Elektrodynamische Wellen

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1 Elektrodynamische Wellen Hannah Vogel Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

3 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik Magnetik Lorentz-Kraft 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

4 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik experimentelles Grundgesetz der Elektrik Die elektrische Kraft F E wird durch das Coulomb sches Gesetz beschrieben: F E = q 1q 2 4πɛ 0 r 1 r 2 r 1 r 2 3, wobei q 1 bzw. q 2 stationären Punktladungen bei r 1 bzw. r 2 sind und und ɛ 0 die elektrische Permitivität des Vakuums ist. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

5 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik Das elektrische Feld Definition des elektrische Feld E: F = qe Daher folgt: Es gilt das Superpositionsprinzip. Ladungsdichte ρ(r): E = E r0,q 0 (r, q) = 1 q F = q 0 4πɛ 0 r r 0 r r 0 3. ρ(r) := 1 V wobei V ein Raumvolumen um r ist. V q bzw. stetig: ρ(r) := dq dv, Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

6 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Magnetik 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik Magnetik Lorentz-Kraft 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

7 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Magnetik experimentelles Grundgesetz der Magnetik Biot-Savart-Gesetz: Magnetische Kraft F B zwischen zwei beliebigen stromtragenden, geschlossen Schleifen C 1 und C 2 : F B = µ 0I 1 I 2 dr 1 (dr 2 (r 1 r 2 )) 4π C 2 r 1 r 2 3 mit: - r 1 und r 2 sind Punkte auf den Kurven C 1, bzw. C 2. C 1 - µ 0 ist die magnetische Permitivität des Vakuums. - I 1, I 2 ist der Strom, der entlang C 1, bzw. C 2 fließt: I := dq dt. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

8 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Magnetik Das magnetische Feld Erinnerung an das Biot-Savart-Gesetz: F B = µ 0I 0 I 4π C 0 C dr (dr 0 (r r 0 )) r r 0 3 Definition des magnetischen Feldes B: df B = Idr db db = µ 0 4π I 0dr 0 r r 0 r r 0 3 B(r) := µ 0 dr 0 (r r 0 ) I 0 4π C 0 r r 0 3. Es gilt das Superpositionsprinzip. Stromdichte: I = F jdf bzw. interpretiert als Ladungsfluss: j(r) = ρ(r)v, wobei v = r t das Geschwindigkeitsfeld der Ladung q ist. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

9 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Lorentz-Kraft 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Elektrik Magnetik Lorentz-Kraft 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

10 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder Lorentz-Kraft Die Lorentz-Kraft Mit Idr = j(r)dv folgt: Idr = j(r)dv = C ρ(r)vdv = ρ(r)dv v = qv. Das elektrische und magnetische Feld ergeben gemeinsam die Lorentz-Kraft: F = F E + F B = qe + I dr B(r) = qe + q(v B), wobei v = r t C das Geschwindigkeitsfeld der Ladung q ist. Erinnerung: df B = Idr db. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

11 Die Maxwell schen Gleichungen 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 2. Maxwell sche Gleichung 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

12 Die Maxwell schen Gleichungen Maxwell s Gleichungen Die Maxwell schen Gleichungen sind: wobei c 0 := 1 µ0 ɛ 0 gilt. E = ρ ɛ 0, (1) B = 0, (2) E = B t, (3) B = µ 0 j + 1 c 2 0 E t, (4) Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

13 Die Maxwell schen Gleichungen 2. Maxwell sche Gleichung Dazu noch eine kleine Nebenrechung: 1 r r r 0 = 1 r (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = ( (2x 2x 0 ( 1 2 )) r r 0 3, y y 0 r r 0 3, z z 0 r r 0 3 )t (x x 1 0 ) = r r 0 3 (y y 0 ) (z z 0 ) = r r 0 r r 0 3 Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

14 Die Maxwell schen Gleichungen 2. Maxwell sche Gleichung 2. Maxwell sche Gleichung Mit I dr = j(r) dv folgt: B(r) = µ 0 I 0 dr 0 r r 0 4π C 0 r r 0 3 = µ 0 4π = µ 0 4π = µ 0 4π 2. Maxwell sche Gleichung: j(r 0 ) r 1 r r 0 dv 0 = µ 0 r j(r 0) r r 0 dv 0 = µ 0 4π r B = 0 1 j(r 0 )dv 0 r r r 0 1 r 4π r r 0 j(r 0) dv 0 j(r 0 ) r r 0 dv 0 Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

15 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Energie Polarisation 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

16 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Wir werden jetzt die Maxwell schen Gleichungen im Vakuum betrachten, nämlich die Gleichungen 1 bis 4 mit ρ = 0 und j = 0, sodass gilt: E = 0 (5) B = 0 (6) E = B t (7) B = 1 E c0 2 t (8) Graßmann-Identität: a (b c) = (a c)b (a b)c ( E) = ( E) ( )E Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

17 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Wellengleichung 2 E = 1 2 E c0 2 t 2 2 B = 1 2 B c0 2 t 2 Das elektrische Feld E und das magnetische Feld B sind Wellen mit Wellengeschwindigkeit c 0. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

18 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform von Horst Frank / Phrood / Anony - Horst Frank, Jailbird and Phrood, CC BY-SA 3.0, Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

19 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Ansatz: ebene Welle Wir betrachten ebene Lösungen der Wellengleichungen: E c (r, t) = E c0 e i(kr ωt) B c (r, t) = B c0 e i(k r ω t) mit - k, k R 3 beliebige Wellenvektoren, - ω, ω beliebige Kreisfrequenzen und - E c0, B c0 C 3 beliebige, konstante, Amplitudenvektoren. Die realen physikalischen Felder sind E(r, t) = Re(E c (r, t)), B(r, t) = Re(B c (r, t)) Ein schönes Applet zur ebenen Welle findet man hier: Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

20 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Die 3. Maxwellsche Gleichung E = B t liefert: d.h. E c = E c0 e i(kr ωt) x E c0x e i(k 1x+k 2 y+k 3 z ωt) = y E c0y e i(k 1x+k 2 y+k 3 z ωt) z E c0z e i(k 1x+k 2 y+k 3 z ωt) = ik E c0 e i(kr ωt)! = B c t = B c0e i(k r ω t) t = B c0 ( iω )e i(k r ω t) k E c0 e i(kr ωt) = ω B c0 e i(k r ω t) Damit folgt: B c0 = 1 ω k E c0, k = k und ω = ω Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

21 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Die 1. Maxwellsche Gleichung E = 0 liefert: 0 = E c (r, t) = E c0 e i(kr ωt) = ik E c (r, t) Also folgt: k E c (r, t) bzw. k E c0 Analog liefert die 2. Maxwellsche Gleichung B = 0 : k B c (r, t) bzw. k B c0 Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

22 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Die 4. Maxwellsche Gleichung B = 1 E c0 2 t liefert: Also folgt: B c = ik B c = i ω (k (k E c)) = i ω ((k E c)k (k k)e c ) = ik2 ω E c! = 1 E c c0 2 t = 1 E c0 e i(kr ωt) c0 2 t k 2 ω = ω c 2 0 ω 2 = c 2 0 k 2 *: Graßmann-Identität: a (b c) = (a c)b (a b)c = 1 c0 2 E c ( iω) Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

23 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Damit sind die Maxwell-Gleichungen vollständig gelöst. Für jeden Vektor k existieren zwei Lösungen mit Kreisfrequenzen ω = ω + = c 0 k bzw. ω = c 0 k und es folgt: E c = E c0 e ±i(kr ωt) B c = 1 ω k E c0e ±i(kr ωt) = 1 c 0 ˆk E c mit ˆk := k k Schöne Applets zu elektromagnetischen Wellen findet man hier: Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

24 Ebene Elektromagnetische Wellen Energie 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Energie Polarisation 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

25 Ebene Elektromagnetische Wellen Energie Allgemeines zur Berechnung der Leistung In einem geschlossenen System gilt: Leistung = d dt Energie. Also schauen wir uns zunächst die Leistung= Arbeit Zeit an. Es gilt: Arbeit = b a F dr, wobei r ein Weg von a nach b ist an dem die Kraft F verrichtet wird. Speziell zur Leistung in elektromagnetischen Wellen Erinnerung: Lorentz-Kraft F = qe + q (v B) Kraft pro Raumvolumgen F = ρe + ρ(v B) Leistung pro Raumvolumen W = d Arbeit = F dr = F v dt dt = E ρv +ρ (v B) v = E j }{{}}{{} j v B v Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

26 Ebene Elektromagnetische Wellen Energie Energie Leistung W V = E jdv V = d dt ( ɛ 02 E µ 0 B 2 dv ) 1 µ 0 V d dt ( ɛ 02 E µ 0 B 2 dv ) V V E B nds Daher ist die Energie, die in einem elektromagnetischen Feld gespeichert ist, gleich J = ɛ 0 2 E µ 0 B 2. P 0 := 1 µ 0 E B gibt den Energiefluss pro Flächeneinheit an. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

27 Ebene Elektromagnetische Wellen Energie Energieübertragungsgeschwindigkeit Die Gruppengeschwindigkeit, mit der Energie transportiert wird ist: c g = P 0 < J > = c k 0 k Wellengeschwindigkeit keine Dispersion (im Vakuum) Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

28 Ebene Elektromagnetische Wellen Polarisation 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform Energie Polarisation 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

29 Ebene Elektromagnetische Wellen Polarisation Die Vektoren E c, k und B c = 1 ω k E c bilden ein paarweise orthogonales System. Die Ebene, die k und E enthält, heißt Polarisationsebene. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

30 Ebene Elektromagnetische Wellen Polarisation E c = E c0 e ±i(kr ωt) Spezialfälle, wenn k R 3 : Falls E c0 a R 3 lineare Polarisation Falls Re(E c0 ) = Im(E c0 ) kreisförmige Polarisation Jede Welle kann in eine linear/kreisförmig polarisierten Wellen zerlegt werden: lineare Zerlegung: E c = Re(E c ) + Im(E c )i kreisförmiger Zerlegung: E c = 1 2 (1 + i)(re(e c) + Im(E c )) (1 i)(re(e c) Im(E c )) Ein schönes Applet zur Polarisation findet man hier: Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

31 Leiter und Isolatoren 1 Elektrische und Magnetische Kräfte und Felder 2 Die Maxwell schen Gleichungen 3 Ebene Elektromagnetische Wellen 4 Leiter und Isolatoren Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

32 Leiter und Isolatoren Leiter und Isolatoren Gase bei Raumtemperatur Vakuum Flüssigkeiten und Festkörper: perfekte Isolatoren: Elektronen sind fest gebunden kein Strom isotropische Leiter: Ohm sches Gesetz: j = σe mit σ = Leitfähigkeit des Materials Perfekte Leiter haben eine unendlich hohe Leitfähigkeit σ. Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33

33 Leiter und Isolatoren Quellen J.Billingham, A.C. King: Wave motion W. Nolting: Grundkurs theoretische Physik 3 T. Fließbach: Elektrodynamik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik II S. Brandt, H. Dahmen: Elektrodynamik, Eine Einführung in Theorie und Praxis E. Rebhan: Theoretische Physik: Elektrodynamik Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen / 33