Ferienkurs Elektrodynamik

Transkript

1 Ferienkurs Elektrodynamik Zusammenfassung Zeitabhängige Maxwellgleichungen Erhaltungsgrößen Retardierte Potentiale 7. März Bernhard Frank Bisher sind in der Elektro- und Magnetostatik folgende Gesetze aufgetreten: Im Vakuum: E = ρ ɛ E = B = 3 B = µ j 4 In Materie: D = ρ f 5 E = 6 B = 7 H = j f 8 Zwei weitere wichitge Gleichungen sind die Lorentzkraft auf eine Ladung und die Kontinuitätsgleichung: F L = q E + v B 9 ρ + j = Zeitabhängige Maxwellgleichungen. Faradaysches Induktionsgesetz Man findet experimentell, dass in einer Leiterschleife eine Spannung U ind entsteht, wenn man den magnetischen Fluss Φ = A B d A durch die Leiterschleife ändert. Dies kann durch eine Änderung des Magnetfeldes oder durch simples Ziehen oder Schieben der Leiterschleife in den Bereich des Magnetfeldes geschehen. Insgesamt lautet das Gesetz: U ind = dφ Das Minuszeichen gibt die Lenzsches Regel wieder, nach der die Spannung so induziert wird, dass sie ihre Ursache hemmt. Andererseits gilt auch: U ind = E d l A

2 Damit kann die Rotation des Elektromagnetischen Feldes nicht mehr verschwinden! Setzt man und gleich und wendet den Satz von Stokes an, erhält man: Φ B = d A = E d l = E da A A Da diese Gleichung für beliebige Leiterschleifen gilt, müssen die Integranden gleich sein. Damit lässt sich der Ausdruck in der allgemeineren, differentiellen Form festhalten. E = B 3 Ein sich änderndes magnetisches Feld erzeugt demnach ein elektrisches Rotationsfeld.. Induktivität, Energieinhalt und weitere nützliche Dinge Für Aufgaben ist weiterhin das ohmsche Gesetz hilfreich. Es setzt in einigen nicht in allen! Materialen die Stromdichte in Zusammenhang mit einem äußeren elektrischen Feld: j = σ E in intergaler Form: U = RI 4 Die Leitfähigkeit σ ist eine Materialkonstante. Der Widerstand R hängt dagegegen auch von der Geometrie des Leiters ab. Pro Ladungseinheit dq wird eine Arbeit dw = U dq verrichtet. Die zugehörige Joulsche Leistung ist dann: P = dw A = U dq = UI = RI 5 Weiterhin wird die Indukitivität L benötigt. Wenn man zwei Leiterschleifen hat, von denen eine vom Strom I durchflossen wird, möchte man den magnetischen Fluss durch die zweite Leiterschleife berechnen. Für eine Leiterschleife gilt: Damit: Φ = L I = Einsetzen liefert: Φ = µ I 4π d l r r A = µ 4π I B d a = d l r r A d a = A d l dl L = µ d l 4π r r d l 6 Die Induktivität ist eine rein geometrische Größe und symmetrisch unter Vertauschung von und. Allerdings induziert jede Flussänderung Spannungen nicht nur in entfernten Leitern sondern auch in dem Leiter, von dem das Magnetfeld ausgeht: U i nd = Φ = L I 7

3 L wird die Selbst-indukitvität genannt. Magnetische Felder verrichten zwar nie Arbeit, dennoch haben sie einen gewissen Energieinhalt, der zur Stromerzeugung gegen die induzierte Spannung benötigt wird: = U ind I = LI di dw W = LI = µ In linearen Medien muss µ B durch B H ersetzt werden..3 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom B dv 8 Problem: Bilde auf beiden Seiten von Gleichung 5 die Divergenz: B = = µ j Die rechte Seite verschwindet nur für stationäre Ströme. Abhilfe schafft die Einführung des Maxwellschen Verschiebungsstromes aus der Kontinuitätsgleichung : j = ρ = ɛ E Definiere damit den Maxwellschen Verschiebungsstrom: E j v ɛ Damit verändert sich das Ampèresche Gesetz folgendermaßen: 9 B E = µ j + µ ɛ Das Hinzufügen behebt auch das Problem welche Fläche welchen Strom einschließt, wie es bei einem Plattenkondensator auftritt, der aufgeladen wird. 3 Vollständige Maxwellgleichungen 3. Polarisationstrom In einem Medium tritt im zeitabhängigen Fall noch ein Polarisationsstrom auf. Betachtet man ein kurzes Stück des Mediums mit gebundenen Oberflächenladungen ±σ b, dann erhält man di = σ b da j p = P Dieser zusätzliche Strom muss natürlich in den Maxwellgleichungen mit eingerechnet werden: B = µ j f + j b + j p + j v = µ j f + M + P E + µ ɛ H = j f + D 3

4 3. Zusammenstellungung der Maxwellgleichungen Im Vakuum: E = ρ ɛ E = B 3 B = 4 B = µ j + µ ɛ E 5 In Materie: D = ρ f 6 E = B 7 B = 8 H = j f + D 9 4 Erhaltungsgrößen Neben der Kontinuitätsgleichung, die die Ladungserhaltung zum Ausdruck bringt, gibt es weitere solcher Größen für elektromagnetische Felder. 4. Energieerhaltung Die infinitesimale Arbeit, die an Ladungen q geleistet wird, ist dw = F d l = q E + v B v = qe v dw = V E jdv Nach einigen Umformungen und Produktregelidentitäten erhält man schließlich das Theorem von Poynting: dw = d ɛ E + µ B dv E B d a 3 V µ S }{{} Energiedichte des em. Feldes u em Dabei ist der Poyniting-Vektor S ein Maß für die Energiemenge, die pro Zeit und pro Fläche aus dem Volumen heraus oder ins Volumen hinein fließt, also eine Energiestromdichte: S µ E B 3 Die Leistung kann beispielsweise an Ladungen übertragen werden, die mit der Zeit mechanische Energie gewinnen oder verlieren. Setzt man an: dw = V u mechdv erhält man: d u mech + u em dv = S d a = SdV V S V Da dies für beliebige Volumina gilt, kann man das zu differentiellen Version zusammenfassen, die die Energieerhaltung beschreibt: u mech + u em + S = 3 4

5 4. Impulserhaltung Ausgangspunkt hier ist nicht die infinitesimale Arbeit, wie bei der Energiedichte, sondern die Kraftdichte f pro Volumen: F = E + v B ρ f = ρe + j B V Jetzt führen wir den Maxwellschen Spannungstensor ein: T ij ɛ E i E j δ ije + B i B j µ δ ijb 33 Zum Beispiel: T xx = ɛ E x Ey Ez + B µ x By B z oder T xy = ɛ E x E y + µ B x B y Man kann einen beliebigen Vektor a mit dem Spannungstensor T multiplizieren: a T j 3 a i T ij 34 Insbesondere gilt für die Divergenz der j-ten Komponente: [ T j = ɛ E E j + E E j ] x j E + i= µ [ B B j + B B j ] x j B Der Spannungstensor T repräsentiert physikalisch die Kraft pro Oberflächeneinheit. T ij ist die Kraft in der i-ten Richtung auf ein Flächenelement, das in der j-ten Richtung orientiert ist. Die Diagonalelemente repräsentieren Drücke und die Nicht-Diagonalelemente Scherungen. Nach einigen Umformungen mit Produktregeln und doppelten Kreuzprodukten erhält man schließlich mit dem Poynting- Vektor S: f = T ɛ µ S F = S d T d a ɛ µ V Setzt man nun noch das zweite Newtonsche Gesetz an: F = d Gleichung 36 folgendermaßen interpretieren: d p mech d = ɛ µ SdV V }{{} Impuls des em. Feldes 35 SdV 36 p mech kann man + T d a 37 S 5

6 Das zweite Integral stellt ein Maß für den Impuls dar, der im elektromagnetischen Feld steckt und aus dem Volumen V transportiert wird. Analog zur Energiedichte kann man eine Impulsdichte einführen: em = µ ɛ S 38 Da obige Integralgleichung für beliebige Volumina gilt, kann man das Ganze wieder in differentieller Form aufschreiben: mech + em T = 39 Diese Gleichung beschreibt die lokale Impulserhaltung. T spielt dabei die Rolle der Stromdichte und beschreibt den Impuls, der pro Zeit und Fläche von den Feldern transportiert wird. Analog dazu kann man auch eine Drehmomentdichte l em aufstellen: ] l em = r em = ɛ [ r E B 4 Wenn man sich in einem Medium befindet muss man folgende Ersetzungen durchführen: S = E H 4 u em In linearen Medien gilt außerdem: u em = 5 Retardierte Potentiale = E D + H B 4 em = D B 43 E D + B H 44 Ziel dieses Abschnitts ist es allgemeine Lösungen für die Maxwellgleichungen zu finden. Dazu muss man ein System gekoppelter, linearer, partieller Differentialgleichungen lösen. Etwas leichter ist es, wenn man nicht direkt nach den Felder sucht, sondern zuerst das skalare Potential V und das Vektorpotential A berechnet. 5. Die Potentialformulierung Man kann ein Vektorfeld nach dem Helmhotzschen Satz eindeutig bestimmen, wenn man seine Divergenz, seine Rotation und die Randbedingungen kennt. Da B = kann das magnetische Feld weiterhin als B = A 45 dargestellt werden, da es ein reines Rotationsfeld ist. Probleme macht das elektrische Feld, denn E = B im Allgemeinen. Damit gilt nicht mehr: 6

7 E = V Setzt man jedoch 45 in die dritte Maxwellgleichung ein, erhält man ein rotationsloses Feld: E + A = E = V A 46 Auf diese Weise lassen sich die Felder über die Potentiale ausdrücken. Die Darstellung über die Poteniale erfüllt automatisch die homogenen Maxwellgleichungen 3 und 4. Was passiert mit den beiden anderen Maxwellgleichungen und 5? Einsetzen liefert: V + A = ρ 47 ɛ A µ ɛ A 5. Die Lorentz-Eichung A V + µ ɛ = µ j 48 Die Potentiale V und A sind nur Hilfsgrößen, die selbst keine physikalische Bedeutung haben. Aus diesem Grund können wir sie nach unseren Wünschen verändern, solange die physikalischen Felder E und B erhalten bleiben. Wenn wir zwei passende Potentiale gefunden haben, erlaubt uns die Eichfreiheit zwei neue Potentiale zu wählen: A = A + λ V = V λ 49 wobei λ eine beliebige, glatte Funktion ist. Wir nutzen das um die Divergenz des Vektorpotentials in der Lorentz-Eichung festzulegen: A = µ ɛ V 5 Angewendet auf die beiden Gleichungen 46 und 47 erhält man zwei inhomogene Wellengleichungen für die Potentiale: A µ ɛ A = A = µ j 5 V µ ɛ V = A = ɛ ρ 5 6 Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen Da sich elektromagnetische Signale mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten, spürt man am Punkt r nicht die Ladungs- und Stromverteilung zum jetzigen Zeitpunkt t, sondern die Werte von ρ und j zum retardierten also bereits vergangenen Zeitpunkt t r : t r t r r 53 c 7

8 Als Lösung für die Potentiale erhält man: V r, t = 4πɛ ρ r, t r r r dv 54 A r, t = µ j r, t r 4π r r dv 55 Eine exakte mathematische Herleitung verwendet Greensche Funktionen, die den d Alambert-Operator in gewissem Sinne umkehren. Weiter Lösungen wären die sogenannten avancierten Potentiale, die unter dem Integral nicht zur Zeit t r sondern zur Zeit t a = t+ r r c ausgewertet werden. Diese widersprechen jedoch dem Kausalitätsprinzip, da sie auf Ereignisse aus der Zukunft aufbauen t < t a. Die Felder selbst müssen nun noch aus den Potentialen berechnet werden. Der Vollständigkeit halber hier die Jefimenko Gleichungen für die Felder: E r, t = V A = 4πɛ [ ] ρ r, t r r r 3 + ρ r, t r j c r r r r r, t r c r r dv 56 B r, t = A = µ [ ] j r, t r j 4π r r + r, t r c r r dv 57 8