1 Formen und äußeres Differential

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1 1 Formen und äußeres Differential Wir betrachten den n-dimensionalen reellen Raum R n = { x = x 1,...,x n ) : x i R für i = 1,...,n }. Definition 1.1 Ein Tangentialvektor an R n im Punkt x R n ist ein Paar x,a) mit a R n. Der Punkt x wird dann Fußpunkt des Tangentialvektors x, a) genannt. Die Menge aller Tangentialvektoren an R n im Punkt x R n bezeichnen wir mit T x R n. Lemma 1.2 Die Menge T x R n ist zusammen mit den Operationen x,a) + x,b) = x,a + b) und ein n-dimensionaler Vektorraum. αx,a) = x,αa) für α R Definition 1.3 Der Vektorraum T x R n heißt der Tangentialraum an R n im Punkte x R n. Im Folgenden sei O eine offene Teilmenge des R n. Wir werden im Weiteren hauptsächlich den Fall O = R n betrachten.) Definition 1.4 Ein Vektorfeld auf O ist eine Abbildung V, die jedem x O einen Tangentialvektor V x) T x R n zuordnet. Beispiel 1.5 i) Sei {e 1,...,e n } die Standardbasis des R n, also e 1 := 1,0,0,...,0), e 2 := 0,1,0,...,0) usw. Wir definieren das Vektorfeld i auf R n für i = 1,...,n durch i x) := x,e i ). ii) Sei f : O R eine differenzierbare Funktion. Das Vektorfeld gradf) auf O ist durch n gradf) := i f) i i=1 gegeben. Dabei ist i f) := f x i. Da { 1 x),..., n x)} für jedes x R n eine Basis von T x R n ist, kann jedes Vektorfeld V auf O in der Form n V = V i i 1.1) i=1 mit eindeutig bestimmten Funktionen V i : O R geschrieben werden. Dabei bedeutet 1.1), dass n V x) = V i x) i x) für alle x O. i=1 1

2 Definition 1.6 Ein Vektorfeld V auf O heißt glatt : Die Koeffizientenfunktionen V i : O R, i = 1,...,n, sind von der Klasse C, also unendlich oft differenzierbar. Die Menge der glatten Vektorfelder auf O bezeichnen wir mit XO). Definition 1.7 Für einen reellen Vektorraum E und k N sei Λ k T x R n,e) der Vektorraum der alternierenden k-linearen Abbildungen auf T x R n mit Werten in E, d.h. der Abbildungen mit den folgenden beiden Eigenschaften. ϕ : T x R n... T x R }{{ n E } k-mal i) Für alle v 1,...,v k,w 1,...,w k T x R n, alle α,β R und i = 1,...,k gilt ϕv 1,...,v i 1,αv i + βw i,v i+1,...,v k ) = αϕv 1,...,v i 1,v i,v i+1,...,v k ) + βϕv 1,...,v i 1,w i,v i+1,...,v k ). ii) Für alle v 1,...,v k T x R n und 1 i < j k gilt ϕv 1,...,v i 1,v i,v i+1,...,v j 1,v j,v j+1,...,v k ) = ϕv 1,...,v i 1,v j,v i+1,...,v j 1,v i,v j+1,...,v k ). Des Weiteren setzen wir Λ k T x R n ) := Λ k T x R n, R). Insbesondere ist Λ 1 T x R n ) der Raum der linearen Abbildungen ϕ : T x R n R, also der duale Vektorraum zu T x R n. Dieser wird auch mit T xr n bezeichnet und der Kotangentialraum an R n im Punkt x genannt. Bemerkung 1.8 i) Die Bedingung ii) aus Definition 1.7 kann durch die Bedingung ϕv 1,...,v i 1,v,v i+1,...,v j 1,v,v j+1,...,v k ) = 0 für alle v,v 1,...,v k T x R n und 1 i < j k ersetzt werden. ii) Für k > n ist Λ k T x R n,e) = {0}. Definition 1.9 Eine reelle) k-form auf O ist eine Abbildung ω, die jedem x O ein ω x Λ k T x R n ) zuordnet. Beispiel 1.10 Wir definieren die 1-Form dx i auf R n für i = 1,...,n durch dx i ) x jx)) := δ ij für j = 1,...,n. Sind η 1,...,η k 1-Formen auf O, so sei η 1 η k die durch η 1 η k) ηxv 1 1 ) ηxv 1 k ) v x 1,...,v k ) :=.. ηxv k 1 ) ηxv k k ) 1.2) 2

3 für v 1,...,v k T x R n bestimmte k-form auf O. Insbesondere ist η 1 η 2) x v 1,v 2 ) = η 1 xv 1 )η 2 xv 2 ) η 1 xv 2 )η 2 xv 1 ). Außerdem gilt η 1 η i 1 η i η i+1 η j 1 η j η j+1 η k = η 1 η i 1 η j η i+1 η j 1 η i η j+1 η k. Da die Elemente dx i 1 dx i k) x mit 1 i 1 < i 2 < < i k n eine Basis von Λ k T x R n ) bilden, kann jede k-form ω auf O in eindeutiger Weise in der Form ω = ω i1...i k 1.3) mit Funktionen ω i1...i k : O R geschrieben werden, wobei die Addition und Multiplikation in 1.3) wiederum punktweise zu verstehen sind. Definition 1.11 Das äußere Produkt einer k-form ω 1 = ωi i k und einer l-form auf O ist die k + l-form ω 1 ω 2 := ω 2 = ωj j l dx j1 dx j l 1 j 1< <j l n ωi i k ωj j l dx j1 dx j l. 1 j 1< <j l n Man überprüft leicht, dass Definition 1.11 im Fall, dass ω 1 und ω 2 1-Formen sind, mit 1.2) verträglich ist. Beispiel 1.12 Für die Formen ω 1 = f 1 dx 1 + f 2 dx 3 und ω 2 = f 3 dx 2 dx 3 + f 4 dx 2 dx 4 auf O mit Funktionen f 1,...,f 4 : O R ist ω 1 ω 2 = f 1 f 3 dx 1 dx 2 dx 3 + f 1 f 4 dx 1 dx 2 dx 4 + f 2 f 3 dx 3 dx 2 dx 3 + f 2 f 4 dx 3 dx 2 dx 4 = f 1 f 3 dx 1 dx 2 dx 3 + f 1 f 4 dx 1 dx 2 dx 4 f 2 f 4 dx 2 dx 3 dx 4. Definition 1.13 Sei E ein reeller Vektorraum. Eine E-wertige k-form auf O ist eine Abbildung ω, die jedem x O ein ω x Λ k T x R n,e) zuordnet. 3

4 Jede E-wertige k-form kann in eindeutiger Weise als ω = ω i1...i k mit Abbildungen ω i1...i k : O E geschrieben werden. Bemerkung 1.14 Für E-wertige Formen ω 1 und ω 2 ist ω 1 ω 2 i.allg. nicht definiert. Jedoch kann man ω 1 ω 2 für eine E-wertige Form ω 1 und eine reelle Form ω 2 wie in Definition 1.11 bilden. Definition 1.15 Eine E-wertige k-form ω auf O heißt glatt : Alle Koeffizientenabbildungen ω i1...i k : O E sind von der Klasse C. Für k N sei Ω k O,E) der Raum der glatten E-wertigen k-formen auf O. Den Raum der glatten reellen k-formen auf O bezeichnen wir mit Ω k O), d.h. Ω k O) := Ω k O, R). Außerdem sei Ω 0 O,E) der Raum der C -Abbildungen f : O E. Insbesondere ist der Ring der glatten reellen Funktionen auf O. Ω 0 O) := Ω 0 O, R). Man sieht leicht ein, dass XO) und Ω k O,E) mit der punktweisen Addition und der punktweisen Multiplikation mit reellen Funktionen Moduln über dem Ring Ω 0 O) sind. Bemerkung 1.16 Sei ω Ω k O,E). i) Statt ω x v 1,...,v k ) für x O und v 1,...,v k T x R n schreiben wir auch ω v 1,...,v k ). ii) Sind X 1,...,X k XO), so sei ω X 1,...,X k ) Ω 0 O,E) durch erklärt. iii) Ist f Ω 0 O), so sei Analog für f Ω 0 O,E) und ω Ω k O).) ω X 1,...,X k )) x) := ω X 1 x),...,x k x)) f ω := fω Ω k O,E). Definition 1.17 Das äußere Differential d : Ω k O,E) Ω k+1 O,E), k N 0, ist folgendermaßen definiert. Ist ω = ω i1...i k Ω k O,E), so sei dω := n j ω i1...i k )dx j. Insbesondere ist und somit gilt n df := j f)dx j für f Ω 0 O,E) dω = dω i1...i k. 4

5 Beispiel 1.18 Für die Form ω = sin x 1 x 4) dx 1 dx 3 Ω 2 R 4 ) ist dω = x 4 cos x 1 x 4) dx 1 dx 1 dx 3 + x 1 cos x 1 x 4) dx 4 dx 1 dx 3 = x 1 cos x 1 x 4) dx 1 dx 3 dx 4. Satz 1.19 i) Für ω 1,ω 2 Ω k O) ist ii) Für ω 1 Ω k O) und ω 2 Ω l O) ist d ω 1 + ω 2) = dω 1 + dω 2. d ω 1 ω 2) = dω 1 ω 2 + 1) k ω 1 dω 2. iii) Ist f Ω 0 R) die durch definierte Funktion, so ist iv) Für jedes ω Ω k O) ist fx) := x i df = dx i. ddω = 0. Beweis. Die Aussagen i) und ii) folgen unmittelbar aus Definition 1.17 und der Ableitungsregel für Produkte von Funktionen. iii) Sei f wie angegeben. Dann ist und somit df = j f) = δ ij n j f)dx j = iv) Sei f Ω 0 O). Dann ist n ddf = d j f)dx j = n i j f)dx i dx j i, = i<j = i<j n δ ij dx j = dx i. i j f)dx i dx j + i>j i j f)dx i dx j + i<j i j f)dx i dx j j i f)dx j dx i = i<j i j f) j i f))dx i dx j, was nach dem Lemma von Schwarz ddf = 0 1.4) 5

6 impliziert. Laut Definition 1.17 gilt außerdem Ist nun ω = d ) = ) ω i1...i k, so erhalten wir aus 1.4) und 1.5) mittels der Aussagen i) und ii) ddω = d dω i1...i k dx i1 dx i ) k = = 0. ddωi1...i k dω i1...i k d )) Bemerkung 1.20 i) Satz 1.19iii) rechtfertigt die Bezeichnung dx i. ii) Die Aussagen i) und iv) aus Satz 1.19 gelten in gleicher Weise für E-wertige Formen, die Aussage ii) gilt auch für ω 1 Ω k O,E) und ω 2 Ω l O). 1) Ist {i 1,...,i n } = {1,...,n}, so bezeichne ε i1...i n das Signum der Permu- Definition 1.21 tation j {1,...,n} i j {1,...,n}. 2) Der Hodge-Operator : Ω k O,E) Ω n k O,E), k = 0,...,n, ist durch die folgenden zwei Bedingungen definiert. i) Für alle ω 1,ω 2 Ω k O,E) ist ω 1 + ω 2) = ω 1 + ω 2. ii) Für alle f Ω 0 O,E) und alle 1 i 1 < < i k n ist f) = εi1...i k j 1...j n k fdxj1 dx j n k, wobei {i 1,...,i k,j 1,...,j n k } = {1,...,n}. Wie man leicht sieht, ist ) = dx 1 dx 2 dx n. Insbesondere ist für f Ω 0 O,E). f = fdx 1 dx n und fdx 1 dx n) = f Beispiel 1.22 Für mit f 1,f 2 Ω 0 R 4,E) ist ω = f 1 dx 1 dx 3 + f 2 dx 2 dx 4 Ω 2 R 4,E) ω = ε 1324 f 1 dx 2 dx 4 + ε 2413 f 2 dx 1 dx 3 = f 1 dx 2 dx 4 f 2 dx 1 dx 3. 6