Symplektische Geometrie

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1 Symplektische Geometrie Def. Eine symplektische Form auf U R 2n ist eine geschlossene, nichtausgeartete 2-Differentialform. }{{}}{{} d.h. dω = 0 wird gleich definiert Wir bezeichnen sie normalerweise mit ω. Nichtausgeartet bedeutet: x U, v 0 R 2n, ist i v ω 0 (als 1-Form), d.h. u R 2n, sodass ω(v, u) 0. Bemerkung. Wir betrachten die Darstellung von ω durch die zugehörige Gramsche Matrix Ω = ( ω(e i, e j ) ), eine anti-symmetrische Matrix (d.h. Ω T = Ω) mit ω(v, u) = v T Ωu. Die Form ist ausgeartet g.d.w. die Matrix ausgeartet ist, also det Ω = 0 ist. Tatsächlich gilt: Ist die Matrix ausgeartet, dann gibt es einen Vektor v 0, sodass v T Ω = 0, und dann ist selbstverständlich i v Ω(u) = v T Ωu = 0 für alle u. Ist die Matrix nichtausgeartet, so ist v T Ω 0 für jedes v 0 und deswegen gilt für u = Ωv, dass v t Ωu = Ωv 2 0.

2 Bemerkung. Die Bedingung, dass die Dimension 2n, also gerade, ist, wird automatisch erfüllt, weil auf R 2n+1 keine nichtausgeartete 2-Form existieren kann, da (einfache Übung aus LA) jede anti-symmetrische Matrix der Dimension (2n + 1) (2n + 1) ausgeartet ist, denn woraus det Ω = 0 folgt. det Ω = det Ω T = ( 1) 2n+1 det Ω,

3 Beispiel aus der klassischen Mechanik: Kanonische symplektische Form Natürliche Frage. Wir betrachten die Koordinaten (x, p) auf U R n wie im Kapitel Hamiltonsche Gleichungen. Sei φ : U V ein Diffeomorphismus (=Koordinatenwechsel). Wie lautet, vom Standpunkt der Hamiltonischen Gleichungen aus, das natürliche Transformationsgesetz für p? Bsp. Eine ähnliche Frage aus der Lagrange-Mechanik haben wir bzgl. der Koordinaten (x, y) bereits beantwortet: Für φ : U V ist Φ : U R n V R n, Φ(x, y) = (φ(x), d x φ(y)) das natürliche Transformationsgesetz, da es verträglich mit den Lagrange-Gleichungen ist. Die Antwort auf die natürliche Frage von oben wird auf der nächsten Folie erklärt. Sie lautet: Φ(x, p) = (φ(x), p ), wobei p = p (d x φ) 1. (wir betrachten die Komponenten von p als einen Zeilenvektor und verstehen unter (d x φ) 1 die Matrix, welche zur Darstellungsmatrix von d x φ invers ist).

4 Erklärung für das Transformationsgesetz. Die Koordinaten x und t sind fest. Von φ(x) brauchen wir nur die Matrix d x φ. Wir erinnern uns (Satz 8, Teil 2 der Vorl. 3), dass p = L war. Wenn y new = d x φ y ist, so ist p new = Einträge der Form d y L sind. Analog sind L(y(ynew )) y new L(y(ynew )) y new y. Man merke, dass L y Einträge der Form d ynew (L φ 1 ). Nach Kettenregel sind sie dann die Komponenten von (d y L) (d x φ) 1, wie wir es behauptet haben. Folgerung. Die 1-Differentialform l := i p idx i hat gleiche Gestalt in allen Koordinatensystemen (d.h. Φ l ist ebenfalls von der Form p i dx i, wobei x = φ(x) und p = p (d x φ) 1. ) Liouville-Form. Das ist die 1-Form auf R 2n (x, p), welche durch i p idx i gegeben ist. Nach der Koordinatentransformation x φ(x) = x (x) hat der Pushforward dieser Form wieder das Aussehen l = i p i dx i, wobei p = p (d x φ) 1. Sie ist kanonisch, d.h. koordinatenunabhängig. Die Standardbezeichnung für die Liouville-Form ist pdx. Die kanonische symplektische Form auf R 2n (x, p) ist die äußere Ableitung der Liouville-Form, ω = dl. Da l = i p idx i ist, können wir sofort ω ausrechnen: ω = i dp i dx i.

5 Die kanonische symplektische Form ist eine symplektische Form Def. Die symplektische Form auf U R 2n ist eine geschlossene, nichtausgeartete 2-Differentialform }{{}}{{} d.h. dω = 0 d.h. die Gram-Matrix ist nichtausgeartet Die Standardbezeichnung für die kanonische symplektische Form ω ist dp dx. Die Differentialform ist geschlossen, weil sie äußere Ableitung einer Form ist. Die Differentialform ist nichtausgeartet, weil ( ) 0 1 ω(e i, e n+i ) = dp i dx i (e i, e n+i ) = det = ( ) 0 1 Deswegen ist die Matrix Ω = (wobei 1 bzw. 0 die Null- bzw. 1 0 die Einheitsmatrix bezeichnet) und det Ω = 1 0.

6 Hamiltonsche Vektorfelder in der symplektischen Geometrie Sei ω eine symplektische Form auf U 2n und H : U R eine Funktion. Wir konstruieren nun ein Vektorfeld X H auf U, welches Hamiltonsches Vektorfeld genannt wird. Im Spezialfall U 2n = U n (x) R n (p) mit kanonischer symplektischer Form dp dx fällt X H mit dem Hamiltonschen Vektorfeld aus den Vorlesungen 3 u. 4 zusammen. Zuerst bemerken wir, dass aus der Nichtausartung von ω folgt, dass die (offensichtlich lineare) Abbildung von R 2n (=Raum der Vektoren im Punkt x U) nach Λ 1 (x) (Raum der 1-Formen), v i v (ω) (wobei i v die innere Ableitung ist), trivialen Kern hat. Da dim R 2n = dim Λ 1 (x) = 2n, ist die Abbildung ein Isomorphismus. Mit I bezeichnen wir die inverse Abbildung. Dann definieren wir X H im Punkt x durch X H (x) = I (d x H).

7 Koordinatenform der obigen Konstruktion Sei Ω die Matrix von ω. Dann bilden die Komponenten von i v ω den (transponierten) Vektor (=2n-Zeile) i v ω = v t Ω. Also wird v durch die Abbildung i. ω auf v t Ω abgebildet. Die inverse Abbildung bildet entsprechend die 1-Form α (interpretiert als Zeilenvektor) auf die Lösung der Gleichung x T Ω = α ab, welche offensichtlich durch x T = αω 1 gegeben ist. Damit ist in Koordinaten wie wir erwartet haben. X H = ( H x ( ) H ) Ω 1 = p H, x

8 Der Hamiltonsche Fluss erhält die symplektische Form Sei ω eine symplektische Form auf U 2n und sei H eine beliebige Funktion. Satz 19. Der (lokale) Fluss von X H erhält ω. Beweis. Wir zeigen, dass die Lie-Ableitung verschwindet, L XH ω = 0. Nach Poincaré-Cartan (Satz 18) gilt L V ω = i V dω + d(i V ω). Da ω geschlossen ist, gilt dω = 0, und deswegen i XH dω = 0. Nach Konstruktion von X H ist nun i XH ω = dh, und deswegen d (i XH ω) = 0. Dann ist L XH ω = 0, wie wir es wollen. Die Standard-Argumentation (mit Hilfe des Rektifizierungsatzes) zeigt dann, dass der Fluss von X H die Form ω erhält. Wir haben also ein weiteres Objekt konstruiert, das entlang des Flusses erhalten bleibt! Wir werden später sehen, wie diese Erhaltungseigenschaft beim Lösen von Aufgaben in der Mechanik hilft.