Orthogonale Waveletbasen

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1 Orthogonale Waveletbasen Johannes Stemick Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

2 Übersicht 1 Multiskalenanalyse und Skalierungsfunktion Haar-Basis Multiskalenanalyse Konstruktion einer Skalierungsfunktion 2 Orthogonale Waveletbasen Zwei-Skalen-Relation Conjugate Mirror Filter Orthogonale Wavelets Zusammenfassung 3 Daubechies Konstruktion Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

4 x Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

7 x 0.4 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

9 Die Haar-Wavelet-Basis Idee: Verschieben und Skalieren der charakteristischen Funktion. Skalierungsfunktion φ(t) = χ [0,1) (t) = { 1 0 t < 1 0 sonst Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

10 Die Haar-Wavelet-Basis Idee: Verschieben und Skalieren der charakteristischen Funktion. Skalierungsfunktion φ(t) = χ [0,1) (t) = { 1 0 t < 1 0 sonst Translation und Skalierung { φ j,k (t) = 1 1 k2 j t < (k + 1)2 j 2 j φ(2 j t k) = 2 j 0 sonst Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

11 x x x Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

12 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

13 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

14 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

15 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: V j V j 1 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

16 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: V j V j 1 {φ j,k } k Z ist eine Orthonormalbasis von V j Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

17 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: V j V j 1 {φ j,k } k Z ist eine Orthonormalbasis von V j {φ j,k } (j,k) Z 2 liegt dicht in L 2 (R) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

18 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: V j V j 1 {φ j,k } k Z ist eine Orthonormalbasis von V j {φ j,k } (j,k) Z 2 liegt dicht in L 2 (R) P Vj f = k Z f, φ j,k φ j,k Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

19 Die Haar-Wavelet-Basis Wir beobachten χ [0,1) ( x 2 ) = χ[0,1) (x) + χ [0,1) (x 1). Nicht normiert! Normierung mit 1 2 : 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) := h[0]φ(x) + h[1]φ(x 1). 2 2 Definiere V j := span({φ j,k } k Z ). Es gilt: V j V j 1 {φ j,k } k Z ist eine Orthonormalbasis von V j {φ j,k } (j,k) Z 2 liegt dicht in L 2 (R) P Vj f = k Z f, φ j,k φ j,k φ j,k = 1 (j, k) Z 2 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

20 Die Haar-Wavelet-Basis Mit dem orthogonalen Komplement W j von V j in V j 1 gilt: V j 1 = V j W j. P Vj 1 f = P Vj f + P Wj f. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

21 Die Haar-Wavelet-Basis Mit dem orthogonalen Komplement W j von V j in V j 1 gilt: V j 1 = V j W j. P Vj 1 f = P Vj f + P Wj f. Mehrmaliges Durchführen: Ein P V und viele P W! Interpretation: Eine grobe Approximation und viele Details. P Vj P Vj+1 P Vj+2 P Vj+3 P Wj+1 P Wj+2 P Wj+3 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

22 Die Haar-Wavelet-Basis Basis für W j : Mother Wavelet 1 0 t < 1 2 ψ(t) := t < 1 0 sonst, Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

23 Die Haar-Wavelet-Basis Basis für W j : Mother Wavelet Translation und Skalierung 1 0 t < 1 2 ψ(t) := t < 1 0 sonst, ψ k,j (t) = 1 1 k2 j t < (k j 2 )2j 2 j ψ(2 j t k) = 1 (k j 2 )2j t < (k + 1)2 j 0 sonst. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

24 Multiskalenanalyse Definition: Multiskalenanalyse(MRA) Eine Menge {V j } j Z abgeschlossener Teilräume von L 2 (R) heißt Multiskalenanalyse (multiresolution analysis, kurz MRA), falls gilt: (j, k) Z 2 : f V j f ( 2 j k) V j, (1) j Z : V j+1 V j, (2) j Z : f V j f ( 2 ) V j+1, (3) lim V j = V j = {0}, (4) j + j Z lim V j = V j = L 2 (R), (5) j j Z θ L 2 (R): {θ( n)} n Z ist eine Riesz-Basis von V 0. (6) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

25 Multiskalenanalyse Lemma 1: Riesz-Bedingung für θ Eine Familie {θ( n)} n Z ist eine Riesz-Basis des von ihr erzeugten Raumes V 0 genau dann, wenn es A, B > 0 gibt, so dass gilt. ω [ π, π] : 1 B + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 1 A : Per Widerspruch. Konstruktion einer passenden Funktion, die die Bedingung verletzt. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

26 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

27 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). ˆf (ω) = â(ω)ˆθ(ω) mit â(ω) = k Z a[k]e ikω. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

28 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). ˆf (ω) = â(ω)ˆθ(ω) mit â(ω) = k Z a[k]e ikω. f 2 = 1 2π ˆf 2 = 1 ˆf (ω) 2 dω = 1 2π R 2π + â(ω) 2 ˆθ(ω) 2 dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

29 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). ˆf (ω) = â(ω)ˆθ(ω) mit â(ω) = k Z a[k]e ikω. f 2 = 1 2π ˆf 2 = 1 2π = 1 2π R 2π 0 ˆf (ω) 2 dω = 1 2π + k= + â(ω) 2 ˆθ(ω) 2 dω â(ω + 2kπ) 2 ˆθ(ω + 2kπ) 2 dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

30 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). ˆf (ω) = â(ω)ˆθ(ω) mit â(ω) = k Z a[k]e ikω. f 2 = 1 2π ˆf 2 = 1 2π = 1 2π R 2π 0 = 1 2π 2π 0 ˆf (ω) 2 dω = 1 2π + k= â(ω) 2 + â(ω) 2 ˆθ(ω) 2 dω â(ω + 2kπ) 2 ˆθ(ω + 2kπ) 2 dω + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

31 Beweis : f V 0 f (t) = + n= a[n]θ(t n) := (a θ)(t). ˆf (ω) = â(ω)ˆθ(ω) mit â(ω) = k Z a[k]e ikω. f 2 = 1 2π ˆf 2 = 1 2π = 1 2π R 2π 0 = 1 2π 2π 0 ˆf (ω) 2 dω = 1 2π + k= â(ω) 2 + â(ω) 2 ˆθ(ω) 2 dω â(ω + 2kπ) 2 ˆθ(ω + 2kπ) 2 dω + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 dω Einsetzen liefert die Behauptung. Linear unabhängig: klar. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

32 Beispiel: B-Splines B-Spline der Ordnung m: ( θ(t) = ( m+1 χ [0,1] ) + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 = + k= 1 + t + m ). sin( ω 2 + kπ) 2(m+1) ω 2 + kπ 2(m+1) 1 kπ 2m+2 := 1 B, k Z {0} da die letzte Summe sicherlich konvergiert. Nach unten gilt nun + k= sin( ω 2 + kπ) 2(m+1) ω 2 + kπ 2(m+1) sin( ω 2 ) ω 2 2m+2 min ω [ π 2, π 2 ] sin(ω) ω 2m+2 ( ) 2 π Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

33 Eigenschaftsübertragung von V 0 auf V j Lemma 2: Übertragung der Riesz-Eigenschaft Ist eine Menge {φ( n)} n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V 0, so ist die Menge { 1 φ( n)} 2 j 2 j n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V j mit den gleichen Riesz-Konstanten A, B. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

34 Eigenschaftsübertragung von V 0 auf V j Lemma 2: Übertragung der Riesz-Eigenschaft Ist eine Menge {φ( n)} n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V 0, so ist die Menge { 1 φ( n)} 2 j 2 j n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V j mit den gleichen Riesz-Konstanten A, B. Beweis: Es gilt für f V j : f (2 j ) = a[n]φ( n) V 0 n Z f = a[n]φ(2 j n) = 1 ã[n] n Z n Z 2 j φ(2 j n) V j Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

35 Eigenschaftsübertragung von V 0 auf V j Lemma 2: Übertragung der Riesz-Eigenschaft Ist eine Menge {φ( n)} n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V 0, so ist die Menge { 1 φ( n)} 2 j 2 j n Z eine Riesz-Basis des Teilraumes V j mit den gleichen Riesz-Konstanten A, B. Beweis: Es gilt für f V j : f (2 j ) = n Z a[n]φ( n) V 0 f = a[n]φ(2 j n) = 1 ã[n] n Z n Z 2 j φ(2 j n) V j f (2 j ) 2 = f (2 j t) 2 dt = 2 j f (u) 2 du = 2 j f 2. R R Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

36 Beweis f (2 j ) 2 = R A f 2 f (2 j t) 2 dt = 2 j + n= 2 j A f 2 2 j A f (2 j ) 2 2 j A f (2 j ) 2 R ã[n] 2 B f 2. + n= + n= + n= f (u) 2 du = 2 j f 2. ã[n] 2 2 j B f 2 2 j a[n] 2 B f (2 j ) 2 a[n] 2 B f (2 j ) 2, Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

37 Beweis f (2 j ) 2 = R A f 2 f (2 j t) 2 dt = 2 j + n= 2 j A f 2 2 j A f (2 j ) 2 2 j A f (2 j ) 2 R ã[n] 2 B f 2. + n= + n= + n= f V 0 f ( 2 j ) V j Behauptung. f (u) 2 du = 2 j f 2. ã[n] 2 2 j B f 2 2 j a[n] 2 B f (2 j ) 2 a[n] 2 B f (2 j ) 2, Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

38 Konstruktion einer Skalierungsfunktion Wir wollen P Vj f berechnen. Einfach, falls Orthonormalbasis {φ n } n Z gegeben: P Vj f = + n= f, φ n φ n. Wann bildet Menge {θ( n)} n Z ein Orthonormalsystem? Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

39 Konstruktion einer Skalierungsfunktion Wir wollen P Vj f berechnen. Einfach, falls Orthonormalbasis {φ n } n Z gegeben: P Vj f = + n= f, φ n φ n. Wann bildet Menge {θ( n)} n Z ein Orthonormalsystem? Lemma 3: Orthonormalitätskriterium Sei φ L 2 (R) so, dass {φ( n)} n Z eine Riesz-Basis der Menge V 0 darstellt. Dann gilt: φ, φ( n) = δ 0n ω R : k Z ˆφ(ω + 2πk) 2 = 1. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

40 Beweis Beweis: : Es gilt φ, φ( n) = R = 1 2π φ(t)φ(t n)dt = 1 2π ˆφ(ω) 2 e iωn dω R R ˆφ(ω) ˆφ(ω)e iωn dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

41 Beweis Beweis: : Es gilt φ, φ( n) = R = 1 2π = 1 2π φ(t)φ(t n)dt = 1 2π ˆφ(ω) 2 e iωn dω R 2π 0 ˆφ(ω + 2kπ) 2 e iωn dω k Z R ˆφ(ω) ˆφ(ω)e iωn dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

42 Beweis Beweis: : Es gilt φ, φ( n) = R = 1 2π = 1 2π φ(t)φ(t n)dt = 1 2π ˆφ(ω) 2 e iωn dω R 2π 0 ˆφ(ω + 2kπ) 2 e iωn dω k Z = 1 2π e iωn dω = 2π 0 R { 1 n = 0 0 sonst ˆφ(ω) ˆφ(ω)e iωn dω Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

43 Beweis Beweis: : Es gilt φ, φ( n) = R = 1 2π = 1 2π φ(t)φ(t n)dt = 1 2π ˆφ(ω) 2 e iωn dω R 2π 0 ˆφ(ω + 2kπ) 2 e iωn dω k Z = 1 2π e iωn dω = 2π 0 R { 1 n = 0 0 sonst ˆφ(ω) ˆφ(ω)e iωn dω : Die φ( n) bilden eine Orthonormalbasis, insbesondere eine Rieszbasis mit A = B = 1 (Lemma 1) Behauptung. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

44 Konstruktion einer Skalierungsfunktion Haar-Basis Wir wissen, dass φ, φ( n) = δ 0n gilt. Damit gewinnen wir automatisch, dass die Fourier-Transformation der charakteristischen Funktion ˆφ(ω + 2πk) 2 = 1 k Z für jedes ω R (insbesondere ω = 0) erfüllt. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

45 Konstruktion einer Skalierungsfunktion Satz 1 Sei {V j } j Z eine durch θ erzeugte MRA und sei φ L 2 (R) die so genannte Skalierungsfunktion, deren Fourier-Transformation durch ˆφ(ω) = ˆθ(ω) + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 gegeben ist. Definiere φ j,n (t) := 1 ( ) t φ 2 j 2 j n. Dann ist {φ j,n } n Z eine Orthonormalbasis von V j j Z. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

46 Konstruktion einer Skalierungsfunktion Satz 1 Sei {V j } j Z eine durch θ erzeugte MRA und sei φ L 2 (R) die so genannte Skalierungsfunktion, deren Fourier-Transformation durch ˆφ(ω) = ˆθ(ω) + k= ˆθ(ω + 2kπ) 2 gegeben ist. Definiere φ j,n (t) := 1 ( ) t φ 2 j 2 j n. Dann ist {φ j,n } n Z eine Orthonormalbasis von V j j Z. Beweis: Literatur. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

48 Zwei-Skalen-Relation Erinnerung: MRA als Kette... V 1 V 0 V 1... V 1 V φ( 2 ) V 0 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

49 Zwei-Skalen-Relation Erinnerung: MRA als Kette... V 1 V 0 V 1... V 1 V φ( 2 ) V 0 Zwei-Skalen-Relation 1 ( ) φ = n= h[n]φ( n) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

50 Zwei-Skalen-Relation Erinnerung: MRA als Kette... V 1 V 0 V 1... V 1 V φ( 2 ) V 0 Zwei-Skalen-Relation Vergleiche Haar-Basis: 1 ( ) φ = n= h[n]φ( n) 1 ( x ) φ = 1 χ 2 2 [0,1) (x) + 1 χ [0,1) (x 1) x R. 2 2 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

51 Zwei-Skalen-Relation Es gilt: 1 ( ) 2 φ = R φ ( t 2 ) 2 dt t= t 2 = R φ(t) 2 dt = φ 2. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

52 Zwei-Skalen-Relation Es gilt: 1 ( ) 2 φ = h[n] ist definiert durch R φ ( t 2 h[n] := 1 2 φ ) 2 dt t= t 2 = ( 2 Erinnerung Haar: h[0] = h[1] = 1 2, 0 sonst. R ), φ( n). φ(t) 2 dt = φ 2. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

53 Zwei-Skalen-Relation Betrachtung im Frequenzbereich: ˆφ(2ω) = 1 2 ĥ(ω) ˆφ(ω) mit ĥ(ω) = k Z h[k]e ikω. Rekursives Einsetzen: ˆφ(ω) = P k=1 ĥ(2 k ω) 2 ˆφ(2 P ω) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

54 Zwei-Skalen-Relation Falls ˆφ stetig in 0: ˆφ(ω) = + k=1 ĥ(2 k ω) 2 ˆφ(0). Erlaubt es, φ nurnoch durch h zu beschreiben und zu erzeugen (bis auf einen Startwert )! Frage: Welche Eigenschaften muss h erfüllen, damit dieses Produkt wieder eine Skalierungsfunktion erzeugt? Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

55 Conjugate Mirror Filter Satz 2 (Conjugate Mirror Filter) a)sei φ L 2 (R) eine integrierbare Skalierungsfunktion mit Filter h. Dann gilt: (i) ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2, (7) (ii) ĥ(0) = 2. (8) b)erfüllt ĥ(ω) a) und ist zusätzlich 2π-periodisch, stetig differenzierbar in einer Umgebung von ω = 0 und erfüllt inf ĥ(ω) > 0, (9) ω [ π 2, π ] 2 so ist eine Skalierungsfunktion φ L 2 (R) im Frequenzbereich definiert durch ˆφ(ω) + ĥ(2 p ω) =. (10) 2 p=1 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

56 Beweis Beweis von a) (i): Sei ω R und {φ( n)} n Z eine Orthonormalbasis von V 0. 1 = k Z ˆφ(ω + 2kπ) 2 = k Z Trennen der geraden und ungeraden Terme ergibt ĥ(ω 2 + kπ) 2 ˆφ( ω 2 + kπ) 2 = k Z ĥ(ω 2 + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + k Z 1 2 ĥ(ω 2 + kπ) 2 ˆφ( ω 2 + kπ) 2. ĥ( ω 2 + π + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 = 2. k Z Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

57 Beweis Erinnerung: ĥ ist laut Definition 2π-periodisch: ĥ(ω) = k Z h[k]e ikω. ĥ( ω 2 + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + k Z ĥ( ω 2 + π + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 k Z Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

58 Beweis Erinnerung: ĥ ist laut Definition 2π-periodisch: ĥ(ω) = k Z h[k]e ikω. ĥ( ω 2 + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + k Z ĥ( ω 2 + π + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 k Z = ĥ(ω 2 ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + ĥ(ω 2 + π) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 k Z k Z Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

59 Beweis Erinnerung: ĥ ist laut Definition 2π-periodisch: ĥ(ω) = k Z h[k]e ikω. ĥ( ω 2 + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + k Z ĥ( ω 2 + π + 2kπ) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 k Z = ĥ(ω 2 ) 2 ˆφ( ω 2 + 2kπ) 2 + ĥ(ω 2 + π) 2 ˆφ( ω 2 + π + 2kπ) 2 k Z k Z = ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

60 Diskrete Orthogonalität Die Aussage ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2 entspricht einer diskreten Orthogonalität des Filters h, denn: δ 0n = φ, φ( n) = φ(t)φ(t n)dt R Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

61 Diskrete Orthogonalität Die Aussage ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2 entspricht einer diskreten Orthogonalität des Filters h, denn: δ 0n = φ, φ( n) = φ(t)φ(t n)dt R = 2 h[k] h[l] k Z l Z R φ(2t k)φ(2t 2n l)dt Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

62 Diskrete Orthogonalität Die Aussage ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2 entspricht einer diskreten Orthogonalität des Filters h, denn: δ 0n = φ, φ( n) = φ(t)φ(t n)dt R = 2 h[k] h[l] φ(2t k)φ(2t 2n l)dt k Z l Z R = h[k] h[l] φ(t k)φ(t 2n l)dt k Z l Z R Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

63 Diskrete Orthogonalität Die Aussage ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2 entspricht einer diskreten Orthogonalität des Filters h, denn: δ 0n = φ, φ( n) = φ(t)φ(t n)dt R = 2 h[k] h[l] φ(2t k)φ(2t 2n l)dt k Z l Z R = h[k] h[l] φ(t k)φ(t 2n l)dt k Z l Z R = h[k] k Z l Z h[l]δ k,2n+l Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

64 Diskrete Orthogonalität Die Aussage ω R : ĥ(ω) 2 + ĥ(ω + π) 2 = 2 entspricht einer diskreten Orthogonalität des Filters h, denn: δ 0n = φ, φ( n) = φ(t)φ(t n)dt R = 2 h[k] h[l] φ(2t k)φ(2t 2n l)dt k Z l Z R = h[k] h[l] φ(t k)φ(t 2n l)dt k Z l Z R = h[k] k Z l Z h[l]δ k,2n+l = k Z h[k]h[k + 2n]. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

65 Orthogonale Wavelets Erinnerung Haar-MRA: V 1 = V 0 W 0 und dementsprechend P V 1 f = P V0 f + P W0 f x φ und ψ stehen senkrecht aufeinander, ψ ist sogar ein Wavelet! Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

66 Orthogonale Wavelets Erinnerung Haar-MRA: V 1 = V 0 W 0 und dementsprechend P V 1 f = P V0 f + P W0 f x φ und ψ stehen senkrecht aufeinander, ψ ist sogar ein Wavelet! Frage: Geht dies auch allgemein für MRAs? Antwort: Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

67 Orthogonale Wavelets Erinnerung Haar-MRA: V 1 = V 0 W 0 und dementsprechend P V 1 f = P V0 f + P W0 f x φ und ψ stehen senkrecht aufeinander, ψ ist sogar ein Wavelet! Frage: Geht dies auch allgemein für MRAs? Antwort: Ja! Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

68 Orthogonale Wavelets Satz 3: Mother Wavelet Sei φ L 2 (R) eine Skalierungsfunktion und h der zugehörige Conjugate Mirror Filter. Definiere das Mother Wavelet ˆψ(ω) := 1 ( ) ( ) ω ω ĝ ˆφ mit Definiere ferner ĝ(ω) = e iωˆ h(ω + π). ψ j,n (t) = 1 ( ) t ψ 2 2 j n. Dann ist für jedes j Z {ψ j,n } n Z eine Orthonormalbasis des orthogonalen Komplements von V j in V j 1, also W j. Ausserdem ist die Menge {ψ j,n } (j,n) Z 2 eine Orthonormalbasis des L 2 (R). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

69 Orthogonale Wavelets Entsprechungen im Zeitbereich: 1 2 ψ( t 2 ) = n Z g[n]φ(t n) mit g[n] = 1 2 ψ( 2 ), φ( n) = ( 1)1 n h[1 n]. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

70 Orthogonale Wavelets Entsprechungen im Zeitbereich: 1 2 ψ( t 2 ) = n Z g[n]φ(t n) mit Haar-Wavelet: g[n] = 1 2 ψ( 2 ), φ( n) = ( 1)1 n h[1 n]. 1 2 n = 0 g[n] = 1 2 n = 1 0 sonst. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

71 Orthogonale Wavelets Vor Beweis: Lemma 4 Die Menge {ψ j,n } n Z ist genau dann eine Orthonormalbasis von W j, wenn ω R : ĝ(ω) 2 + ĝ(ω + π) 2 = 2 (11) und ω R : ĝ(ω)ˆ h(ω) + ĝ(ω + π)ˆ h(ω + π) = 0 (12) gelten. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

72 Orthogonale Wavelets Vor Beweis: Lemma 4 Die Menge {ψ j,n } n Z ist genau dann eine Orthonormalbasis von W j, wenn ω R : ĝ(ω) 2 + ĝ(ω + π) 2 = 2 (11) und ω R : ĝ(ω)ˆ h(ω) + ĝ(ω + π)ˆ h(ω + π) = 0 (12) gelten. Beweis: Erster Teil komplett analog zu Satz 2 (i). Zweiter Teil: Ausarbeitung. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

73 Bemerkungen zu Lemma 4 Beide Eigenschaften haben wieder diskrete Filteranaloga: ĝ(ω) 2 + ĝ(ω + π) 2 = 2 k Z g[k]g[k + 2n] = δ 0n. ω R : ĝ(ω)ˆ h(ω) + ĝ(ω + π)ˆ h(ω + π) = 0 k Z g[k]h[k + 2n] = 0. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

74 Beweis zu Satz 3 Beweis zu Satz 3: ĝ(ω) = e iωˆ h(ω + π) erfüllt die Bedingungen in Lemma 4, denn ĝ(ω) 2 + ĝ(ω + π) 2 = ˆ h(ω + π) 2 + ˆ h(ω + 2π) 2 = 2. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

75 Beweis zu Satz 3 Beweis zu Satz 3: ĝ(ω) = e iωˆ h(ω + π) erfüllt die Bedingungen in Lemma 4, denn ĝ(ω) 2 + ĝ(ω + π) 2 = ˆ h(ω + π) 2 + ˆ h(ω + 2π) 2 = 2. und ĝ(ω)ˆ h(ω) + ĝ(ω + π)ˆ h(ω + π) = e iωˆ h(ω + π)ˆ h(ω) + e i(ω+π)ˆ h(ω + 2π)ˆ h(ω + π) = e iωˆ h(ω + π)ˆ h(ω) e iωˆ h(ω)ˆ h(ω + π) = 0 Die Menge {ψ j,k } k Z ist eine Orthonormalbasis von W j. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

76 Beweis zu Satz 3 Noch zu zeigen: Die Menge {ψ j,k } (j,k) Z 2 bildet eine Orthonormalbasis von L 2 (R). Dazu zuerst: W j V j und W l V l 1 V j. Damit gilt W l W j für j l. Wegen V j 1 = V j W j gilt nun insbesondere für L < J: V L = V J J j=l 1 W j Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

77 Beweis zu Satz 3 Noch zu zeigen: Die Menge {ψ j,k } (j,k) Z 2 bildet eine Orthonormalbasis von L 2 (R). Dazu zuerst: W j V j und W l V l 1 V j. Damit gilt W l W j für j l. Wegen V j 1 = V j W j gilt nun insbesondere für L < J: V L = V J J j=l 1 W j Die Menge {ψ j,n } (j,n) Z 2 L 2 (R) = + j= W j. ist eine Orthonormalbasis des L 2 (R). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

78 Basiswechsel Anwendung: Zerlege Signal f in eine grobe Darstellung und viele Details: P Vj P Vj+1 P Vj+2 P Vj+3 P Wj+1 P Wj+2 P Wj+3 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

79 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

80 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

81 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Diese Funktion φ erzeugt dadurch Teilräume V j. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

82 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Diese Funktion φ erzeugt dadurch Teilräume V j. Die Orthogonalen Komplemente werden durch ein einziges Wavelet ψ erzeugt. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

83 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Diese Funktion φ erzeugt dadurch Teilräume V j. Die Orthogonalen Komplemente werden durch ein einziges Wavelet ψ erzeugt. Sowohl φ als auch ψ sind eindeutig durch den Filter h bestimmt. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

84 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Diese Funktion φ erzeugt dadurch Teilräume V j. Die Orthogonalen Komplemente werden durch ein einziges Wavelet ψ erzeugt. Sowohl φ als auch ψ sind eindeutig durch den Filter h bestimmt. 1 2-Skalen-Relation: 2 φ( /2) = k Z h[k]φ( k) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

85 Zusammenfassung Wir können eine Funktion f L 2 (R) zerlegen in eine grobe Darstellung + viele Details. MRAs erlauben es, L 2 (R) durch Verschieben und Skalieren einer einzigen Funktion φ darzustellen. Diese Funktion φ erzeugt dadurch Teilräume V j. Die Orthogonalen Komplemente werden durch ein einziges Wavelet ψ erzeugt. Sowohl φ als auch ψ sind eindeutig durch den Filter h bestimmt. 1 2-Skalen-Relation: 2 φ( /2) = k Z h[k]φ( k) 1 2-Skalen-Relation: 2 ψ( /2) = k Z g[k]φ( k) Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

87 Verschwindende Momente Definition: Verschwindende Momente Man sagt, dass eine Funktion ψ p verschwindende Momente hat, falls t k ψ(t)dt = t k, ψ = 0 für 0 k < p (13) gilt. R Generell: Je mehr verschwindende Momente, desto kleiner sind die Waveletkoeffizienten! Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

88 Verschwindende Momente 2 Satz 4 Seien ψ und φ Wavelet und zugehörige Skalierungsfunktion, die eine Orthonomalbasis des L 2 (R) erzeugen. Es gelte ψ(t) = O((1 + t 2 ) (1+ p 2 ) ) und φ(t) = O((1 + t 2 ) (1+ p 2 ) ). Dann sind die folgenden vier Aussagen äquivalent: (i) Das Wavelet ψ hat p verschwindende Momente. (ii) ˆψ (k) (0) = 0 für 0 k < p. (iii) ĥ (k) (π) = 0 für 0 k < p. (iv) Für 0 k < p gilt q k (t) = n k φ(t n) ist ein Polynom vom Grad k. n Z Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

89 Verschwindende Momente 2 Satz 4 Seien ψ und φ Wavelet und zugehörige Skalierungsfunktion, die eine Orthonomalbasis des L 2 (R) erzeugen. Es gelte ψ(t) = O((1 + t 2 ) (1+ p 2 ) ) und φ(t) = O((1 + t 2 ) (1+ p 2 ) ). Dann sind die folgenden vier Aussagen äquivalent: (i) Das Wavelet ψ hat p verschwindende Momente. (ii) ˆψ (k) (0) = 0 für 0 k < p. (iii) ĥ (k) (π) = 0 für 0 k < p. (iv) Für 0 k < p gilt q k (t) = n k φ(t n) ist ein Polynom vom Grad k. n Z Beweis: Ausarbeitung. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

90 Trägergröße Fehler in Signal f Fehler in Waveletkoeffizienten. Wie erreichen wir eine möglichst kleine Fehlerfortpflanzung? Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

91 Trägergröße Fehler in Signal f Fehler in Waveletkoeffizienten. Wie erreichen wir eine möglichst kleine Fehlerfortpflanzung? Satz 5:Trägergröße Die Skalierungsfunktion φ hat genau dann einen kompakten Träger, wenn h einen kompakten Träger hat und der Träger von h und φ gleich sind. Falls supp(h) = supp(φ) = [N 1, N 2 ] gilt, gilt ausserdem supp(ψ) = [ 1 2 N 2 N 1 2, N 2 N 1 2 ]. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

92 Trägergröße Fehler in Signal f Fehler in Waveletkoeffizienten. Wie erreichen wir eine möglichst kleine Fehlerfortpflanzung? Satz 5:Trägergröße Die Skalierungsfunktion φ hat genau dann einen kompakten Träger, wenn h einen kompakten Träger hat und der Träger von h und φ gleich sind. Falls supp(h) = supp(φ) = [N 1, N 2 ] gilt, gilt ausserdem supp(ψ) = [ 1 2 N 2 N 1 2, N 2 N 1 2 ]. Beweis: Literatur. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

93 Daubechies Konstruktion Wir betrachten im folgenden kausale Filter, d.h. Filter der Form ĥ(ω) = N 1 n=0 h[n]e inω. Verschwindende Momente und Trägergröße sind abhängig! Frage: Was ist der minimale Träger für p verschwindende Momente? Wie konstruiert man Wavelets, die dies erfüllen? Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

94 Daubechies Konstruktion Wir betrachten im folgenden kausale Filter, d.h. Filter der Form ĥ(ω) = N 1 n=0 h[n]e inω. Verschwindende Momente und Trägergröße sind abhängig! Frage: Was ist der minimale Träger für p verschwindende Momente? Wie konstruiert man Wavelets, die dies erfüllen? Satz 6: Daubechies-Filter Ein reeller conjugate mirror filter h, dessen Fourier-Transformierte ĥ p Nullstellen bei ω = π besitzt, hat mindestens 2p von Null verschiedene Koeffizienten. Daubechies-Filter haben genau 2p von Null verschiedene Koeffizienten. Wir skizzieren nur die Konstruktion der Daubechies-Filter. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

95 Daubechies-Filter Satz 4: ψ hat p verschwindende Momente Ordnung p bei ω = π. ĥ hat Nullstelle der Idee: Starte mit ĥ(ω) = ( ) 1 + e iω p 2 R(e iω ). 2 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

96 Daubechies-Filter Satz 4: ψ hat p verschwindende Momente Ordnung p bei ω = π. ĥ hat Nullstelle der Idee: Starte mit ĥ 2 ist gerade Funktion ĥ(ω) = ( ) 1 + e iω p 2 R(e iω ). 2 ( ĥ(ω) 2 = 2 cos ω ) 2p ( P sin 2 ω ). 2 2 Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

97 Daubechies-Filter Satz 4: ψ hat p verschwindende Momente Ordnung p bei ω = π. ĥ hat Nullstelle der Idee: Starte mit ĥ 2 ist gerade Funktion ĥ(ω) = ( ) 1 + e iω p 2 R(e iω ). 2 ( ĥ(ω) 2 = 2 cos ω ) 2p ( P sin 2 ω ). 2 2 Konstruiere nun Polynom R(e iω ) 2 = P ( sin 2 ω 2 ). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

98 Daubechies-Filter Als Polynom in C hat R eine Darstellung R(e iω ) = r 0 m k=0 R(e iω ) 2 = R(e iω )R(e iω ) = P ( 1 ak e iω). ( sin 2 ω ) = P 2 ( 2 e iω e iω 4 ). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

99 Daubechies-Filter Als Polynom in C hat R eine Darstellung R(e iω ) = r 0 m k=0 R(e iω ) 2 = R(e iω )R(e iω ) = P Erweitere auf C: R(z)R(z 1 ) = r 2 0 k=0 ( 1 ak e iω). ( sin 2 ω ) = P 2 ( 2 e iω e iω m ( ) 2 z z (1 a k z)(1 a k z 1 1 ) = P. 4 4 ). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

100 Daubechies-Filter Als Polynom in C hat R eine Darstellung R(e iω ) = r 0 m k=0 R(e iω ) 2 = R(e iω )R(e iω ) = P Erweitere auf C: R(z)R(z 1 ) = r 2 0 k=0 ( 1 ak e iω). ( sin 2 ω ) = P 2 ( 2 e iω e iω m ( ) 2 z z (1 a k z)(1 a k z 1 1 ) = P. 4 Wähle jedes a k aus den Wurzeln von P, {c k, 1/c k, 1/ c k, c k }, und nimm ā k dazu. Satz minimales Polynom R. 4 ). Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

101 Daubechies-Filter Satz 7: Bezug Träger und verschwindende Momente Falls ψ ein Wavelet mit p verschwindenden Momenten ist, das eine Basis des L 2 (R) erzeugt, dann ist die Länge seines Trägers größer oder gleich 2p 1. Die Träger der Daubechies-Wavelets haben den Träger [1 p, p]. Der Träger der zugehörigen Skalierungsfunktion φ ist [0, 2p 1]. Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46

102 Abbildung: Quelle: Johannes Stemick () Orthogonale Waveletbasen / 46