Vom Spannungstensor zum Impulsstrom

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Manuela Melsbach
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1 Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Physikalische Grundpraktika FU-Berlin

2 Quelle: Skript zur Mechanik, Herrmann Welche Größe wird durch den Pfeil symbolisiert? Wie hängt die Größe (formal) mit anderen Größen zusammen? Gibt es (formale) Einwände gegen die Verwendung der Größe im Schulunterricht?

3 Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Übersicht Allgemeines zu Tensoren Spannungstensor Impulsbilanz - Impulsstrom

4 >> Allgemeines zu Tensoren << Tensoren sind koordinatenunabhängige Größen die sich auf Richtungen beziehen Beispiel 1: Skalare oder Tensoren 0. Stufe Beispiel 2: Vektoren oder Tensoren 1. Stufe v = v 1 b 1 + v 2 b 2 = 2 i=1 v i b i Maßzahlen / Koordinaten: v 1, v 2 Basisvektoren : b 1, b 2 Vereinfachung: Verwendung kartesischer Basisvektoren e i => kein Unterschied zwischen ko- und kontravarianten Größen => nur noch Indizes unten

5 >> Allgemeines zu Tensoren << Operationen mit Tensoren: 1. Vektoraddition für gleichartige Tensoren gleicher Stufe T III n = α T I (n) + β T II (n) 2. Tensorprodukt T III n + m = T I n T II m Beispiel: r 1 r 2 = α e 1 + β e 2 γ e 1 + δ e 2 = αγ e 1 e 1 + αδ e 1 e 2 + βγ e 2 e 1 + βδ e 2 e 2 Tensor 2. Stufe α β Matrixdarstellung Beispiel αγ αδ γ δ = βγ βδ Tensor 2. Stufe a 11 a 12 a 21 a = (a ij ) 22

6 Operationen mit Tensoren: 27. Karlsruher Didaktik-Workshop >> Allgemeines zu Tensoren << 3. Verjüngung / Spurbildung (Summation über Diagonalelemente) VJ T I n + 2 = T II n Beispiele: VJ T 2 Sp(a ij ) = a 11 + a 22 Sp r 1 r 2 = αγ + βδ Skalarprodukt von r 1 und r 2 VJ T 2 r Sp jk a ij b k = a 11b 1 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 b 1 b 2 Mit Tensorprodukt und Verjüngung können koordinatenunabhängige Abhängigkeiten zwischen richtungsbezogenen Größen dargestellt werden

7 >> Spannungstensor << Materie durch innere Kräfte zusammengehalten

8 >> Spannungstensor << F 1 l 2 Materie wird durch innere Kräfte zusammengehalten Fläche mit Normalen n 1 und dem Flächeninhalt l 2 l 3 = f n 1 l 3 Kraft F(n 1 ), die durch die Fläche wirkt Im allgemeinen sind n 1 und F(n 1 ) nicht parallel zueinander Der Spannungstensor S verknüpft F(n 1 ) mit n 1 f: F n 1 = S n f, f beliebig klein

9 Darstellung in x, y, z-koordinaten 27. Karlsruher Didaktik-Workshop >> Spannungstensor << F 1 n 1 e x F I = + * (, ) n 1 e x F II e y * (, ) + n 1 e y e z * (, ) n 1 e z F III

10 >> Spannungstensor << Matrixdarstellung in x, y, z-koordinaten S f S xx S xy S xz S yx S yy S yz f = S zx S zy S zz S xx f S xy f S xz f S yx f S yy f S yz f S zx f S zy f S zz f = F xx F xy F xz F yx F yy F yz F zx F zy F zz

11 >> Spannungstensor << im Allgemeinen gilt: F 1 F 2 F 1 n S ist ein Tensorfeld n F 2 Weitere Eigenschaft: S ist symmetrisch, d.h. S xy = S yx, S xz = S zx, S yz = S zy! (z.b. Feynman Vorlesungen, Kapitel 31)

12 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv + π v ndf + S ndf + ρf dv = 0 Impulsänderung p im Raumgebiet Spannungen Strom durch Oberfläche Konvektion Strom durch Oberfläche Volumenkräfte Senken oder Quellen im Raumgebiet

13 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: Impulsänderung im Raumgebiet Strom von Impuls durch Oberfläche Quelle oder Senke von Impuls im Raumgebiet + + = 0 daher: negativer Spannungstensor S = Impulsstromdichte j und Impulsstromstärke I = j ndf

14 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv + j ndf = p + I = 0 Vergleich mit p = F ergibt I = F

15 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion von I auf e 1 1-Komponten I 1 von I I 1 = F 1 = j ndf e 1 Impulsstromdichte Impulsstromstärke 1-Komponente der Impulsstromstärke Operation 1 Operation 2 Verjüngung mit ndf und Integration Verjüngung mit e 1

16 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion von I auf e 1 1-Komponten I 1 von I I 1 = F 1 = j ndf e 1 Impulsstromdichte Impulsstromstärke 1-Komponente der Impulsstromstärke Operation 1 Operation 2 Verjüngung mit ndf und Integration Verjüngung mit e 1 Da j = S ein symmetrischer Tensor ist, sind die Operationen vertauschbar!

17 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion auf e 1 d dt πdv + j ndf e 1 = d dt π e 1 dv + j n e 1 df = d dt d dt π e 1 dv + j e 1 ndf = π 1 dv + j 1 ndf = 0 (1) mit: p 1 = π 1 dv

18 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: Änderung von p 1 im Raumgebiet + + Senke von p 1 = 0 Strom von p 1 durch Oberfläche Quelle oder im Raumgebiet daher: j 1 = j e 1 ist Impulsstromdichtevektor I 1 = F 1 = j 1 ndf ist 1-Komponente der Impulsstärke j 1 und e 1 sind allgemein nicht parallel d dt π 1 dv + j 1 ndf = p 1 + I 1 = 0

19 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsstromdichtevektor

20 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsstromdichtevektor

21 Impulsstromdichte= -Spannungstensor Tensorfeld, Feldgröße: Tensor 2. Stufe geht in Bilanzgleichung ein 27. Karlsruher Didaktik-Workshop Tensorfelder, Feldgröße: Tensor 1. Stufe = Vektor gehen in Bilanzgleichungen ein Verjüngung mit e 1 Impulsstromdichtevektor 1 Verjüngung mit e 2 Impulsstromdichtevektor 2 Verjüngung mit e 3 Impulsstromdichtevektor 3 legt fest, e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3 Verjüngung mit infinitesimalen, orientiertem Flächenelement df=ndf und Integration Verjüngung (=Skalarprodukt) mit infinitesimalen, orientiertem Flächenelement df=ndf und Integration legt fest, e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3 Impulsstromstärke= -Kraft Tensor 1. Stufe = Vektor Verjüngung mit e 3 Verjüngung mit e 2 Verjüngung mit e 1 Komponente 3 der Impulsstromstärke Komponente 2 der Impulsstromstärke Komponente 1 der Impulsstromstärke Tensor 0. Stufe = Skalar

22 Ende

23 Bronstein Taschenbuch der Physik ergänzende Kapitel, Kapitel 8.3.: Viele physikalische und geometrische Größen haben einerseits eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung, anderseits kann man ihnen in jedem Koordinatensystem gewisse Maßzahlen zuordnen, die sich im allgemeinen von Koordinatensystem zu Koordinatensystem ändern. Die allgemeine Tensorrechnung untersucht die Eigenschaften solcher sich ändernder Maßzahlen.

24 Vektoren oder Tensoren 1. Stufe v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = 3 i=1 v i b i (1) Maßzahlen / Koordinaten: v 1, v 2, v 3 Basisvektoren : b 1, b 2, b 3

25 Transformation von Basisvektoren und Koordinaten: 3 v = v i b i (2) i=1 3 v = v i b i (3) i=1 3 b i = A j i b j (4) j=1 (4) in (2) und Vertauschung der Summation: v = v i b i = v i A j i b j = v i j A i b j (5) i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 Koeffizientenvergleich rechte Seite von (5) und (3) liefert: 3 v j = v i j A i (6) i=1

26 Verwendung kartesischer Basisvektoren => keine Unterscheidung von ko- und kontravarianten Größen => nur noch Indizes unten Tensor n-ter Stufe: m i 1 i n =1 dyadisches Produkt T n = a i1 i n e i1 e i2 e in Operationen mit Tensoren a. Tensorprodukt T III n + m = T I n T II m. a i1 i n j 1 j m e i1 e i2 e in e j1 e jm =. a i1 i n e i1 e i2 e in a j1 j m e j1 e j2 e jm =. a i1 i n a j1 j m e i1 e i2 e in e j1 e jm

27 b. Verjüngung (Spurbildung). a i1 i k i l i n e i1 e i2 e ik e il e in m a i1 i k i l i n e i1 e i2 e ik 1 e ik+1 e il 1 e il+1 e in = i k,i l,i k =i l. a i1 i k 1 i k+1 i l 1 i l+1 i n e i1 e i2 e ik 1 e ik+1 e il 1 e il+1 e in c. Überschiebung = Tensorprodukt + Verjüngung

28 >> Spannungstensor << Materie wird durch innere Kräfte zusammengehalten F II (n y ) n y x z Fläche mit Normalen n y und dem Flächeninhalt x z = f (beliebig klein) Kraft F II (n y ), die durch die Fläche wirkt Im allgemeinen sind n y und F II (n y ) nicht parallel zueinander! Spannungsvektor: S II n y = F II (n y ) x z analog: S I n x = F I (n x ), S y z III n z = F III (n z ) x y

29 >> Spannungstensor << S = S I n x n x + S II n y n y + S III n z n z S xi S yi S zi S xii S yii S zii S xiii S yiii = S ziii

30 >> Spannungstensor << S n in Matrixdarstellung

31 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv S ndf + Volumen dv = 0 Impulsänderung p Impulsquelle oder -senke Strom durch Oberfläche daher: negativer Spannungstensor S = Impulsstromdichte j und Impulsstromstärke I = j ndf

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