Mannigfaltigkeiten und Integration I

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1 und Integration I Martin Jochum 16. Dezember 2008 und Integration I 16. Dezember / 28

2 Gliederung Definition Folgerungen Tangentialvektoren Differentialformen Euklidische Simplizes Definition Motivation Ränder Ketten und Integration I 16. Dezember / 28

3 und Integration I 16. Dezember / 28

4 Definition Mannigfaltigkeit Eine n-dimensionale (differenzierbare) Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum M zusammen mit einer Menge von offenen Teilmengen U i M, i = 1... m, sodass gilt: 1. Die Teilmengen U i, i = 1... m stellen eine Überdeckung von M dar, d. h. es gilt M = m U i. i=1 2. Auf jeder Teilmenge U i, i = 1... m existiert ein Homöomorphismus (Diffeomorphismus) φ i : U i φ i (U i ) R n. 3. Für jede Kombination i, j, sodass U i U j gilt, ist die Komposition φ j φ 1 i : φ i (U i U j ) R n φ j (U i U j ) R n ein Homömorphismus (Diffeomorphismus) zwischen φ i (U i U j ) und φ j (U i U j ). und Integration I 16. Dezember / 28

5 Definition Bezeichnungen Die Teilmengen U i, i = 1... m werden Kartengebiete genannt. Die Abbildungen φ i : U i φ i (U i ) R n werden als Karten bezeichnet. Die Menge A = {(U i, φ i ), i = 1... m} heißt Atlas von M. und Integration I 16. Dezember / 28

6 Definition und Integration I 16. Dezember / 28

7 Folgerungen Koordinatenwechsel Betrachte Kartengebiete U I mit lokalen Koordinaten x 1,..., x n und U J mit lokalen Koordinaten y 1,..., y n, sodass U I U J. y i bzw. x j auf Überlappung U I U J als glatte Funktionen der x i bzw. y j darstellbar y j = y j (x 1,..., x n ) x i = x i (y 1,..., y n ) y j = y j (x(y 1,..., y n )) Ableitung nach den y ergibt δ j k = n i=1 y j x i x i y k Für die Jacobi-Determinanten gilt j = 1,..., n i = 1,..., n y j x i x i y k = I. (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = 1 (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) 0 auf ganz U I U J und Integration I 16. Dezember / 28

8 Folgerungen Orientierbarkeit Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist orientierbar, falls die lokalen Koordinaten x i, i = 1... n auf U I bzw. y j auf U J, j = 1... n auf jeder Überlappung U I U J so gewählt werden können, dass für die Jacobi-Determinante gilt. (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) > 0 Falls M orientierbar ist, sind zwei verschiedene Orientierungen möglich: Die Erste folgt, bis auf eine gerade Permutation, aus der Wahl der lokalen Koordinaten. Die Zweite folgt aus einer ungeraden Permutation der lokalen Koordinaten. und Integration I 16. Dezember / 28

9 Beispiele Orientierbare Oberfläche einer Kugel Oberfläche eines Torus und Integration I 16. Dezember / 28

10 Beispiele Nichtorientierbare Möbiusband Kleinsche Flasche und Integration I 16. Dezember / 28

11 Folgerungen Reellwertige glatte Funktion Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und f eine reellwertige Funktion auf M f : M R. Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P M, falls es ein Kartengebiet U M mit P U und eine Karte φ : U R n mit lokalen Koordinaten x 1,..., x n gibt, sodass f(p) = f(φ 1 (x 1,..., x n )) glatt bzgl. der lokalen Koordinaten x 1,..., x n ist. Eine Funktion ist glatt auf ganz M, wenn sie in jedem Punkt von M glatt ist. und Integration I 16. Dezember / 28

12 Folgerungen Glatte Funktion Seien M und N zwei der Dimension m bzw. n und f eine Funktion f : M N. Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P M, falls es ein Kartengebiet U M mit P U bzw. V N mit f(p) V und eine Karte φ : U R m mit lokalen Koordinaten x 1,..., x m bzw. ψ : V R n mit lokalen Koordinaten y 1,..., y n gibt, sodass die Komposition ψ f φ 1 glatt bzgl. der lokalen Koordinaten ist. und Integration I 16. Dezember / 28

13 Folgerungen und Integration I 16. Dezember / 28

14 Folgerungen Untermannigfaltigkeit Seien M und N zwei der Dimension m bzw. n. Man nennt M eine Untermannigfaltigkeit von N, falls eine Abbildung i : M N so existiert, dass in lokalen Koordinaten der Rang der Jacobi-Matrix yj x der Abbildung i stets i gleich m ist. Die Abbildung i wird als Einbettung bezeichnet. Grundsätzlich kann jede m-dimensionale Mannigfaltigkeit in einen R N mit N = 2m + 1 eingebettet werden. und Integration I 16. Dezember / 28

15 Tangentialvektoren Eine Definition der Tangentialvektoren in einem Punkt P M unabhängig von gerichteten Pfeilen wird benötigt. Eine Möglichkeit hierzu ist die Interpretation eines Tangentialvektors als Richtungsableitung Beispiel: Sei P E 3 und v = (a, b, c) ein Vektor im Punkt P. Dann wird der Vektor v mit dem Operator ( a x + b y + c ) P. z identifiziert. und Integration I 16. Dezember / 28

16 Tangentialvektoren Tangentialvektor Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, P M ein Punkt von M und F 0 (M) der Raum der reellwertigen glatten Funktionen auf M. Ein Tangentialvektor v in einem Punkt P M ist ein Operator v : F 0 (M) R der den Bedingungen v(af + bg) = av(f) + bv(g) v(fg) = g(p)v(f) + f(p)v(g) Linearität Produktregel für beliebige f, g F 0 (M) und konstante a, b R genügt. und Integration I 16. Dezember / 28

17 Tangentialvektoren Ist U eine Umgebung von P mit lokalen Koordinaten x 1,..., x n, so ist jeder der Operatoren v i = x i P ein Tangentialvektor im Punkt P. Die Gesamtheit aller Tangentialvektoren im Punkt P bildet den Tangentialraum T P M an M im Punkt P. Die zuvor eingeführten Tangentialvektoren v i, i = 1... n bilden eine Basis des Tangentialraumes. und Integration I 16. Dezember / 28

18 Tangentialvektoren Beweis: In lokalen Koordinaten habe der Punkt P M die Form c = (c 1,..., c n ), v sei ein Tangentialvektor im Punkt P und es gelte v(x i ) = v(x i c i ) = a i. Darüber hinaus sei f eine beliebige glatte Funktion auf M. Eine nach dem linearen Term abgebrochene Taylorreihen-Entwicklung dieser Funktion ergibt n f(x) = f(c) + (x i c i ) f x i i=1 P Anwendung des Tangentialvektors v hierauf liefert n v (f) = v (f(c)) + v(x i c i ) f n ( ) f x i + (c i c i n )v i=1 P x i = a i f i=1 P x i. i=1 P Hieraus folgt v in der Form n v = a i x i=1 i, P d. h. ein beliebiger Tangentialvektor lässt sich als Linearkombination der v i = x i P darstellen. Somit sind die v i eine Basis des Tangentialraumes. und Integration I 16. Dezember / 28

19 Tangentialvektoren Die a i, i = 1... n sind die Komponenten von v bzgl. des lokalen Koordinatensystems x 1,..., x n Ist ein zweites Koordinatensystem y 1,..., y n mit n v = b i y i i=1 P gegeben, so gilt n b j = a i yj x i. i=1 P Dies entspricht der Transformationregel für die kontravarianten Komponenten eines Vektors. Ein Tangentialvektorfeld ist eine glatte Zuordnung eines Tangentenvektors zu jedem Punkt P M, d. h. in lokalen Koordinaten ergibt sich für das Vektorfeld v die Darstellung v = n i=1 a i (x) x i, wobei die a i (x), i = 1... n als glatt angenommen werden. und Integration I 16. Dezember / 28

20 Differentialformen Die glatten Funktionen auf M werden wiederum als 0-Formen bezeichnet und bilden den Raum F 0 (M) Eine 1-Form ω in einem Punkt P M hat bzgl. lokaler Koodinaten (x 1,..., x n ) die Form ω = n a i dx i i=1 Ist im Punkt P ein zweites lokales Koordinatensystem (y 1,..., y n ) mit ω = n b j dy j j=1 gegeben, so genügen die Koeffizienten a i, b j der Beziehung n x i b j = a i y j. i=1 P Dies entspricht der Transformationsregel für die kovarianten Komponenten eines Vektors. und Integration I 16. Dezember / 28

21 Differentialformen Die p-formen in einem Punkt P ergeben sich dann durch Bildung von Summen von äußeren Produkten von 1-Formen Allgemein folgen die p-formen auf M indem jedem Punkt von M eine p-form ω = a H (x)dx H zugeordnet wird, wobei die a H (x) bzgl. der lokalen Koordinaten glatte Funktionen sein sollen. Das Verhalten bei Koordinatenwechseln von (x 1,..., x n ) nach (y 1,..., y n ) ergibt sich aus dy j = n i=1 y j x i dxi. und Integration I 16. Dezember / 28

22 Differentialformen Alle lokalen Eigenschaften übertragen sich entsprechend auf Ist eine Abbildung φ : M N zwischen den m- bzw. n-dimensionalen M und N gegeben, so wird hierdurch eine Abbildung φ : F p (N) F p (M) induziert. Vollkommen analog zur lokalen Theorie ergibt sich 1. φ (ω + η) = φ ω + φ η, 2. φ (ω η) = (φ ω) (φ η), 3. d(φ ω) = φ (dω). F p (M) d F p+1 (M) φ φ F p (N) d F p+1 (N) und Integration I 16. Dezember / 28

23 Euklidische Simplizes Euklidische Simplizes und Integration I 16. Dezember / 28

24 Euklidische Simplizes Definition n-dimensionale Euklidische Simplizes stellen die Integrationsgebiete dar, auf denen später die Integration von n-formen durchgeführt wird. Beispiele: 1. Ein 0-Simplex ist ein einzelner Punkt (P 0). 2. Ein 1-Simplex ist ein gerichtetes Geradenstück, festgelegt durch seinen Anfangs- und Endpunkt (P 0, P 1). 3. Ein 2-Simplex ist ein geschlossenes Dreieck, festgelegt durch seine drei Eckpunkte (P 0, P 1, P 2). 4. Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder, festgelegt durch die vier Eckpunkte (P 0, P 1, P 2, P 3) Allgemein ist ein n-simplex s n die konvexe Hülle der n + 1 Punkte (P 0,..., P n): { } n s n = (P 0,..., P n) = P P = t 0 P t np n, 0 t i, i = 1,..., n, t i = 1 Als standard n-simplex wird der Simplex s n = (R 0,..., R n) mit R 0 = (0, 0,0,...,0, 0) R 1 = (1, 0,0,...,0, 0) R 2 = (0, 1,0,...,0, 0). R n = (0, 0,0,...,0, 1) bezeichnet. und Integration I 16. Dezember / 28 i=1

25 Euklidische Simplizes Motivation Motivation Komplexe Geometrien können aus Simplizes zusammengesetzt werden. und Integration I 16. Dezember / 28

26 Euklidische Simplizes Ränder Der Rand s eines Simplex s ist eine formale Summe von Simplizes deren Dimension um eins geringer ist als jene von s Beispiele: (P 0,..., P n) = n ( 1) i (P 0,..., P i 1, P i+1,..., P n) i= Simplex: (P 0, P 1) = (P 1) (P 0) 2. 2-Simplex: (P 0, P 1, P 2) = (P 1, P 2) (P 0, P 2) + (P 0, P 1) (P 0, P 1, P 2 ) (P 0, P 2 ) (P 1, P 2 ) 3. 3-Simplex: (P 0, P 1, P 2, P 3) = (P 1, P 2, P 3) (P 0, P 2, P 3)+(P 0, P 1, P 3) (P 0, P 1, P 2) (P 0, P 1 ) und Integration I 16. Dezember / 28

27 Euklidische Simplizes Ketten Eine n-kette ist eine formale Summe der Form N c = a i s i, i=1 wobei die a i Konstanten und die s i n-simplizes sind. Der Rand einer n-kette ist definiert als N c = a i (s i ), i=1 wobei gilt, dass der Rand einer Kette selbst keinen Rand besitzt, d. h. ( c) = 0. und Integration I 16. Dezember / 28

28 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! und Integration I 16. Dezember / 28