Vom Spannungstensor zum Impulsstrom
|
|
- Manuela Melsbach
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Physikalische Grundpraktika FU-Berlin
2 Quelle: Skript zur Mechanik, Herrmann Welche Größe wird durch den Pfeil symbolisiert? Wie hängt die Größe (formal) mit anderen Größen zusammen? Gibt es (formale) Einwände gegen die Verwendung der Größe im Schulunterricht?
3 Vom Spannungstensor zum Impulsstrom Übersicht Allgemeines zu Tensoren Spannungstensor Impulsbilanz - Impulsstrom
4 >> Allgemeines zu Tensoren << Tensoren sind koordinatenunabhängige Größen die sich auf Richtungen beziehen Beispiel 1: Skalare oder Tensoren 0. Stufe Beispiel 2: Vektoren oder Tensoren 1. Stufe v = v 1 b 1 + v 2 b 2 = 2 i=1 v i b i Maßzahlen / Koordinaten: v 1, v 2 Basisvektoren : b 1, b 2 Vereinfachung: Verwendung kartesischer Basisvektoren e i => kein Unterschied zwischen ko- und kontravarianten Größen => nur noch Indizes unten
5 >> Allgemeines zu Tensoren << Operationen mit Tensoren: 1. Vektoraddition für gleichartige Tensoren gleicher Stufe T III n = α T I (n) + β T II (n) 2. Tensorprodukt T III n + m = T I n T II m Beispiel: r 1 r 2 = α e 1 + β e 2 γ e 1 + δ e 2 = αγ e 1 e 1 + αδ e 1 e 2 + βγ e 2 e 1 + βδ e 2 e 2 Tensor 2. Stufe α β Matrixdarstellung Beispiel αγ αδ γ δ = βγ βδ Tensor 2. Stufe a 11 a 12 a 21 a = (a ij ) 22
6 Operationen mit Tensoren: 27. Karlsruher Didaktik-Workshop >> Allgemeines zu Tensoren << 3. Verjüngung / Spurbildung (Summation über Diagonalelemente) VJ T I n + 2 = T II n Beispiele: VJ T 2 Sp(a ij ) = a 11 + a 22 Sp r 1 r 2 = αγ + βδ Skalarprodukt von r 1 und r 2 VJ T 2 r Sp jk a ij b k = a 11b 1 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 b 1 b 2 Mit Tensorprodukt und Verjüngung können koordinatenunabhängige Abhängigkeiten zwischen richtungsbezogenen Größen dargestellt werden
7 >> Spannungstensor << Materie durch innere Kräfte zusammengehalten
8 >> Spannungstensor << F 1 l 2 Materie wird durch innere Kräfte zusammengehalten Fläche mit Normalen n 1 und dem Flächeninhalt l 2 l 3 = f n 1 l 3 Kraft F(n 1 ), die durch die Fläche wirkt Im allgemeinen sind n 1 und F(n 1 ) nicht parallel zueinander Der Spannungstensor S verknüpft F(n 1 ) mit n 1 f: F n 1 = S n f, f beliebig klein
9 Darstellung in x, y, z-koordinaten 27. Karlsruher Didaktik-Workshop >> Spannungstensor << F 1 n 1 e x F I = + * (, ) n 1 e x F II e y * (, ) + n 1 e y e z * (, ) n 1 e z F III
10 >> Spannungstensor << Matrixdarstellung in x, y, z-koordinaten S f S xx S xy S xz S yx S yy S yz f = S zx S zy S zz S xx f S xy f S xz f S yx f S yy f S yz f S zx f S zy f S zz f = F xx F xy F xz F yx F yy F yz F zx F zy F zz
11 >> Spannungstensor << im Allgemeinen gilt: F 1 F 2 F 1 n S ist ein Tensorfeld n F 2 Weitere Eigenschaft: S ist symmetrisch, d.h. S xy = S yx, S xz = S zx, S yz = S zy! (z.b. Feynman Vorlesungen, Kapitel 31)
12 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv + π v ndf + S ndf + ρf dv = 0 Impulsänderung p im Raumgebiet Spannungen Strom durch Oberfläche Konvektion Strom durch Oberfläche Volumenkräfte Senken oder Quellen im Raumgebiet
13 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: Impulsänderung im Raumgebiet Strom von Impuls durch Oberfläche Quelle oder Senke von Impuls im Raumgebiet + + = 0 daher: negativer Spannungstensor S = Impulsstromdichte j und Impulsstromstärke I = j ndf
14 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv + j ndf = p + I = 0 Vergleich mit p = F ergibt I = F
15 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion von I auf e 1 1-Komponten I 1 von I I 1 = F 1 = j ndf e 1 Impulsstromdichte Impulsstromstärke 1-Komponente der Impulsstromstärke Operation 1 Operation 2 Verjüngung mit ndf und Integration Verjüngung mit e 1
16 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion von I auf e 1 1-Komponten I 1 von I I 1 = F 1 = j ndf e 1 Impulsstromdichte Impulsstromstärke 1-Komponente der Impulsstromstärke Operation 1 Operation 2 Verjüngung mit ndf und Integration Verjüngung mit e 1 Da j = S ein symmetrischer Tensor ist, sind die Operationen vertauschbar!
17 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Projektion auf e 1 d dt πdv + j ndf e 1 = d dt π e 1 dv + j n e 1 df = d dt d dt π e 1 dv + j e 1 ndf = π 1 dv + j 1 ndf = 0 (1) mit: p 1 = π 1 dv
18 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: Änderung von p 1 im Raumgebiet + + Senke von p 1 = 0 Strom von p 1 durch Oberfläche Quelle oder im Raumgebiet daher: j 1 = j e 1 ist Impulsstromdichtevektor I 1 = F 1 = j 1 ndf ist 1-Komponente der Impulsstärke j 1 und e 1 sind allgemein nicht parallel d dt π 1 dv + j 1 ndf = p 1 + I 1 = 0
19 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsstromdichtevektor
20 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsstromdichtevektor
21 Impulsstromdichte= -Spannungstensor Tensorfeld, Feldgröße: Tensor 2. Stufe geht in Bilanzgleichung ein 27. Karlsruher Didaktik-Workshop Tensorfelder, Feldgröße: Tensor 1. Stufe = Vektor gehen in Bilanzgleichungen ein Verjüngung mit e 1 Impulsstromdichtevektor 1 Verjüngung mit e 2 Impulsstromdichtevektor 2 Verjüngung mit e 3 Impulsstromdichtevektor 3 legt fest, e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3 Verjüngung mit infinitesimalen, orientiertem Flächenelement df=ndf und Integration Verjüngung (=Skalarprodukt) mit infinitesimalen, orientiertem Flächenelement df=ndf und Integration legt fest, e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3 Impulsstromstärke= -Kraft Tensor 1. Stufe = Vektor Verjüngung mit e 3 Verjüngung mit e 2 Verjüngung mit e 1 Komponente 3 der Impulsstromstärke Komponente 2 der Impulsstromstärke Komponente 1 der Impulsstromstärke Tensor 0. Stufe = Skalar
22 Ende
23 Bronstein Taschenbuch der Physik ergänzende Kapitel, Kapitel 8.3.: Viele physikalische und geometrische Größen haben einerseits eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung, anderseits kann man ihnen in jedem Koordinatensystem gewisse Maßzahlen zuordnen, die sich im allgemeinen von Koordinatensystem zu Koordinatensystem ändern. Die allgemeine Tensorrechnung untersucht die Eigenschaften solcher sich ändernder Maßzahlen.
24 Vektoren oder Tensoren 1. Stufe v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = 3 i=1 v i b i (1) Maßzahlen / Koordinaten: v 1, v 2, v 3 Basisvektoren : b 1, b 2, b 3
25 Transformation von Basisvektoren und Koordinaten: 3 v = v i b i (2) i=1 3 v = v i b i (3) i=1 3 b i = A j i b j (4) j=1 (4) in (2) und Vertauschung der Summation: v = v i b i = v i A j i b j = v i j A i b j (5) i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 Koeffizientenvergleich rechte Seite von (5) und (3) liefert: 3 v j = v i j A i (6) i=1
26 Verwendung kartesischer Basisvektoren => keine Unterscheidung von ko- und kontravarianten Größen => nur noch Indizes unten Tensor n-ter Stufe: m i 1 i n =1 dyadisches Produkt T n = a i1 i n e i1 e i2 e in Operationen mit Tensoren a. Tensorprodukt T III n + m = T I n T II m. a i1 i n j 1 j m e i1 e i2 e in e j1 e jm =. a i1 i n e i1 e i2 e in a j1 j m e j1 e j2 e jm =. a i1 i n a j1 j m e i1 e i2 e in e j1 e jm
27 b. Verjüngung (Spurbildung). a i1 i k i l i n e i1 e i2 e ik e il e in m a i1 i k i l i n e i1 e i2 e ik 1 e ik+1 e il 1 e il+1 e in = i k,i l,i k =i l. a i1 i k 1 i k+1 i l 1 i l+1 i n e i1 e i2 e ik 1 e ik+1 e il 1 e il+1 e in c. Überschiebung = Tensorprodukt + Verjüngung
28 >> Spannungstensor << Materie wird durch innere Kräfte zusammengehalten F II (n y ) n y x z Fläche mit Normalen n y und dem Flächeninhalt x z = f (beliebig klein) Kraft F II (n y ), die durch die Fläche wirkt Im allgemeinen sind n y und F II (n y ) nicht parallel zueinander! Spannungsvektor: S II n y = F II (n y ) x z analog: S I n x = F I (n x ), S y z III n z = F III (n z ) x y
29 >> Spannungstensor << S = S I n x n x + S II n y n y + S III n z n z S xi S yi S zi S xii S yii S zii S xiii S yiii = S ziii
30 >> Spannungstensor << S n in Matrixdarstellung
31 >> Impulsbilanz Impulsstrom << Impulsbilanz: d dt πdv S ndf + Volumen dv = 0 Impulsänderung p Impulsquelle oder -senke Strom durch Oberfläche daher: negativer Spannungstensor S = Impulsstromdichte j und Impulsstromstärke I = j ndf
Tensoren. Oliver Jin, Florian Stöttinger, Christoph Tietz. January 24, 2012
Tensoren Oliver Jin, Florian Stöttinger, Christoph Tietz January 24, 2012 Inhaltsverzeichnis Einleitung Einstein sche Summenkonvention Ko- und Kontravariant Stufen Transformationsverhalten Symmetrie Tensoralgebra
MehrDer Spannungszustand. (traction vector) [N/mm²] k Volumskraftdichte [N/mm³] Mechanik IA
Der Spannungszustand σ na Spannungsvektor (traction vector) [N/mm²] k Volumskraftdichte [N/mm³] σ x σ x x + dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x x dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x etc df (R) = kdxdydz + σ x
Mehr5. Krümmung Der Riemann sche Krümmungstensor
5 Krümmung 51 Der Riemann sche Krümmungstensor Gegeben sei eine Riemann sche Mannigfaltigkeit (M,, ) mit Levi-Civita-Zusammenhang D Der Riemann sche Krümmungstensor von M bezüglich D ist die Abbildung
MehrTheoretische Physik 1, Mechanik
Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische
MehrTensoranalysis Mai 2010
Tensoranalysis Mai 2010 Einführung Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und später mathematisch präzisiert.
MehrElastizität und Bruchmechanik
Technische Universität Berlin 1 Institut für Mechanik 6. Juni 2008 Kräftegleichgewicht Spannungstensor Satz von Gauss Vertauschung Massenmittelpunktsbeschleunigung Zusammenfassung erstes Bewegungsgesetz
Mehr20. und 21. Vorlesung Sommersemester
2. und 21. Vorlesung Sommersemester 1 Der Spezialfall fester Drehachse Aus dem Trägheitstensor sollte der früher behandelte Spezialfall fester Drehachse wieder hervorgehen. Wenn man ω = ω n mit einem Einheitsvektor
MehrKapitel 2. Mathematische Grundlagen. Koordinatensystem
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Koordinatensystem Zumeist werden in diesem Buch rechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet. Sie sind durch drei zueinander orthogonale Koordinatenachsen
Mehr1 Mathematische Hilfsmittel
Mathematische Hilfsmittel. Vektoranalysis Wiederholung Vektor: Länge und Richtung Vektoraddition: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) kartesische Koordinaten: B A + B = i (a i + b i )e i A+B Multiplikation
MehrKlausur Sommersemester 2011 Tensorrechnung für Ingenieure Musterlösung
Klausur Sommersemester 2011 Tensorrechnung für Ingenieure Musterlösung Prof Dr-Ing Ch Tsakmakis Dipl-Ing J Frischmann FB 13, FG Kontinuumsmechanik Aufgabe 1 (Klausuraufgabe) Seien drei Vektoren u, v, w
MehrAnalysis für Physiker Zusätze
Analysis für Physiker Zusätze nach den Vorlesungen von Prof. Dr. Werner Timmermann (Sommersemester 2007, Wintersemester 2007/08) Herausgegeben von Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky Stand: 23.
MehrÜbungsblatt Wiederholung: Vektoralgebra, Nabla-Operator, Integralsätze.
Übungsblatt 01 http://www.fluid.tuwien.ac.at/302.043 Wiederholung: Vektoralgebra, Nabla-Operator, Integralsätze. Im Folgenden stehen normal gedruckte Buchstaben ρ (x) für skalare Funktion die den R 3 nach
MehrVektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Spannungstensor
Vektoren, Tensoren, Operatoren Tensoren Rang 0 Skalar p,ρ,t,... Rang 1 Vektor F, v, I,... Rang 2 Dyade }{{} σ, τ,... Spannungstensor Differential-Operatoren Nabla- / x Operator / y in kartesischen / Koordinaten
Mehr5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
MehrAus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der
7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D
MehrKapitel 22. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe. Gegeben sind kartesische Tensoren r ij k, s ij und t ij. Welche der folgenden Größen sind koordinateninvariant? s ii, s ij t jk, s ij t ji, r ijj, s ij t jk
Mehr2. Verzerrungszustand
2. Verzerrungszustand Ein Körper, der belastet wird, verformt sich. Dabei ändern die Punkte des Körpers ihre Lage. Die Lageänderung der Punkte des Körpers wird als Verschiebung bezeichnet. Ist die Verschiebung
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
Mehr2.Übung Werkstoffmechanik Prof. K. Weinberg Universität Siegen Lehrstuhl für Festkörpermechanik
Hookesches Gesetz.Übung Werkstoffmechanik Aus der lastostatik ist das Hookesche Gesetz im -dimensionalen Raum bekannt. σ = ε Wobei σ die Spannung, das lastizitätsmodul und ε die Dehnung oder allgemeiner
Mehr1 Krummlinige Koordinatensysteme
1 Krummlinige Koordinatensysteme 1.1 Ebene Polarkoordinaten Ebene Polarkoordinaten sind für zweidimensionale rotationssymmetrische Probleme geeignet. Die Länge der gedachten Verbindungslinie eines Punktes
MehrAufgaben zu Kapitel 22
Aufgaben zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. Gegeben sind kartesische Tensoren r ij k, s ij und t ij. Welche der folgenden Größen sind koordinateninvariant? s ii, s ij t jk, s ij
MehrTensoren auf einem Vektorraum
ANHANG A Tensoren auf einem Vektorraum In diesem Anhang werden einige Definitionen und Ergebnisse betreffend Tensoren ohne Anspruch auf mathematische Strenge zusammengestellt. Das Ziel ist, den modernen
MehrDas Trägheitsmoment und der Satz von Steiner
Übungen zu Theoretische Physik I - echanik im Sommersemester 3 Batt 9 vom 4.6.3 Abgabe:.7. Aufgabe 38 Punkte Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zyinders
MehrEinführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
Mehr1. Raum und Koordinatensysteme
1 1. Raum und Koordinatensysteme Messgrößen in der Physik Messen geschieht zunächst durch Vergleich mit einem Maßstab. Messbare Grundgrößen der klassischen Mechanik sind räumliche Abstände, zeitliche Abstände
MehrMechanische Spannung und Elastizität
Mechanische Spannung und Elastizität Wirken unterschiedliche Kräfte auf einen ausgedehnten Körper an unterschiedlichen Orten, dann erfährt der Körper eine mechanische Spannung. F 1 F Wir definieren die
MehrAusgewählte Mathematische Hilfsmittel Formelsammlung zu Physik I. Uwe Thiele
Ausgewählte Mathematische Hilfsmittel Formelsammlung zu Physik I Uwe Thiele Institut für Theoretische Physik Westfälische Wilhelms-Universität Münster Version vom 5. April 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrAbleitungen von skalaren Feldern Der Gradient
Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient In der letzten Vorlesung haben wir das zu einem konservativen Kraftfeld zugehörige Potential V ( r) = F ( s) d s + V ( r0 ) kennengelernt und als potentielle
Mehr7.4: Zusammenfassung / Merkpunkte zu Kapitel 7: Mechanische Eigenschaften
7.4: Zusammenfassung / Merkpunkte zu Kapitel 7: Mechanische Eigenschaften Der Zugversuch ergibt einefülle von Materialeigenschaften: Unterscheidung spröde - duktil - gummiartig usw.; und damit auch elastische
MehrVektoren - Die Basis
Vektoren - Die Basis Motivation (Als Vereinfachung - der Schreibarbeit - wählen wir meistens Vektoren in R 2.) Eigentlich ist ja Alles klar! Für einen Vektor a gilt a = ( a x a y )! Am Ende werden wir
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrMathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis Zusammenfassung Die in der Kontinuumsmechanik betrachteten Größen sind Skalare, Vektoren und Tensoren, oder allgemeiner Tensoren
MehrDefinition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
Mehr= 9 10 k = 10
2 Die Reihe für Dezimalzahlen 1 r = r 0 +r 1 10 +r 1 2 100 + = r k 10 k, wobei r k {0,,9} für k N, konvergiert, da r k 10 k 9 10 k für alle k N und ( 1 ) k 9 10 k 9 = 9 = 10 1 1 = 10 10 k=0 k=0 aufgrund
Mehr2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen
2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1
MehrAbbildung 1: Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum
Vektorrechnung Wir werden den Vektorbegriff anschaulich einführen und beschränken uns zunächst auf den zweidimensionalen euklidischen Raum. Die Elemente dieses Raumes sind Punkte P, Q, R, S,.... Geordnete
MehrDie Laplace-Gleichung
Die Laplace-Gleichung Dr. Piotr Marecki April 19, 2008 1 Einführung Die Randwertprobleme für die Laplace Gleichung, 2 V (x) = 0, (1) spielen in der Theoretischen Physik eine wichtige Rolle, u.a. : In der
MehrGeometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme
Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl markus.schoeberl@jku.at Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel
MehrTeil 2. Vektorrechnung
Teil 2 Vektorrechnung 17 18 2.1 Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum senkrecht schneidende Zahlengeraden (Achsen), orientiert gemäß der Rechten-Hand-Regel Ü ¹ Å ØØ Ð Ò Ö
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
MehrDaniel Wachter. Der Mohr sche Kreis
Daniel Wachter Der Mohr sche Kreis 1 Haftungshinweis Diese Angaben basieren auf den Vorlesungen von Prof. Dr. Jürg Dual und Prof. Dr. Edoardo Mazza an der ETH Zürich. Für die Richtigkeit wird keine Garantie
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrTh. Risse, HSB: MAI WS05 1
Th. Risse, HSB: MAI WS05 1 Einige Übungsaufgaben zur analytischen Geometrie & linearen Algebra viele weitere Übungsaufgaben mit Lösungen z.b. in Brauch/Dreyer/Haacke, Papula, Stingl, Stöcker, Minorski
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrMehrfachintegrale 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Mehrfachintegrale 1-E1 1-E2 Mehrfachintegrale c Die Erweiterung des Integralbegriffs führt zu den Mehrfachintegralen, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrX.3.1 Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes
X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes 169 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes Genau wie mechanische Systeme trägt das elektromagnetische Feld Energie ( X.3.1 und Impuls
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 4. Dez. Kreisel + Reibung Alle Informationen zur orlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Statisches und dynamisches Ungleichgewicht Feste Drehachse
MehrAntwort der Gutachter auf die Kritik seitens der Theoretikergruppe
Antwort der Gutachter auf die Kritik seitens der Theoretikergruppe Matthias Bartelmann Frankfurt, 10. Januar 2014 Der KPK-Impulsstrom Der KPK-Impulsstrom entspricht: I KPK = T e x. T hat die Komponenten
MehrKlassische Experimentalphysik I (Mechanik) (WS 16/17)
Klassische Experimentalphysik I (Mechanik) (WS 16/17) http://ekpwww.physik.uni-karlsruhe.de/~rwolf/teaching/ws16-17-mechanik.html Übungsblatt 8 Name des Übungsgruppenleiters und Gruppenbuchstabe: Namen
MehrVektorrechnung. Mathematik-Repetitorium
Vektorrechnung 2.1 Definition 2.2 Multiplikation Vektor und Skalar 2.3 Summe und Differenz 2.4 Komponentendarstellung 2.5 Lineare (Un-)Abhängigkeit 2.6 Skalares Produkt 2.7 Vektorielles Produkt 2.8 Mehrfachprodukte
MehrArbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
MehrVektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b
Vektorprodukt Der Vektor c = a b ist zu a und b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b sin( ( a, b)), die dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten
Mehr3.1.1 Anes Koordinatensystem im Raum
3 Einführung von Koordinaten 3. Ane Koordinaten 3.. Anes Koordinatensystem im Raum Tafelskizze Im dreidimensionalen euklidischen Anschauungsraum E 3 wählen wir einen Punkt O, den Koordinatenursprung und
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrEinführung zu P01 Elastostatik
Praktikum Simulationssoftware (SiSo) Einführung zu P01 Elastostatik Ulrich Simon, rank Niemeyer, Martin Pietsch Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR) www.uni-ulm.de/uzwr Statik starrer Körper
MehrFerienkurs Elektrodynamik
Ferienkurs Elektrodynamik Zusammenfassung Zeitabhängige Maxwellgleichungen Erhaltungsgrößen Retardierte Potentiale 7. März Bernhard Frank Bisher sind in der Elektro- und Magnetostatik folgende Gesetze
MehrJoachimlRisius. Vektorrechnung. Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G
JoachimlRisius Vektorrechnung Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G Inhaltsverzeichnis 1. Darstellung von Punkten durch Koordinatensysteme 11 1.1. Die
Mehr9 Tensoren. für jede Permutation π S q ; T heißt anti-symmetrisch, wenn T kπ(1)...k π(q) T k1...k q. = sgn(π) T k1...k q
Tensoren finden Anwendung in der Differentialgeometrie, in der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik. Wenn wir einen Vektor zunächst für praktische Zwecke als eine Liste von 3 (oder, in n Dimensionen,
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
MehrWerkstoffphysik und Festkörpermechanik : Zeit: Dienstags Uhr, erstmalig am Klausur: ,
Festkörpermechanik/Organisation Gemeinsame Übungen zu den Vorlesungen inführung in die Werkstoffphysik und Festkörpermechanik : Zeit: Dienstags 4.45 6.5 Uhr, erstmalig am 8.0.008 Ort: Seminarraum P4 Klausur:
MehrFB 13, FG Kontinuumsmechanik Dipl.-Ing. J. FRISCHMANN
Klausur Tensorrechnung Wintersemester 015/16 Prof Dr-Ing C TSAKMAKIS FB 13, FG Kontinuumsmechak Dipl-Ing J FRISCHMANN 0704016 Name, Vorname: Studiengang: Matrikel-Nr: Bearbeitungshinweise: Benutzen Sie
MehrKapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
Mehr1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
MehrSpannungszustand
1. Spannungszustand 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 1.2 Hauptspannungen 1.3 Mohrsche Spannungskreise 1.4 Fließbedingung 1.5 Gleichgewichtsbedingungen 1.1-1 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor
MehrA Einführung in die kartesische Tensorrechnung
A Einführung in die kartesische Tensorrechnung Für das Verständnis dieses Lehrbuches wird eine gewisse Kenntnis der Tensorrechnung vorausgesetzt. Wir beschränken uns dabei auf kartesische Tensoren, denn
MehrOtto-von-Guericke-Universität Magdeburg Lehrstuhl Mikrosystemtechnik
Mechanische Eigenschaften Die Matrix der Verzerrungen ε ij und die Matrix der mechanischen Spannungen σ ij bilden einen Tensor 2. Stufe und werden durch den Tensor 4. Stufe der elastischen Koeffizienten
MehrLineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14
Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare
Mehr2.2 4-Stromdichte [Griffiths , Jackson 11.9]
Um zu verstehen, wie sich die elektromagnetischen Felder transformieren, gehen wir von den Maxwellgleichungen aus. Dazu brauchen wir zunächst die. 4-Stromdichte [Griffiths 1.3.4, Jackson 11.9] Die Ladungsdichte
Mehr1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Elektrodynamik orlesung Donnerstag SS 9 Elektromagnetische Wellen im akuum Zunächst einige grundlegende Eigenschaften von elektromagnetischen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
Mehrbzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper)
bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 11 u 12 u 1n 1 u nn 0 u 22 u 2n 1 u 2n 0......... 0 0 u n 1n 1 u n 1n 0 0 0 u nn Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (a ij ) heißt obere
Mehr4 Matrixdarstellung von Symmetrieoperationen
4 MATRIXDARSTELLUNG VON SYMMETRIEOPERATIONEN 4 Konsistenz der minimalen Symmetrieanalyse: fehlende Symmetrieelemente? Beispiel 3: Punktgruppe D h Im Schema (3.1) wird die Punktgruppe D h durch Auffinden
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
MehrGeometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrSpannungs- und Verzerrungstensoren
10 Spannungs- und Verzerrungstensoren Spannungs- und Verzerrungstensoren 4 2 Motivation / Einführung Spannungsvektor im Stab ist abhängig von Orientierung des fiktiven Schnitts. Spannungsverteilung ist
MehrComputergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke,
Computergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke, 212-5-7 Noch Kapitel III: Transformationen 2D Rotation um freies Rotationszentrum y α P(p x, p y ) Ziel: Rotiere Punkte r i um Winkel α um P und erhalte
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrKapitel 9 Räumlicher Spannungszustand
Kapitel 9 Räumlicher Spannungszustand 9 9 9 Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition... 297 9.2 Die Grundgleichungen des räumlichen Problems... 297 9.2.1 Die Feldgleichungen des räumlichen Problems...
Mehr, 2 f N, f M f n f m dx 0 sin xx x3 3! x 5 5! a n x n n0 N f N x a n x n n0 a,ba * x b x a * y b y a * z b z aa x 2 a y 2 a z 2, * r,tr,td 3 r, * d 3 r * * d 3 r, *, * d 3 r * d 3 r, * d 3 r * * d 3 r
MehrTrägheitsmomente aus Drehschwingungen
M0 Name: Trägheitsmomente aus Drehschwingungen Matrikelnummer: Fachrichtung: Mitarbeiter/in: Assistent/in: Versuchsdatum: Gruppennummer: Endtestat: Dieser Fragebogen muss von jedem Teilnehmer eigenständig
Mehr9 Der Riemann sche Krümmungstensor
9 Der Riemann sche Krümmungstensor Bevor wir weitere physikalische Ergebnisse der ART wie Gravitationswellen oder die Verwirbelung der Raumzeit durch rotierende Massen diskutieren, wollen wir uns in den
MehrKinetik des starren Körpers
Technische Mechanik II Kinetik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2.
Mehr1 Übungen zum Indexkalkül
mpuls- & Energiebilanzen Energiemethoden 01. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 1 1 Übungen zum ndexkalkül a Vektoren können in ndexschreibweise über einen freien ndex notiert werden. Also zum Beispiel als v
MehrProf. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau
Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau Mathematische Grundlagen Mit den folgenden mathematischen Grundlagen sollten
MehrDer Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie
Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie 26. April 2011 Verknüpfung mit vorherigem Vortrag Grenzfälle der Gröÿenordnung bei der optischen Pinzette: Rayleigh-Regime: Punkt-Dipol (Objekt sehr
MehrLineare Algebra - Übungen 1 WS 2017/18
Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 1 WS 017/18 Aufgabe P1: Vektoren Präsenzaufgaben 19. Oktober 017 a) Zeichnen Sie die folgenden Vektoren: (0,0) T, (1,0) T,
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr