Der Primzahlsatz. Es gibt eine Konstante A, so daß f(x) g(x) Ah(x) für alle genügend großen x.

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1 Der Primzahlsatz Zusammenfassung Im Jahr 896 wurde von Hadamard und de la Vallée Poussin der Primzahlsatz bewiesen: Die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich verhält sich asymptotisch wie / log. Für ihren Beweis war allerdings die Verwendung von komple-analytischen Hilfsmittel wesentlich, und es war eine Sensation als 948 ein elementarer Beweis von Erdős und Selberg angekündigt wurde (siehe [] für einen historischen Abriß). Hier stellen wir eine Variante dieses elementaren Beweises von Hardy und Wright vor []. Wir möchten den Primzahlsatz beweisen, d.h. die Aussage / lim π() log =, wobei π() die Anzahl der Primzahlen p ist. Im folgenden bezeichnen m und n immer natürliche Zahlen, p ist immer eine Primzahl während und t reelle Zahlen sind. Bemerkung (asymptotische Notation). Seien f und g Funktionen von N, Z oder R nach R. Falls f() für alle positiv ist, vereinbaren wir die folgenden Kurzschreibweisen. g = O(f) falls es eine positive Konstante A gibt, so daß g() Af() für alle genügend großen. Die Gleichung f() = g() + O(h()) ist zu lesen als: Es gibt eine Konstante A, so daß f() g() Ah() für alle genügend großen. g f falls es positive Konstanten A und B gibt, so daß Af() g() Bf() für alle genügend großen. g() g f falls lim =. f() In dieser Notation ist unser Ziel also π(). log Bemerkung. Die beste bisher bewiesene Abschätzung ist ( )) A(log )3/5 π() = Li() + O ep ( (log log ) /5 mit Li() = dt. Äquivalent zur Riemannschen Vermutung ist die schönere Abschätzung log t π() = Li() + O( log ), oder genauer π() Li() < log. 8π

2 Der elementare Beweis Wie weit Tschebyschow gekommen ist Um das das asymptotische Verhalten von π() zu analysieren betrachtete Tschebyschow die folgenden zahlentheoretischen Funktionen. 3 Definition. Die Funktion Λ : N R ist definiert durch { log p falls n = p m, Λ(n) = sonst. Die Tschebyschow-Funktionen sind ϑ() = p log p = log p p, ψ() = Λ(n) = p m Als erstes zeigen wir, daß ϑ und ψ die gleiche Größenordnung haben. 4 Satz. ψ() = ϑ() + O( (log ) ) Beweis. Es ist ψ() = ϑ() + ϑ ( /) + ϑ ( /3) + = m ϑ ( /m) log p. () wobei höchstens log / log Summanden von verschieden sind. Jetzt schätzen wir die Summanden für m ganz grob ab: ϑ( /m ) /m log / log für m, und damit folgt schon die Behauptung. Und zwar wachsen beide linear. 5 Satz. ϑ() und ψ(). Beweis. Wir zeigen die Abschätzungen ϑ(n) < n log und ψ() log. Nach Satz 4 4 reicht das aus. Für M = ( ) m+ m haben wir M < m und wir ϑ(m + ) ϑ(m + ) = ( m+<p m+ m+<p m+ p ) M und daraus schließen log p log M < m log. Jetzt machen wir Induktion. Der Anfang n = und n = ist klar, für gerades n > ist ϑ(n) = ϑ(n ) < (n ) log < n log und für ungerades n = m + > ϑ(m + ) < θ(m + ) + m log < (m + ) log + m log = n log.

3 Wir schreiben ( ) n N := = p kp mit k p = ( n n p m p n m ) n. p m In der Summe für k p ist jeder Summand oder und für m > log(n)/ log p passiert nichts mehr, d.h. k p log(n)/ log p und damit log N = k p log p log(n) log p = ψ(n). log p p p Andrerseits ist aber N n und damit folgt ψ(n) n log und die behauptete schwächere Abschätzung für reelle ist leicht. 6 Satz (Tschebyschow). π() log. Beweis. Wegen ϑ() = p log p π() log folgt mit Satz 5, daß π() A/ log für eine Konstante A. Um die Abschätzung in die andere Richtung hinzukriegen müssen wir die kleinen Primzahlen ignorieren. Für < δ < ist ϑ() log p ( δ) log (π() δ ), δ <p und damit π() < B/ log. Indem wir uns mit dem δ im letzten Beweis ein bißchen mehr Mühe geben, kriegen wir die asymptotische Beziehung zwischen π() und den Tschebyschow-Funktionen. 7 Satz. π() ϑ() log ψ() log. Beweis. Wegen Satz 5 reicht es, das erste zu beweisen. Wie im Beweis von Satz 6 ist π() log ϑ() δ log ϑ() + δ. Für ein beliebiges ε > können wir nun zuerst ein δ > mit /( δ) < + ε/ wählen und dann ein, so daß für alle > δ log ϑ() < ε/. Und damit folgt π() log /ϑ(). 8 Satz. Sei c, c,... eine Folge und sei die Funktion C definiert durch C() = c n. Dann gilt für jede Funktion f c n f(n) = C(n) [f(n) f(n + )] + C()f( ). () Falls außerdem c n = für n < n und f() für n stetig differenzierbar ist, so gilt c n f(n) = C()f() n C(t)f (t) dt. (3) 3

4 Beweis. Es ist c n f(n) = C()f() + (C() C())f() + + (C( ) C( )) f( ) und damit steht () da. Der zweite Teil folgt mit C(n) [f(n) f(n + )] = n+ n C()f () d. 9 Lemma. Für h > ist log h (/n) = O(). Beweis. Satz. n= log h (/n) log h (/t) dt = Λ(n) n log h (u) u du = O(). = log + O(). (4) Beweis. Mit h = folgt aus Lemma 9, daß log n = log + O(). Andrerseits ist log n = log(!) = p m /p m log p = n Λ(n). Mit Λ(n) = ψ() = O() folgt die Behauptung. Und schließlich kriegen wir, daß der einzige Kandidat für den Grenzwert lim π() log / ist. Satz. lim inf π() log lim sup π() log. Beweis. Wegen Satz 7 reicht es, lim inf ψ()/ lim sup ψ()/ zu zeigen. Gleichung (3) liefert mit f(t) = /t und c n = Λ(n) Mit den Sätzen und 5 folgt Λ(n) n ψ(t) t = ψ() + ψ(t) t dt = log + O(). Angenommen lim inf ψ()/ = + δ für ein positives δ. Dann gibt s ein, so daß ψ()/ + δ/ für alle, und es folgt der Widerspruch ψ(t) dt > t Der lim sup-teil geht analog. dt. + δ ( dt = + δ ) log + O(). t 4

5 Selberg und Erdős Die Grundlage zur Vervollständigung des Beweises ist der folgende Satz. Satz (Selberg-Formeln). ψ() log + Λ(n)ψ(/n) = log + O(), (5) Λ(n) log n + m Die beiden Gleichungen sind äquivalent, denn Λ(n) Λ(n)ψ(/n) = und mit c n = Λ(n), f(t) = log t in (3) ist Λ(n) log n = ψ() log Λ(m)Λ(n) = log + O(). (6) m /b Λ(n)Λ(n) = m ψ(t) t Λ(m)Λ(n), dt = ψ() log + O(). Bevor wir Satz beweisen, müssen wir ein paar Werkzeuge zusammensammeln. 3 Definition. Die Möbiusfunktion µ : N {, ±} ist definiert durch µ() = und { ( ) k falls n = p... p k (p i prim, p i p j für i j), µ(n) = falls p n für eine Primzahl p. 4 Lemma. Es ist d n µ(d) = { für n =, für n >. 5 Satz (Möbius-Inversion). Für Funktionen f, g : N R gilt f(n) = d n g(d) g(n) = d n µ(d)g(n/d). Beweis. Die Dirichlet-Multiplikation für zahlentheoretische Funktionen ist definiert durch (f g)(n) = d n f(d)g(n/d). Man rechnet leicht nach, daß diese Operation assoziativ und kommutativ ist, und daß die Funktion I mit I() = und I(n) = für n > ein neutrales Element ist, d.h. f I = I f = f für alle f. Für die Funktion u mit u(n) = für alle n sagt Lemma 4, daß µ u = I. Nun gilt f = u g µ f = µ u g = I g = g, und das ist genau die Behauptung. Aus (3) mit c n = und f() = / folgt eine asymptotische Formel für die harmonische Reihe. 5

6 6 Lemma. = log + γ + O(/) mit der Eulerschen Konstante γ = n Beweis (von Satz ). Für n = p α p α... p α k k gilt t t t dt. log n = k α i log p i = d n i= Λ(d). (7) Möbius-Inversion liefert Λ(n) = d n µ(d) log(n/d) = d n µ(d) log d. (8) Das benutzen wir um für die Funktion S() = nachzurechnen, daß µ(d) log (/d) d n S() = Λ(n) log n + Λ(m)Λ(n) + O() m gilt. S() ist also im wesentlichen die linke Seite von (6) und es reicht, S() = log + O() zu zeigen. Das geht indem man S() γ hinschreibt, und unter mehrfacher Verwendung von Lemma 6 eine Weile umformt. Wir betrachten nun die Funktionen R() = ψ(), V () = e R(e ) = e ψ(e ). 7 Bemerkung. Primzahlsatz ψ() R() = o() lim V () =. Um die letzte dieser äquivalenten Aussagen anzusteuern, schätzen wir V () mit Hilfe von Satz ab. 8 Lemma. V () ζ V (η) dη dζ + O(). Beweis. Wenn wir ψ() = R() + in (5) einsetzen erhalten wir mit Lemma R() log + Λ(n)R(/n) = O(), (9) und dementsprechend auch R(/n) log(/n) + m /n ( ) Λ(m)R = O(/n), () mn 6

7 Wir multiplizieren (9) mit log und () mit Λ(n) (für jedes n), subtrahieren das voneinander und erhalten nach ein bißchen Umstellen R() log = Λ(n)R(/n) log n + ( ) Λ(m)Λ(n)R mn m und damit die Abschätzung R() log a n R(/n) + O( log ) mit a n = Λ(n) log n + hk=n Λ(h)Λ(k). Wegen (6) ist a n = log + O() und durch ein paar Umformungen kann man die Summe auf der rechten Seite der Abschätzung durch ein Integral ersetzen: a n R(/n) = R(/t) log t dt + O( log ). Mit den Substitutionen = e und t = e η wird das Integral auf der rechten Seite zu ζ V (η) dη dζ und damit sind wir fertig. Um zu beweisen, daß V () gegen geht, brauchen wir noch zwei Abschätzungen. 9 Lemma. Es gibt eine Konstante A, so daß für alle V (η) dη A. Lemma. Sei η eine Nullstelle von V, und sei α >. Dann ist Satz. lim V () =. η +α η V () d α / + O(/η ). Beweis. Wir setzen α = lim sup V () und β = lim sup V (η) dη. Aus Lemma 8 folgt mit ζ V (η) dη = βζ + o(ζ), daß α β. Wir nehmen nun α > an und leiten daraus einen Widerspruch ab. Die Funktion V (η) ist monoton fallend außer an den Unstetigkeitsstellen. Auf einem gegebenen Intervall hat V daher eine Nullstelle oder höchstens einen Vorzeichenwechsel. Wir betrachten nun das Intervall I = [ζ, ζ +δ] mit einem δ > α, für das wir gleich einen cleveren konkreten Wert wählen. Fall. V (η ) = für ein η I. Wir zerlegen das Integral ζ+δ = η + η +α ζ ζ η + ζ+δ. η +α Auf dem ersten und dem dritten Teilintervall schätzen wir V () durch α + o() an, in der Mitte benutzen wir Lemma, und schließlich erhalten wir ζ+δ mit α = α ( α δ ) < α. ζ V (η) dη α δ + o() (für ζ ) () 7

8 Fall. V (η) wechselt auf I höchstens einmal das Vorzeichen. Dann können wir mit Lemma 9 das Integral von ζ bis ζ +δ α durch A abschätzen. Auf [ζ +δ α, ζ +δ] ist ja V () durch α + o() beschränkt, und somit ζ+δ ζ V (η) dη A + α + o(). Wir setzen jetzt α δ mit A + α gleich, stellen nach δ um und erhalten δ = (3α + 4A )/(α) > α. Für dieses δ gilt dann also in jedem Fall die Ungleichung () und jetzt zerhacken wir einfach das Integral von bis in lauter Stücke der Länge δ: V (η) dη = /δ m= (m+)δ V (η) dη + mδ /δ δ V (η) dη ( ) α δ + o + O() δ δ und daraus folgt der benötigte Widerspruch β = lim sup Literatur V (η) dη α < α. [] G.H. Hardy & E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th Ed., Oford University Press, 979. [] D. Goldfeld, The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective. pdf 8