 8! + (jϕ)9 9! +... = +jϕ (ϕ) j (ϕ)3 + (ϕ)4 +j (ϕ)5 (ϕ)6 j (ϕ)7 + (ϕ)8 +j (ϕ)9 +...! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! } { = { (ϕ)! + (ϕ)4 4! (ϕ)6 6! + (ϕ)8 8! +... = cos ϕ + j sin ϕ + j ϕ (ϕ)3 3! + (ϕ)5 5! (ϕ)7 7! + (ϕ)9 9! +... } Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 9

10 Beispiel: Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktione sin(x )dx mittels Potenzreihe von sin(x ) sinu = u u3 3! + u5 5! u7 un ( )n (n + )! sin(x ) = x x 6 3! + x 5! x 4 4n x ( )n 7! (n + )! sin(x )dx = x 3 3 x 7 7 3! + x 5! x 5 5 7! ( ) n x 4n+3 (4n + 3) (n + )! = 3 7 3! + 5! 5 7! ( ) n (4n + 3) (n + )! 3 7 3! + R ; R < }{{ 5!.3 5 } 5 7! = Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

11 H n (x) = α + n α k cos kx + β k sin kx k= einer in < x π definierten Funktion f (x) : D(α, α, β,..., α n, β n ) = a k = π b k = π π π π H n (x) f (x) dx minimal für f (x) cos kx dx; k =,,... f (x) sin kx dx; k =,... Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

12 Satz von Fourier Jede in < x π definierte stückweise stetige Funktion f (x) von praktischer Bedeutung lässt sich mit den Koeffizienten a k, b k als konvergente trigonometrische Reihe darstellen: f (x) = a + (a k cos kx + b k sin kx) k= Die konvergiert für jedes x mit < x π gegen a) f (x ) an jeder Stetigkeitsstelle b) [f (x +) + f (x )] an jeder Sprungstelle x wobei f (x +) = lim x x f (x), f (x ) = lim x x f (x) Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

13 Spektraldarstlluung Darstellung einer harmonischen Funktion mit Amplitude und Phasenwinkel a k cos kx + b k sin kx = A k cos(kx + ϕ k ) = A k sin(kx + ϕ k ) mit A k = ak + a k b k cos und tan ϕ k = b k a, k tan ϕ k = a k b k bzw. ϕ k = ϕ k + π Kosinusreihe: Sinusreihe: f (x) = a + k= b k ϕ k sin ϕ k A k A k cos(kx + ϕ k ) = a + A k sin(kx + ϕ k ) k= Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 3

14 Spektrum Trägt man die Amplituden A k bzw. die Phasenwinkel ϕ k ( ϕ k ) über den Frequenzen k ω bzw. über dem Frequenzparameter k auf, so erhält man das Amplitudenspektrum bzw. das Phasenspektrum der Schwingung. Beides sind diskrete Linienspektren. Das Amplitudenspektrum liefert eine Aussage über die Anteile der Grundschwingung und der einzelnen Oberschwingungen von f. Der Summand a stellt den Gleichanteil dar. Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 4

15 Beispiel, Teil f (t) = { π für t < π für π t < π mit f (t + π) = f (t). π a k = π π cos kt dt = π b k = π π sin kt dt π = a = π π dt = π sin kt k π cos kt k π = = sin k π k cos k π k y π π = k { ( ) l für k = l für k = l für k = 4l 3 = k für k = 4l für k = 4l für k = 4l l =,,... f (t) = π 4 + cos t cos 3t 3 + cos 5t 5 cos 7t 7 + cos 9t sin t + sin t + sin 3t 3 + sin 5t 5 + sin 6t 3 + sin 7t 7 x +... Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 5

16 Beispiel, Teil f (t) = π 4 + cos t cos 3t 3 + cos 5t 5 cos 7t 7 + cos 9t sin t + sin t + sin 3t 3 + sin 5t 5 + sin 6t 3 + sin 7t = π 4 + cos ( t π ) ( ) 4 + cos t π + 3 cos ( 3t 3π ) cos ( 5t π ) cos ( 6t π ) + 7 cos ( 7t 3π ) Spektrum k π k Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 6

17 Gibbsches Phänomen a + n a k cos kx + b k sin kx k= n=5 n=8 n= n= n= Überschwingen um ca. 9% an den Sprungstellen Konvergenz der H n (x) gegen [f (x +) + f (x )] t π Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 7

18 einer stetigen Funktion k= k=3 k=5 k=7 k=9 x π für x < π f (x) = x für π x < π π x + π für x < π x π f (x) = π 4 (sin x 9 sin 3x + 5 sin 5x 49 sin 7x + 8 ) sin 9x... f (x), f (x),... f (m) (x) stetig = a k, b k = O ( ) k m+ Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 8

19 Komplexe { ( f (x) = a + cos kx = e jkx + e jkx ) } (a k cos kx + b k sin kx) mittels k= sin kx = j ( e jkx e jkx ) = a + ( a k e jkx + e jkx ) + ( jb k e jkx e jkx ) k= k= = a + (a k jb k ) k= }{{} ejkx + (a k + jb k ) e jkx k= }{{} = c k = ck = c k = c k e jkx k= c = a c k = (a k jb k ); c k = c k = (a k + jb k ); k =,,... a k = Re{c k } = c k + c k ; k =,,... b k = Im{c k } = j(c k c k ) ; k =,... c k = (a k jb k ) = π π f (x) cos kx dx j π f (x) sin kx dx π π π = π f (x) [cos kx j sin kx] dx = π f (x) e jkx dx ; k =, ±, ±,... Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 9

20 Beispiel: f (x) = e x für < x π mit f (x + π) = f (x) { c k = π π e x e jkx dx = π { = π e ( jk)x + jk e( jk)x jk = π { e e jkπ + jk e e jkπ + jk = π e ( ) k + k } π e x e jkx dx + e x e jkx dx } { } π = e ( +jk)π π + jk e( jk)π jk } wegen e jkπ = e jkπ = ( ) k f (x) s 5 (x) f (x) = π e ( ) k +k e jkx = e π + π k= x e ( ) k +k cos(kx) Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

21 Abtastung f (t) ; t IR periodische Funktion (zeitkontinuierlich) Abtastung {f (kt )} ; k =, ±, ±,... Zahlenfolge (zeitdiskret) π t Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

22 Trigonometrisches Interpolationspolynom Trig. Interpolationspolynom vom Grad n durch n Stützstellen: H n (x) = a n + (a k cos kx + b k sin kx) + a n cos nx k= a k = n n f (x i ) cos kx i ; k =,,,..., n i= b k = n n f (x i ) sin kx i ; k =,, 3,..., n i= x i = i πn Merkhilfe: π π f (t) cos kt dt = n n f (x i ) cos kx i i= analog b k Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie:

23 Komplexe Formulierung H n (x) = n c k e jkx k= c k = n n f (x i )e jkx i = a k jb k ; k =,, 3,..., n i= c n = n n f (x i )e jnx i i= = a n ; c = n n i= x i f (x i ) = a ; Die direkte Berechnung der Koeffizienten c k ist etwas mühsam. Die auszuwertenden Summanden f (x i )e jkx i treten bei verschiedenen Werten von k mehrfach auf. Der FFT-Algorithmus nutzt diese Tatsache geschickt aus. Dies führt zu einer entscheidenden Reduktion der Rechenzeit. = i π n Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 3

24 Beispiel, Teil f (x) = { π für x < π für π x < π mit f (x + π) = f (x) Interpolationspolynom H 6 (x) der Ordnung 6, d. h. Abtastung an 3 Punkten mit: x i = 6 π i ; i =,,,..., 3 c = 3 3 f (x i ) = π 7 3 = π 4 ; c 6 = 3 3 f (x i )e jπi = π 7 3 e jπi = i= i= i= i= c k = 6 3 f (x i )e j 6 π k i = π 7 6 e j 6 π k i = 6 π e j 6 π k 8 e j 6 π k ; k =,..., 5 i= i= Amplitudenspektrum: ( A k = 6 π e j π k) ( e j π k) ( π ) ( e j 6 π k) ( e j 6 π k) = 6 π cos ( k π ) cos 6 k = 6 π ( π ) sin ( 4 k π ) sin 3 k Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 4

25 Beispiel, Teil π π t Amplitude Phase Fakultät Grundlagen von Funktionen Folie: 5