Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

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1 Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016 M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

2 Teil I Einführung in die Tensorrechnung M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

3 Riemannsche Mannigfaltigkeit I Wir betrachten eine Mannigfaltigkeit M mit Koordinaten (x i ), i = 1,...,n. Vektorfelder und Kovektorfelder haben die Form v = n v i (x) x i = v i (x) n x i, ω = ω i (x)dx i = ω i (x)dx i i=1 wobei hier die Einstein sche Summenkonvention verwendet wurde (über gleichlautende hoch/tiefgestellte Indizes wird summiert!) Eine Metrik ist nun eine symmetrische multilineare Abbildung i=1 g : T p M T p M R, g = g ij (x)dx i dx j mit g ij = g ji und [g ij ] > 0. Es gilt g(v,w) = g ij v i w j Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist nun mit einer Metrik (Innenprodukt) ausgestattet. M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

4 Tensoren I Ein Tensor T von Typ (p,q) im Punkt x einer Mannigfaltigkeit M ist eine multilineare Abbildung T : TxM... TxM }{{} T x M... T x M R. }{{} p Ein Tensorfeld (kurz Tensor) ordnet nun jedem Punkt x M einen Tensor zu. In Koordinaten T = T j 1...j p i 1...i q (x 1,...,x n )dx i 1... dx iq x j 1... x jp mit Komponenten T j 1...j p i 1...i q (x 1,...,x n ). Beispiele: Die Metrik ist ein (0, 2) Tensor. Vektorfelder sind (1, 0) Tensoren und Kovektorfelder sind (0, 1) Tensoren. Die p Indizes heißen kontravariant und die q Indizes kovariant M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12 q

5 Tensoren II Die Koordinatenwechsel übertragen sich nun direkt aus jenen für Vektorfelder und Kovektorfelder: Beispiel: Wir betrachten den Tensor T = T j il (x)dxi dx l x j und den Koordinatenwechsel z = φ(x) bzw. (x = ˆφ(z)). Dann gilt in neuen Koordinaten Es gilt sowie T = T a bc (z)dzb dz c z a, T(v,w,α) = v i w l α j T j il T bc a = φ a ˆφ i ˆφ l Tj il x j z b z c v T = T(v,, ) = v i T j il dxl x j M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

6 Differentialformen I Differentialformen sind nun alternierende Tensoren. Eine k-form ω ist nun ein (0, k) Tensor der schief-symmetrisch ist ω : T x M... T x M R }{{} k In Koordinaten schreibt man ω = ω i1...i k (x)dx i 1... dx i k mit dem Grassmannprodukt ( Wedge ). Für 1-Formen gilt beispielsweise α β = α β β α Es gilt ω(v 1...v c...v d...v k ) = ω(v 1...v d...v c...v k ). Volumensform auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit vol = det(g)dx 1... dx n M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

7 Differentialformen II Im R 3 mit kartesischen Koordinaten gilt zum Beispiel vol = dx 1 dx 2 dx 3 und somit vol(v 1,v 2,v 3 ) = dx 1 dx 2 dx 3 (v 1,v 2,v 3 ) und weiter und schließlich = (v 1 1dx 2 dx 3 v 2 1dx 1 dx 3 +v 3 1dx 1 dx 2 )(v 2,v 3 ) vol(v 1,v 2,v 3 ) = (v 1 1v 2 2dx 3 v 2 1v 1 2dx 3 +v 3 1v 1 2dx 2 v 1 1 v3 2 dx2 +v 2 1 v3 2 dx1 v 2 2 v3 1 dx1 )(v 3 ) vol(v 1,v 2,v 3 ) = v 1 1 v2 2 v3 3 v2 1 v1 2 v3 3 +v3 1 v1 2 v2 3 v1 1 v3 2 v2 3 +v2 1 v3 2 v1 3 v2 2 v3 1 v1 3 Ein Vergleich liefert det v1 1 v2 1 v3 1 v1 2 v2 2 v3 2 v1 3 v2 3 v3 3 = vol(v 1,v 2,v 3 ) M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

8 Differentialformen III Sei α = α i1...i k dx i 1... dx i k eine k-form. Dann gilt: Äußere Ableitung: mit dα = α i 1...i k x s dx s dx i 1... dx i k, (k +1) Form d(dα) = 0, d(α β) = dα β +( 1) k α dβ Inneres Produkt mit einem Vektorfeld v v α = α(v,w 2,...,w k ), (k 1) Form mit v (α β) = (v α) β +( 1) k α (v β) M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

9 Differentialformen IV Lie-Ableitung bezüglich einem Vektorfeld v L v (α) = v dα+d(v α) Diese Beziehung heißt Cartans Magic Formula Beispiel: Eine 1-Form α = α i dx i L v (α i dx i ) = (v i x i) α i x kdxk dx i +d(v i α i ) = v k α i x kdxi v i α i x kdxk +v i α i v i x kdxk +α i ( x kdxk = v k α i x k +α v s ) s x i dx i Des weiteren gilt: L v (α β) = L v (α) β +α L v (β) Kommutativität bzgl. Pull-back: Für x = φ(z) gilt d(φ (α)) = φ (dα). M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

10 Stokes Theorem und Divergenz Wir betrachten eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit positiv orientiertem Rand M sowie eine (n 1)-Form α. Dann gilt ˆ ˆ dα = α (1) M und man erkennt, dass diese Beziehung als Spezialfälle die Integralsätze von Green, Gauß und Stokes enthält. Betrachten wir ein Vektorfeld w auf M und die Volumsform vol, so gilt mit div(w) = M L w (vol) = div(w)vol 1 det(g) x i(wi det(g)) = wi x i +w i γik k Somit gilt für g ij = δ ij (kartesische Koordinaten) div(w) = wi x i M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

11 Divergenz Theorem I Dies folgt aus L w (vol) = d(w vol) = d(w i x i det(g)dx 1... dx n ) = x i(wi det(g))dx 1... dx n = 1 det(g)) x i(wi det(g))vol. Aus diesen Betrachtungen folgt aber unmittelbar da zusammen mit (1). ˆ M ˆ div(w)vol = M div(w)vol = L w (vol) = d(w vol) w vol (2) M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12

12 Divergenz Theorem II Anmerkung: Klassische Schreibweise ˆ ˆ div(w)vol = M M w,n aera mit n einem Normalvektor auf das Flächenelement aera = da. Es gilt aber w dv= w,n da, bzw w vol = w,n aera Somit folgt, dass aera die Volumensform für die (n 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist. M. Schöberl (regpro - JKU ) / 12