Höhere Mathematik I/II

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1 Markus Stroppel Höhere Mathematik I/II Z. Zusätze. Z.. Skalarprodukte in Funktionenräumen. Wir wollen an einigen Beispielen zeigen, dass es nützlich sein kann, Skalarprodukte auch in ganz allgemeinen (reellen) Vektorräumen zu betrachten. Wir betrachten Funktionenräume: Also Vektorräume, deren Elemente Funktionen sind. Z.. Werkzeugkasten: einige Integrale. Skalarprodukte auf Funktionenräumen werden oft durch Integrale definiert. Wir werden die folgenden Ergebnisse (für n, k N 0 ) benutzen:.. [ x x n n+ dx n+ ] cos(n x) cos(k x) dx n+ () n+ n+ falls nk0, π falls nk 0, { n+ falls n gerade, cos(n x) sin(k x) dx0. { π falls nk 0, sin(n x) sin(k x) dx Die Integrale über die Winkelfunktionen erhält man durch partielle Integration [später...] Z.. Definition. Auf dem VektorraumC 0 ([, ]) aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [, ] setzen wir fest: f g : f (t) g(t) dt. Z..3 Lemma. Die eben getroffene Verabredung legt ein Skalarprodukt aufc 0 ([, ]) fest, d. h. für alle f, g, h C 0 ([, ]) und alle s R gilt:. f g g f. f f 0 und f f0 f 0 [ Integral über eine stetige, nie negative Funktion ] 3. f g+h f g+ f h [ Rechenregeln für Integrale ] 4. s f g s f g f s g [ ] Mit Hilfe dieses Skalarprodukts setzen wir f : f f und nennen dies die Norm von f. Januar 006 c M. Stroppel

2 Z..4 Bemerkungen. Skalarprodukte wie das jetzt eingeführte benutzt man, um Abstände zwischen Funktionen zu definieren das wird z. B. wichtig, wenn man Funktionen durch Polynome approximieren (annähern) will. Der Abstand zwischen f und g wird definiert als f g : Auf den ersten Blick sieht es so aus, als wäre dieser Abstand gerade die Fläche zwischen den Funktionsgraphen. Bei Funktionen mit konstantem Abstand stimmt das bis auf einen Faktor (die Wurzel aus der Länge des Intervalls, über das wir integrieren). Im Allgemeinen liegen die Verhältnisse komplizierter. Indem wir die Polynome auf das Intervall [, ] einschränken, können wir die Vektorräume Pol n R und PolR der reellen Polynome (vom Grad höchstens n bzw. ohne Beschränkung an den Grad) als Untervektorräume vonc 0 ([, ]) auffassen. Natürlich hängt das jetzt eingeführte Skalarprodukt auf Pol R ab vom gewählten Integrationsintervall (hier [, ]). Man kann diese Abhängigkeit so interpretieren: Wir interessieren uns derzeit nur für das Verhalten der Funktionen für Argumente zwischen und. Wenn unsere Interessen sich ändern, ändern wir halt auch das Skalarprodukt... Z..5 Beispiele. Für f (X)X, g(x)x+ und h(x) X 4 X 3 7 X + 7 X gilt:. f g f (t) g(t) dt t (t+) dt [ t 4 + ] t3 + ( ) f 3. g also g 4. g h f (t) f (t) dt g(t) g(t) dt 8. 3 t 4 dt [ t 5 5 ] (t+) dt t 5 9 t t dt0. 5, also f 5. t + t+ dt [ t t + t ] Mit anderen Worten: Die Polynome g und h stehen aufeinander senkrecht , c M. Stroppel Januar 005

3 Z..6 Schmidtsche Orthonormierung für Polynome. Wir wollen das (auf das Intervall [, ] bezogene) Skalarprodukt benutzen, um eine Orthonormalbasis für den Raum Pol R zu erzeugen. Wir starten mit der Monombasis b (X) : X 0, b (X) : X, b 3 (X) : X,..., b j (X) : X j,... und wenden das Schmidtsche Verfahren an: Normiere b : b dt, also f (X) :. f : b b f f, dazu b f t dt0, damit f b und f t dt, also f 3 (X) : k Die allgemeine Formel f k+ : b k+ bk+ f j f j liefert für k: f 3 (X)b 3(X) b 3 f f (X) b 3 f f (X), mit b 3 f t dt und b 3 3 f 3 dt0, damit f 3 (X)X und 3 f 3 (t 3 ) dt t4 3 t + dt 8, 9 45 j t3 also f 3 (X) : 3 3 X. ( ) 5 X 3. Weiter in dieser Art zu rechnen, ist mühsam (und führt auch nie zu einem Ende). Zum Glück gibt es auch andere Beschreibungen des Ergebnisses: Z..7 Bemerkung. Durch die Rekursionsformel P n+ (X) : ( ( n+) X Pn (X) n P n (X) ) n+ werden ausgehend von P 0 (X) : und P (X) : X die sogenannten Legendre-Polynome definiert. Bis auf Normierung sind diese Legendre-Polynome diejenigen, die uns das Schmidtsche Verfahren aus der Monombasis erzeugt. Die Legendre-Polynome sind auch in der Theorie der Differentialgleichungen wichtig. Jetzt wollen wir periodische Funktionen betrachten: Z..8 Definition. Auf dem Vektorraum aller stetigen periodischen Funktionen auf dem Intervall [,π] erhält man ein Skalarprodukt durch f g : f (t) g(t) dt. Z..9 Definitionen. Für j N setzen wir die Funktionen c j und s j fest durch c j (t) : π cos( j t) bzw. s j (t) : π sin( j t). Außerdem setzen wir c 0 (t) :. Januar 006 c M. Stroppel 3

4 Nach den Ergebnissen aus Z.. wissen wir: Z..0 Beispiele.. c falls jk j ck δ jk :. c j sk s j sk δ jk. Mit anderen Worten: Die (nicht abbrechende) Folge c 0, c, s, c, s, c 3, s 3,..., c j, s j,... bildet ein Orthonormalsystem im Raum der stetigen periodischen Funktionen. Man kann dieses Orthonormalsystem benutzen, um herauszufinden, wie sich eine gegebene periodische Funktion in die Grundfrequenz und deren Vielfache zerlegt: Z.. Satz. Für f (t) N j a j c j (t)+ N j b j s j (t) gilt a k c k f und b k s k f. Mit anderen Worten: Man erhält den Koeffizienten, mit dem die Funktion c k in die Linearkombination f eingeht, als Skalarprodukt von c k mit der Funktion f. Beweis. Wir berechnen c k f, für s k f geht das analog: N N c k f c k a j c j + b j s j j j N ck N a j c j + ck b j s j j j N a j ck N c j + b j ck s j ak. j j Sie erinnern sich x f (x)sin(x)+sin( x) π sin(x) + sin( x) π, also f π s + π s. π π 4 c M. Stroppel Januar 005

5 Z.. Beispiel. Um herauszufinden, wie stark die Grundschwingung und deren Oktav in der oben gezeigten periodischen Funktion f enthalten sind, berechnen wir sowie s f s f s (t) f (t) dt π sin(t) ( sin(t)+sin( t) ) dt π sin(t) + sin(t) sin( t) dt π (π+0) π, s (t) f (t) dt π sin( t) ( sin(t)+sin( t) ) dt π (0+π) π. Natürlich kannten wir in diesem Beispiel das Ergebnis schon im Voraus. Interessanter wird das Verfahren im folgenden Beispiel: Z..3 Beispiel. Es sei b :R Rdie -periodische Funktion, die für x πdurch b(x)π x gegeben ist: Wir rechnen: s b c 0 b c b c b c 3 b. c n b π sin(t) (π t ) dt0 s n b cos(0 t) (π t ) dt π π cos( t) (π t ) dt 4 π π cos( t) (π t ) dt0 cos(3 t) (π t ) dt 4 π 9 π π cos(n t) (π t ) dt [ da sn ungerade ]. π falls n0, 4 n falls n ungerade, π Januar 006 c M. Stroppel 5

6 Die Linearkombinationen b N : N j0 c j b c j nähern für großes N immer besser an b an. Schon b 3 liefert mit b 3 (x) π eine ganz gute Näherung für b: + 4 π cos(x) + 4 x) π 9 π cos(3 π Noch besser ist b 5 : und b 5 ist kaum mehr von b zu unterscheiden: (Die Grafiken wurden erstellt mit Hilfe von MAPLE TM.) 6 c M. Stroppel Januar 005