T6 Elektrodynamik in Materie

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1 T6 Elektrodynamik in Materie T6. Die phänomenologischen Maxwell Gleichungen Wir wollen hier den Einfluss von Materie auf makroskopische elektromagnetische Phänomene beschreiben. Wir betrachten zunächst ein einfaches Beispiel. Ein Plattenkondensator sei mit Ladung Q aufgeladen. Zwischen den Platten sei Vakuum. Luft würde kaum einen Unterschied machen) Vakuum Dielektrikum - - Wir wissen: Die Spannung ist U = Q C. Jetzt schieben wir einen Isolator zwischen die Platten. Das elektrische Feld verschiebt die atomaren Ladungen ein wenig und erzeugt so Dipole. Diese erzeugen ein Feld E, das zu E entgegengesetzt ist. Das Feld zwischen den Platten E + E ist also kleiner als E, die Spannung nimmt ab, und da Q gleich bleibt, nimmt die Kapazität zu: U = Q C, C > C. Wir wollen dieses Beispiel jetzt etwas genauer betrachten. Die Maxwellgleichungen gelten natürlich auch in Materie, die ja nur eine bestimmte Ladungs- und Stromverteilung vorgibt. Wenn wir jetzt die wirklichen mikroskopischen Felder mit e, b bezeichnen, so gilt also div e = ρ q ǫ, div b = rot e = t b, rot b = µ j + c t e T6.) ρ q und j sind die wirklichen, mikroskopischen Ladungs- und Stromdichten. Diese variieren auf mikroskopischer Skala a m. Deshalb variiert auch e auf der Skala a. a A In der makroskopischen Physik interessiert uns aber diese mikroskopische Variation nicht. Jede makroskopische Messung mittelt über diese mikroskopischen Fluktuationen, denn die T6 -

2 Ausdehnung des Messgeräts ist viel größer als a. Wir müssen also gemittelte makroskopische Felder definieren. Wir definieren eine Gewichtsfunktion f r) mit folgenden Eigenschaften: f r), f r) = für r > A m a A 3 m T6.) a f r), d 3 r f r) =. Die gemittelten makroskopischen Felder sind E r,t) = d 3 r f r r ) e r,t) B r,t) = d 3 r f r r ) b r,t). T6.3) Diese Mittelung beseitigt die mikroskopischen Fluktuationen. In der obigen Abbildung wurde als mikroskopische Funktion ex) =.5.3 x+sin x+ 3 sin 5 π x)+ 5 cos6 π x) + cos 3 π x) gewählt. Die Gewichtsfunktion ist fx) = 5 6 x ), x A =. Die Mittelung beseitigt im wesentlichen die rasch oszillierenden Terme sin5 π x), cos6 π x), und ersetzt cos 3 π x) durch den Mittelwert. Jetzt mitteln wir die Maxwell Gleichungen, z.b. = div b = 3 d 3 r f r r ) r α α= b α r,t). Nun gilt d 3 r f r r ) r b α r,t) α = d 3 r r f r r ) b α r,t) Die Randterme verschwinden wegen f = für r > A) α = d 3 r f r r ) b α r,t) r α Es folgt = d 3 r f r r ) r b r,t) = r d 3 r f r r ) b r,t). oder div B =. Das gemittelte Feld E ist das Feld E + E in der oben durchgeführten einfachen Betrachtung des Plattenkondensators. T6 -

3 Genauso geht es für alle anderen Terme, die e oder b enthalten. Definieren wir noch die gemittelten Ladungs- und Stromdichten: ˆρ q r,t) = d 3 r f r r ) ρ q r,t) T6.4) ˆ j r,t) = d 3 r f r r ) j r,t). So erhalten die gemittelten Maxwell Gleichungen die Form div E = ˆρ q ǫ, div B = rot E = t B, rot B = µ ˆ j + c t E. T6.5) Um einen Ausdruck für ˆρ q zu gewinnen, teilen wir die mikroskopische Ladungsdichte auf: ρ q = ρ int) q + ρ ext) q. sind die uns explizit bekannten, von außen eingebrachten Ladungen. Die Mittelung verschmiert diese Ladungen über ein Volumen mit Durchmesser A, aber da A klein gegen die makroskopischen Abstände ist, können wir auch nach der Mittelung ˆρ ext) q ρ ext) q als die explizit eingebrachte äußere Ladungsdichte betrachten. ρ ext) q ist die interne Ladungsdichte der Materie, die auf der Skala a variiert. Um zu sehen, was die Mittelung ergibt, wollen wir ein schematisches Beispiel betrachten. ρ int) q Wir betrachten ein einzelnes Molekül, bestehend aus Ladungen ± q im Abstand a -, also einen Dipol. Mikroskopische Ladungsdichte ρ Mol) q r ) = q δ r a e) δ r + a e)). Mittelung ergibt d 3 r f r r )ρ q Mol) r ) = q f r a e) f r + a e)) = q f r) a e r f r) f r) a ) e r f r) + Oa 3 ), Taylorentwicklung), = q a e r f r) + O a 3 ) q a e = d: Dipolmoment des Moleküls. T6-3

4 Da d von r unabhängig ist, können wir weiter schreiben d r f r) = r f r) d ). Dies ist der führende Beitrag unseres Moleküls zur gemittelten Ladungsdichte. Unser Molekül war am Ort r = lokalisiert. Um dies deutlich zu machen, schreiben wir das Ergebnis als r d 3 r f r r ) d δ r ). Ein Dielektrikum besteht aus vielen molekularen Dipolen. Molekül Nummer j befinde sich am Ort r j und habe die Dipolstärke d j. Sein Beitrag zur gemittelten Ladungsdichte ist also r d 3 r f r r ) d j δ r r j ). Falls das von außen angelegte Feld zeitabhängig ist, wird auch die durch dieses erzeugte Dipolstärke zeitabängig sein: d j = d j t). Wir definieren nun die Polarisation des Dielektrikums als P r,t) = d 3 r f r r ) d j δ r r j ). T6.6) j Sie ist also die gemittelte lokale Dipolstärke. Damit erhalten wir für die gemittelte Ladungsdichte ˆρ q r,t) = div P r,t) + ρ ext) q r,t). T6.7) Eine analoge - allerdings kompliziertere - Betrachtung liefert ˆ j r,t) = rot M r,t) + t P r,t) + j ext) r,t). T6.8) M r, t) ist die Magnetisierung. Im Rahmen der klassischen Physik beschreibt sie den gemittelten Effekt von in den Molekülen fließenden Ringströmen. Wirklich zu verstehen ist sie erst in der Quantenmechanik, denn solche Ringströme gibt es eigentlich nicht. Der Term t P beschreibt die Ströme, die zur Änderung des Dipolmoments führen. Er sorgt dafür, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. Betrachten wir nun die Gleichung div E = ˆρ q = div ǫ ǫ ) P + ρ ext) q, so sehen wir, dass wir div E und ǫ div P zusammen fassen können. Dies definiert ein neues Feld D, das als dielektrische Verschiebung bezeichnet wird. D = E + ǫ P. T6.9) Ebenso definiert man H = B µ M. T6.) T6-4

5 H wird allgemein als Magnetfeld bezeichnet, B heißt magnetische Induktion. Mit T6.8)- T6.) erhält man aus rot B = µ ˆ j + c t E rot H = µ j ext) + µ P t + }{{ c t} D c t E. Damit erhalten die makroskopischen Maxwell Gleichungen die Form div D = ǫ ρ ext) q, div B = rot E = t B, rot H = µ j ext) + c t D. Dies sind die Gleichungen, die die gemittelten Felder erfüllen. T6.) Um mit diesen Gleichungen etwas anzufangen, müssen wir noch den Zusammenhang zwischen D bzw. P) und E und zwischen H bzw. M) und B kennen. Dieser hängt vom Material ab. Es gibt Substanzen, für die auch ohne äußeres B-Feld die Magnetisierung von Null verschieden ist: B =, M = M. Dies sind Ferromagneten - die bekannten Permanentmagneten. Ebenso gibt es Ferroelektrika: E =, P = P. Solche Substanzen wollen wir hier nicht betrachten. Wir beschränken uns auf M =, P =. Dann wird die Polarisation nur durch das äußere E-Feld erzeugt, das die Ladungen in den Molekülen verschiebt. In einfachster Näherung schreiben wir P r,t) = χ e E r,t). T6.) Die Konstante χ e ist die elektrische Suszeptibilität, und T6.) ist der erste Term einer Taylorentwicklung nach E. Höhere Terme braucht man im allgemeinen nicht zu betrachten - außer man hat es mit extremen E-Feldern zu tun wie sie bei höchst intensiven Lasern auftreten. Solche Effekte der nichtlinearen Optik sind heute ein sehr aktuelles Forschungsgebiet). Damit erhalten wir aus Gleichungen T6.9), T6.) D r,t) = ǫ E r,t). T6.3) ǫ = χ e ǫ T6.4) ist die Dialektrizitätskonstante des Materials. Ebenso schreiben wir H r,t) = µ B r,t), T6.5) T6-5

6 mit der Permeabilität µ. Empirisch stellt sich heraus, dass Gl.T6.3) die meisten Substanzen sehr gut beschreibt. Allerdings muss man sie für Kristalle je nach Struktur etwas verallgemeinern. Die Polarisierbarkeit kann von der Richtung im Kristall abhängen. Dies wird durch den Dialektrizitätstensor ǫ αβ beschrieben, und T6.3) erhält die Term D α r,t) = 3 ǫ αβ E β r,t), α =,,3. β= Dies ist die Ursache des Phänomens der Doppelbrechung. Wir werden uns hier auf isotrope Substanzen beschränken, in denen Gl. T6.3) gilt. Gleichung T6.5) ist weniger nützlich. Es stellt sich heraus, dass für unmagnetische Materialen µ sehr nah bei µ = ist, so dass die Unterscheidung zwischen B und H eigentlich überflüssig ist, wenn man nicht penibel nach speziellen Effekten sucht. Hingegen bricht für magnetische Materialen z.b. Eisen) die lineare Näherung T6.5) schon für sehr kleine B- Felder zusammen und man muss die volle nichtlineare Funktion M = M B) diskutieren. Mit all diesen Komplikationen können wir uns hier nicht befassen. Wir werden im Weiteren die Gleichungen T6.), T6.3), T6.5) zu Grunde legen, die viele Dielektrika Glas, Kunststoffe) sehr gut beschreiben. T6. Wellen in Dielektrika Wir betrachten hier die homogenen makroskopischen Maxwell Gleichungen: ρ ext) q =, j ext) =. Eliminieren wir D und H in linearer Näherung T6.3), T6.5), so erhalten wir aus T6.) div E =, div B = rot E = t B, rot B = µ ǫ c t E. T6.6) Dies sind aber die selben Gleichungen wie im Vakuum. Nur die Phasengeschwindigkeit c ist durch c/ µ ǫ ersetzt. Man definiert den Brechungsindex n = µ ǫ. T6.7) Dass n wirklich der Brechungsindex ist, werden wir in 6.3 sehen. Wir halten fest: Im isotropen) Dielektrikum haben elektromagnetische Wellen denselben Charakter wie im T6-6

7 Vakuum. Es sind transversal polarisierte Wellen. Nur die Phasengeschwindigkeit ist geändert: cn) = c n. T6.8) Dies bedeutet auch, dass die Dispersionsrelation der ebenen Wellen abgeändert ist: ω = c µ ǫ k = c n k, T6.9) oder, mit k = π/λ ω = π c n λ. T6.) Es ist klar, dass wir hier die Materie auf rein phänomenologischem Niveau behandeln. Vergleicht man mit dem Experiment, so sieht man, dass man die Beschreibung modifizieren muss. Die Dielektrizitätskonstante ǫ - und damit der Brechungsindex - hängt im Allgemeinen von der Wellenlänge λ ab. Dies führt auf das Phänomen der Dispersion: Wellen verschiedener Wellenlänge, d.h. mit verschiedenen k, werden unterschiedlich stark gebrochen. Die Dielektrizitätskonstante wird also zu einer Funktion ǫ = ǫk), und damit wird die Frequenz eine nichtlineare Funktion von k = k ωk) = ck µ ǫk). T6.) Die Ursache dieser Komplikation ist leicht zu verstehen. Die Dielektrizitätskonstante bechreibt den gemittelten Effekt der molekularen oder atomaren Dipole, die durch das äußere Feld E erzeugt werden. Oszilliert das Feld mit Frequenz ω, so werden auch die Dipole mit Frequenz ω oszillieren. Die Amplitude dieser Schwingungen und damit das Dipolmoment wird von ω abhängen: Wenn wir dicht bei einer Eigenfrequenz des mikroskopischen Systems sind, wird sie besonders groß, wie wir im ersten Semester gelernt haben. Wir wollen die Konsequenzen für die Ausbreitung eines Wellenpakets an einem einfachen Beispiel illustrieren. E = Ex,t) habe die Form Ex,t) = e π E + dk e k k ) /Γ k e ik x ωk)t). T6.) Dies ist ein Gauß-Paket der Breite Γ k im k-raum. Das Maximum liegt bei k. Im Bereich, in dem e k k ) /Γ wesentlich von Null verschieden ist, möge ω k ) nur wenig variieren, so dass wir um k entwickeln dürfen ωk) = ωk ) + k k ) dωk ) dk + O k k ). T6.3) Bemerkung: Diese Definition von Γ k unterscheidet sich von der in 4.3, Beispiel B4. verwendeten von einem Faktor. Der Grund ist, dass wir dort E betrachtet haben, hier aber E selbst diskutieren. T6-7

8 Einsetzen in T6.) ergibt + E Ex,t) = e dk exp [ k k ) π Γ k + ik x it ωk ) + k k ) dωk )] ) dk + Substitution k k = k ). = e E π e i k x ωk )t) dk exp [ k + ik Γ k x dωk ) dk )] t. Mit der Notation Γ x = Γ k. T6.4) ergibt das Integral 3 π exp Γ x x dωk ) Γ x d k ). Damit folgt für das physikalische Feld E phys) = Re E E phys) x,t) = e E cos k x ωk )t) e x d ωk ) t Γx d k T6.5) Γx Dies ist eine oszillierende Funktion, deren Amplitude mit einer Gauß-Funktion der Breite Γ x moduliert ist. Die Flächen konstanter Phase k x ωk )t = const bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit c ph = ωk ) k = Das Maximum der Amplitude liegt bei c µ ǫk ) = c nk ). T6.6) x = dωk ) dk t, es bewegt sich also mit der Gruppengeschwindigkeit c gr = dωk ) dk. T6.7) Geht man in der Taylorentwicklung T6.3) zu höheren Ordnungen, so sieht man, dass sich auch die Form des Wellenpaketes mit der Zeit ändert. Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit stimmen nur überein, wenn der Brechungsindex von der Wellenlänge λ = π/k unabhängig ist: nk) = n = const. 3 So ein Integral tauchte auch schon in Beispiel B4. auf. T6-8

9 Dann gilt ω = c n k und es folgt Im Allgemeinen gilt c gr = dω dk = c n = c ph. c gr c ph. T6.8) T6.9) und für die Physik ist die Gruppengeschwindigkeit die wichtigere Größe. Für ein allgemeines Wellenpaket, dessen Schwerpunkt im Fourierraum bei k s liegt, ist sie durch c gr = k ω k ) k= ks T6.3) definiert. Sie gibt an, wie sich der Bereich verschiebt, in dem die Amplitude E des Wellenpakets wesentlich von Null verschieden ist. Da für die Energiedichte w gilt w E, ist c gr die Geschwindigkeit mit der die Energie wandert. Es ist auch die Geschwindigkeit, mit der wir Information übertragen können. Wir erhalten die in einem Wellenpaket irgendwie kodierte Information Radio, Fernsehen) erst, wenn das Wellenpaket bei uns angekommen ist. Zum Abschluss betrachten wir noch die Energiedichte einer Welle im Dielektrikum. Das ist sehr einfach. Wir setzen in den Maxwellgleichungen T6.6) c = ǫ µ : div E =, div B =, rot E = t B, rot B = ǫ ǫ µ µ t E, und wir vergleichen mit den Maxwellgleichungen im Vakuum T4.7): div E =, div B =, rot E = t B, rot B = ǫ µ t E, Offensichtlich müssen wir in den Ergebnissen aus T4.6, die im Vakuum gelten, nur ǫ durch ǫ ǫ und µ durch µ µ ersetzen. Aus T4.73) erhalten wir für die Energiedichte im Dielektrikum T4.74) ergibt für die Energiestromdichte w r,t) = ǫ ǫ E r,t) + µ µ B r,t). T6.3) Nach wie vor gilt die Kontinuitätsgleichung σ r,t) = µ µ E r,t) B r,t). T6.3) w r,t) + div σ r,t) =. t T6.33) T6-9

10 Die gemittelte Energiedichte w und die gemittelte Energiestromdichte einer ebenen Welle ergeben sich aus T4.77), T4.78): w = σ = ǫ ǫe ǫ ǫ µ µ w k k = c n w k k. T6.34) T6.3 Randbedingungen an den Oberflächen von Dielektrika, Reflektion, Brechung Wenn Licht auf eine Glasfläche trifft, so wird es teilweise reflektiert, und der in das Glas eindringende Teil wird gebrochen. Im ersten Semester haben wir Reflektionsgesetz und Brechungsgesetz schon aus Newton s Korpuskel-Modell des Lichtes hergeleitet. Wesentlich war dabei die Erhaltung der Energie und der Impulskomponente parallel zur Oberfläche. Allerdings war nicht zu verstehen, wieso ein und derselbe Lichtstrahl sowohl reflektiert als auch gebrochen wird. Jetzt wollen wir diese Phänomene im Rahmen der Elektrodynamik behandeln. Hierzu müssen wir zunächst überlegen, welche Bedingungen die Felder an der Grenzfläche erfüllen, die zwei Dielektrika trennt. Da wir am Ende der Betrachtung zu differenziell kleinen Flächenstücken übergehen werden, können wir die Grenzfläche als eben betrachten, und so orientieren, dass die Flächenormale in Richtung e zeigt. Wir betrachten einen kleinen Quader der von der Grenzfläche geschnitten wird. 4 Die Fläche δ f = δ F e liegt im Dielektrikum, Normalenvektor e, δ F = δ f e liegt im Dielektrikum, Normalenvektor + e. Die Dicke in e -Dichtung ist a. Wir integrieren die Maxwell Gleichung div B = über diesen Quader und verwenden den Gauß schen Satz = Ω d 3 r div B = F df B. Wir können a beliebig klein wählen. Daher fällt der Beitrag der Flächen der Breite a weg und wir erhalten df e B df e B =. δ f δ f Da wir δ f beliebig klein machen können, dürfen wir B über die Flächen als konstant annehmen. In Medium sei B = B ), in Medium sei B = B ). Es folgt δ f e B ) e B )) = 4 Die Diskussion folgt genau den Schritten der Bestimmung der Oberflächenladung in T.3. T6 -

11 oder e B ) = e B ). Die Normalkomponente von B ist auf der Grenzfläche stetig. T6.35) Wir wenden dasselbe Argument auf die Gleichung div D = ǫ ρ ext) q δ f e D ) e D )) = lim ǫ a Ω d 3 r ρ ext) q r,t). an und finden Rechts steht jetzt die auf der Oberfläche sitzende Ladung. Für δ f erhalten wir e D ) r,t) e D ) r,t) = ǫ σ r,t), T6.36) wobei σ r,t) die Flächen-)Dichte der Oberflächenladungen ist. Falls die Flächenladungsdichte von Null verschieden ist, ist die Normalkomponente von D auf der Grenzfläche unstetig. Eine Flächenladungsdichte kann nur bei leitfähigen Dielektrika auftreten. In Isolatoren kann keine Ladung zur Oberfläche transportiert werden, σ ist Null und e D ist stetig. Weitere Randbedingungen folgen aus den Maxwell Gleichungen, die die Rotation enthalten. Wir betrachten jetzt ein kleines Rechteck, das von der Grenzfläche geteilt wird. Die Kanten der Länge b sind parallel zu e. Die Kanten s, s sind parallel zur Grenzfläche: s = δ l e, s = δ l e, e e =. Wir integrieren die Gleichung rot E = t B über die Fläche des Rechtecks und verwenden den Stokes schen Satz df rot E = d r E = df B t. F C B t ist sicher endlich. Deshalb verschwindet für b die rechte Seite, ebenso wie der Beitrag der entsprechenden Kanten zum Kurvenintegral. Machen wir nun noch δ l so klein, dass wir die Variation von E auf den Kanten s, s vernachlässigken können, so folgt δ l e E ) e E )) =, F also e E ) = e E ). T6 -

12 Da e ein beliebiger Einheitsvektor parallel zur Oberfläche ist, folgt: Die Parallelkomponente von E ist auf der Grenzfläche stetig. E ) = E ). T6.37) Führen wir dasselbe Argument für die rot H-Gleichung durch, so erhalten wir zunächst δ l e H ) e H )) = µ lim df j. T6.38) b F F schneidet die Oberfläche, und die Richtung von df d ist senkrecht zu e. Rechts steht also die Komponente senkrecht zu e eines Stromes, der in der Oberfläche fließt. In Isolatoren ist j, und wir erhalten: Auf der Grenzfläche zwischen zwei Isolatoren ist die Parallelkomponente von H stetig. Ist mindestens einer der Körper leitend, so ist H unstetig. Dies ist aber nur eine grobe Näherung, anwendbar für Substanzen mit sehr guter Leitfähigkeit. Damit im Limes b ein endlicher Betrag des Integrals df j übrig bleibt, muss die Stromdichte unendlich werden. Bei endlicher Leitfähigkeit ist dies nicht möglich. Die Oberflächenströme fließen immer F in einer Schicht endlicher Dicke und H ist stetig. Wir werden dies in T6.4 noch genauer betrachten. Übrigens spricht dieser Einwand nicht gegen die Existenz einer Oberflächenladung. Wir können Elektronen in einer auf makroskopischer Skala beliebig dünnen Schicht anhäufen. Jetzt können wir uns Reflektion und Brechung zuwenden. Wir betrachten folgende Situation. Der linke Halbraum x < ) sei mit Dielektrikum gefüllt, der rechte x > ) mit Dielektrikum. Von links falle eine ebene Welle, Wellenvektor k I ein. k I und der Normalenvektor e auf der Grenzfläche x = spannen die Einfallsebene auf, die wir mit der e 3 e Ebene y = ) identifizieren. Es wird eine reflektierte Welle, Wellenvektor k R und eine transmittierte Welle, Wellenvektor kt entstehen. Der Winkel zwischen e und k I sei ϑ, der zwischen k T und e sei ϑ, der zwischen e und k R sei ϑ R. T6 -

13 Das komplexe) E-Feld einer ebenen Welle im Dielektrikum mit Brechungsindex n = ǫµ hat die Form E r,t) = E )) exp i k r ωt, mit Das zugehörige B-Feld ist mit ω = c n k, k = k. B r,t) = B )) exp i k r ωt, B = ω k E. T6.39) Die Frequenzen aller drei Teilwellen unseres Problems müssen gleich sein; sonst können die Randbedingungen - etwa e B ) = e B ) - nicht für alle Zeiten erfüllt sein. Die Wellen haben also die Form einlaufend: reflektiert: transmittiert: E I = E )) I) exp i ki r ωt, k I = n ω c E R = E )) R) exp i kr r ωt, k R = n ω c T6.4) T6.4) E T = E )) T) exp i kt r ωt, k T = n ω. T6.4) c Die zugehörigen B-Felder folgen aus dem Obigen. Wir nehmen weiter an, dass beide Dielektrika Isolatoren sind, so dass weder Oberflächenladungen noch Oberflächenströme auftreten. Die Bestimmung von k R und k T ist sehr einfach. Wir werten zunächst die Randbedingung T6.35) aus: Die Normalkomponente von B ist stetig e BI r,t) + B ) R r,t) = e B T r,t), oder e B I) ei k I r F + B ) R) e i k R r F T) = e B e i k T r F. T6.43) Hier ist r F = y e + z e 3 ein beliebiger Vektor in der Grenzfläche. Damit diese Gleichung erfüllt werden kann, müssen alle Exponenten die gleiche r F -Abhängigkeit aufweisen. Also müssen die zur Trennfläche parallelen Komponenten aller k-vektoren gleich sein. ki = k + k I, e kr = k + k R, e T6.44) kt = k + k T, e. Alle k-vektoren liegen in der Einfallsebene. T6-3

14 Außerdem gilt Mit T6.44) folgt k I = n ω c = k R. k R, = k I,. Da die Welle reflektiert wird, ist nur die Lösung k R, = k I, T6.45) möglich. Es folgt sofort das Reflektionsgesetz ϑ R = ϑ. T6.46) Weiter gilt aber auch Es folgt das Brechungsgesetz k = k I sin ϑ = n ω c sin ϑ, k = k I sin ϑ = n ω c sin ϑ. sin ϑ sin ϑ = n n. T6.47) Wenn Sie diese Rechnung mit der Argumentation im Korpuskelmodel vergleichen, so stellen Sie fest, dass beide Herleitungen sehr ähnlich sind. Was damals der Impuls war, ist jetzt der Vektor k, und statt der Energieerhaltung verwenden wir die Erhaltung der Frequenz ω. Aber die Wellentheorie beschreibt sogar bei der einfachen Reflektion Effekte, die es nach der Korpuskelvorstellung gar nicht geben darf. Wir wissen, dass für n > n das Phänomen der Totalreflektion auftritt: Gl. T6.47) kann geschrieben werden als sin ϑ = n n sin ϑ. Da sin ϑ, kann diese Gleichung für sin ϑ > n n nicht erfüllt werden und es gibt keine transmittierte Welle. In der Korpuskelvorstellung bedeutet dies, dass die Lichtteilchen auf eine Potentialbarriere stoßen, die zu hoch ist als dass sie sie überwinden könnten. Die Dicke der Barriere ist hierbei völlig belanglos. Betrachten wir nun diese Situation in der Wellenbeschreibung. Wir wissen k T = k + k T, = n ω c. Andererseits gilt k = n ω c sin ϑ = n ω c n ) sin ϑ > k n T. } {{} > T6-4

15 Dies erzwingt Also ist k T, imaginär. k T, = n ω c [ ) ] n sin ϑ <. n k T, = i δ δ = n n ) ω sin ϑ >. c n Damit hat die Ortsabhängigkeit der transmittierten Welle die Form E T e i k r x/δ B T. Auch bei Totalreflektion dringt die Welle in das reflektierende Medium ein, wird allerdings in dem Medium exponentiell gedämpft. Newton Stellen wir uns jetzt vor, dass das Medium nur aus einer Schicht der Dicke D δ besteht, so wird auch auf der der einfallenden Welle abgewandten Seite der Schicht noch ein nicht zu vernachlässigendes Wellenfeld existieren, das sich weiter ausbreitet. Die Welle kann also eine Barriere durchdringen. Dies ist ein reiner Welleneffekt, den man auch durchaus experimentell nachweisen und nutzen kann. In der Quantenphysik wird Ihnen dies als Tunneleffekt wieder begegnen. Maxwell Bei streifendem Einfall ϑ π erhalten wir.. Totalreflektion an einer dunnen Barriere δ = c ω n n n ) ). Setzen wir n = Vakuum), ω c = π λ vak, so folgt δ = λvak π n ). Für eine Luftschicht zwischen zwei Glasschichten n.5) folgt δ λ vak 7, also für Licht λ vak 4 9 m) : δ m. Einen Luftspalt dieser Breite kann Licht also durchtunneln. Ist n kleiner, so ist δ größer. T6-5

16 Anders als im Korpuskelmodell können wir in der Elektrodynamik die Feldamplituden und damit die Intensität der reflektierten und transmittierten Wellen bestimmen. Z.B. haben wir Gl. T6.43) noch gar nicht voll ausgenutzt. Mit Gl. T6.44) können wir die Exponentialfunktionen heraus kürzen und erhalten e B I) + B R) ) = e B T). T6.48) Auch aus den anderen Randbedingungen fallen die Exponentialfunktionen heraus, da sie ja immer auf der Trennfläche x = gelten. Wir erhalten folgende Gleichungen Stetigkeit von e D = ǫ e E ǫ e E I) + E ) R) = ǫ e E T). T6.49) Stetigkeit von E Stetigkeit von H = µ B. E I), + E k), = E T),. T6.5) B I) µ, + ) B P), = µ B I),. T6.5) Zusammen mit der Beziehung zwischen B und E T6.39), bilden T6.48) T6.5) ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der reflektierten und der transmittierten Welle bei gegebener einlaufender Welle. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht schwer, aber länglich. Das Ergebnis sind die Fresnel schen Formeln. Wir spalten alle E-Vektoren auf gemäß E = E S) + E P). E S) steht senkrecht auf der Einfallsebene, E P) liegt in der Einfallsebene. T6.5) Fresnel sche Formeln E R,S) E I,S) E R,P) E I,P) E T,S) E I,S) E T,P) E I,P) = = n µ cos ϑ n µ cos ϑ n µ cos ϑ + n T6.53) µ cos ϑ n µ cos ϑ n µ cos ϑ n µ cos ϑ + n T6.54) µ cos ϑ = + ER,S) E I,S) = = n µ cos ϑ n µ cos ϑ + n T6.55) µ cos ϑ n µ cos ϑ n µ cos ϑ + n. T6.56) µ cos ϑ Damit haben wir Reflektion und Brechung für Isolatoren vollständig beschrieben. T6-6

17 Diese Gleichungen braucht man sich nicht zu merken, aber eine Konsequenz sollte man sich klar machen. Auch wenn der einfallende Strahl unpolarisiert ist, z.b. aus vielen Wellen besteht, deren Polarisationsrichtungen in der Ebene senkrecht zu k I gleich verteilt sind, so ist im Allgemeinen sowohl die reflektierte als auch die durchgehende Welle teilweise polarisiert. Die Polarisationsrichtungen sind nicht mehr gleich verteilt. So hat Molus 88 zufällig die Polarisation des Lichts entdeckt, indem er das Spiegelbild der Sonne in einem Fenster durch einen Kalkspatkristall betrachtete, der als Polarisationsfilter wirkt. Für einen speziellen Einfallswinkel ist der reflektierte Strahl sogar vollständig senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Dies wollen wir jetzt noch diskutieren. Wir suchen einen Einfallswinkel ϑ, den Brewsterwinkel, so dass E R,P) = ist. Setzen wir, wie für unmagnetische Materialien angemessen, µ = µ =, so erhalten wir aus T6.54) die Bedingung oder cos ϑ = n n cos ϑ, Brechungsgesetz: sin ϑ = n n n n sin ϑ Also erhalten wir oder n 4 Also gibt es einen solchen Winkel. n 4 sin ϑ = n n sin ϑ. sin ϑ = ) sin ϑ = n n, n n + = n n + n <. T6.57) Der Brechungsindex von Luft ist n, der von normalem Glas ist n.5. Dies ergibt sin ϑ.83, oder ϑ.98 ˆ 56. Für diesen Einfallswinkel ist also das an der Grenzfläche Luft-Glas reflektierte Licht vollständig senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Der Brewster- Winkel hat noch eine andere Besonderheit. Bei diesem Einfallswinkel stehen der reflektierte und der durchgehende Strahl senkrecht aufeinander. Wir wollen uns noch mit der Intensität der reflektierten bzw. transmittierten Welle befassen. Ein Maß für die Intensität ist die zeitgemittelte Energiestromdichte. Für eine ebene Welle gilt nach Gl. T6.34) σ = c n ǫ ǫ E k k. Das Verhältnis der Intensität der reflektierten Welle zur Intensität der einlaufenden Welle definiert den Reflektionskoeffizienten R. Genauer gesagt, wir müssen den auf die Trennfläche, T6-7

18 Normalenrichtung n F, einfallenden Strom σ I n F mit dem reflektierten Strom σ R n F vergleichen. Da nach Konstruktion die Feldkomponenten E S) und E P) senkrecht aufeinander stehen, folgt R = E R,S) E I,S) ) + ) + ) E R,P) E I,P) ). T6.58) Der Faktor c n ǫ ǫ fällt heraus, da beide Wellen im gleichen Medium laufen. Das gleiche gilt wegen Einfallswinkel = Reflektionswinkel für die Skalarprodukte k k n F. Der Transmissionskoeffizient T ist entsprechend das Verhältnis T = σ T n F. σ I n F T6.59) Ein Blick auf die Fresnel schen Formeln zeigt, dass R und T recht kompliziert vom Einfallswinkel abhängen werden. Immer aber muss gelten R + T =. T6.6) Dies ist Energieerhaltung: Der einlaufende Energiestrom teilt sich in den reflektierten und den transmittierten Strom auf. Wir wollen den Spezialfall senkrechten Einfalls betrachten: ϑ, ϑ. Wir setzen wieder µ = µ =. Aus T6.53), T6.54) folgt E R,P) E I,P) = n n n + n. Setzen wir dies in T6.58) ein, so folgt E R,S) E I,S) = n n n + n. ) n n R =. T6.6) n + n Um so größer der Unterschied zwischen den Brechungsindizes ist, um so stärker reflektiert die Grenzfläche. R hängt nicht davon ab, ob die einfallende Welle aus dem optisch dünneren oder aus dem optisch dichteren Medium kommt. Für eine Fensterscheibe n.5, n ) erhält man R = 5 =.4. Damit wird T für eine Grenzfläche T =.96, und für die Scheibe Sie lässt bei senkrechtem Einfall) also ungefähr 9 % des Lichts durch. 5 5 Beachten Sie, dass n = p ǫk)µ von der Wellenlänge abhängt. n.5 gilt für normales Tageslicht. T6-8

19 T6.4 Metallische Oberflächen An den Oberflächen leitfähiger Körper können Oberflächenladungen und Oberflächenströme auftreten. Um dies genauer zu studieren, betrachten wir ein Metall, das von Außen mit einer elektromagnetischen Welle bestrahlt wird. Wir nehmen zunächst an, dass die Leitfähigkeit σ des Metalls unendlich ist. Dann kann das elektrische Feld nicht eindringen. Es würde einen unendlichen Strom erzeugen. Statt dessen verschiebt es momentan die Ladungen so, dass im Inneren gilt E =. Ebenso wenig kann ein oszillierendes B-Feld eindringen. Es würde sofort Ströme anwerfen, die es nach der Lenz schen Regel kompensieren. Also gilt im Inneren auch B =. Damit folgt aus den Randbedingungen T6.37) und T6.35): Auf der Oberfläche eines idealen Leiters verschwinden die Tangentialkonponente von E und die Normalkomponente eines zeitlich variierenden Feldes B. Hier sollten wir stutzen. Wir wissen, dass ein zeitunabhängiges Magnetfeld ohne weiteres durch ein unmagnetisches) Metall hindurchgeht. Wieso soll dann ein auch nur langsam oszillierendes Feld vollständig abgeschirmt werden? Um dies genauer zu verstehen wollen wir das Problem in sehr einfacher Geometrie, aber ohne die Idealisierung σ =, behandeln. Im Halbraum x < sei Vakuum ǫ = = µ), der Halbraum x > sei mit einer leitfähigen Substanz ǫ >, µ =, σ > ) gefüllt. Aus dem Vakuum falle eine ebene Welle in e -Richtung ein. E I) x,t) = B I) E I) x,t) = e 3 c Im Metall erzeugt E einen Strom gemäß e E I) e i kx+ωt), e i kx+ωt), ω = ck j = σ E. x < Damit lauten die Maxwell Gleichungen im Metall x > ) in allgemeiner Form µ = ) T6.6) T6.63) div E = ǫ ǫ ρext) q, div B = rot E = t B, rot B = µ σ + ǫ ) c t E. Für unsere Geometrie vereinfachen sie sich aber erheblich. Auch im Metall wird E die Richtung e haben und nur von x und t abhängen. Die Frequenz kann sich nicht ändern. Entsprechendes gilt für B. Also machen wir den Ansatz E T) x,t) = e E T) i ωt x) e x > B T) x,t) = e 3 B T) x) e i ωt T6.64) T6-9

20 .. Ionenrumpfe,ortsfest Es folgt div E T) = y E T) x) e i ωt) =. Also muss ρ ext) q = gelten. Was bedeutet das? Mit unserem Ansatz gilt j = e jx), also div j =. Die Elektronen werden nur in e -Richtung hin- und hergeschoben, ohne das lokal eine Netto-Ladung ρ ext) q erzeugt wird. Influenzladungen treten nicht auf, da E parallel zur Oberfläche ist Mit unserem Ansatz sind damit die Gleichungen div E =, div B = erfüllt. Aus rot E = t B ergibt sich also ) ) e E T) ) x) = e e E T) x) = iω e 3 B T) x), x Elektronen,beweglich Die letzte Gleichung ergibt x ET) x) = iω B T) x). T6.65) Wir schreiben das als mit ) ) e e 3 B T) x) = µ σ iω ǫ ) x c }{{} e E T) x). e x BT) x) x BT) x) = i ω c ǫω)et) x), ǫω) = ǫ + i µ c σ ω = ǫ + i σ ǫ ω. T6.66) T6.67) ǫω) ist die komplexe Dielektrizitätskonstante des Metalls. Ihr Realteil ist die übliche reelle Dielektrizitätskonstante ǫ, ihr Imaginärteil beschreibt die endliche Leitfähigkeit. T6 -

21 Die Gleichungen T6.65), T6.66) sind leicht zu lösen. Wir differenzieren T6.66) nach x, verwenden T6.65), und erhalten eine Gleichung für B T). x BT) x) = i ω c ǫω) x ET) x) = ω c ǫω)bt) x). T6.68) Die allgemeine Lösung ist B T) x) = ae i ω c ǫ ω)x + be i ω c ǫω)x. Nun gilt Re ωǫ) = ǫ >, Im ǫω) = σ ǫ ω >, d.h. ǫω) liegt im ersten Quadranten der komplexen Ebene. Damit liegt auch ǫω) im ersten Quadranten, also Im ǫω) >. Damit fällt e i ω c ǫω)x mit wachsendem x exponentiell, während e i ω c ǫω)x exponentiell wächst. Die physikalisch sinnvolle Randbedingung ist Wir erhalten also lim x BT) x) =. B T) x) = ae i ω c ǫ ω)x. T6.69) E T) x) folgt aus Gl. T6.66): E T) x) = i c ω = ǫω) x BT) x) c ǫω) ae i ω c ǫ ω)x. T6.7) Damit haben wir das Verhalten der Felder im Metall. B T) x) e i kt) x x/δ E T) x), T6.7) mit k T) = ω c Re ǫω), δ = ω c Dies sind gedämpfte Wellen. δ ist die Eindringtiefe. Im ǫω). T6.7) Zur vollständigen Lösung des Problems müssen wir noch die Amplitude a aus den Randbedingungen an der Oberfläche bestimmen. Im Halbraum x < gibt es außer der einfallenden Welle T6.6) noch die reflektierte Welle E R) x,t) = B R) x,t) = e E R) e ikx+ωt) c e ) e E R) e ikx+ωt) T6.73) E R) = e 3 c e ikx+ωt) T6 -

22 Auf der Grenzfläche x = ist e E stetig. Also gilt E I) + E R) c = a. ǫω) T6.74) Da σ endlich ist, gibt es keine Oberflächenströme. Also ist auch die Komponente von H = µ B parallel zur Oberfläche stetig, und wegen µ = folgt, dass e 3 B stetig ist. E I) c ER) c = a. T6.75) Es folgt sofort E I) = ac + ), ǫ ω) oder a = c ǫω) + ǫω) EI) T6.76) E R) = E I) + + ǫω) EI). T6.77) Wir diskutieren jetzt dieses Ergebnis unter der Annahme σ ǫǫ ω. Für Kupfer und andere gut leitende Metalle ist σ ǫ ǫ von der Größenordnung 7 Herz. Also gilt diese Annahme bis zu sehr hohen Frequenzen, Licht 5 Herz). 6 Damit können wir unsere Ergebnisse vereinfachen Aus T6.73) folgt σ ǫω) = i ǫ ω σ i ǫ ω i ǫǫ ω σ = σ + i) ǫ ω. T6.78) δ = ω c σ ǫ ω = c σω ǫ = k T. 6 Lichtwellenlänge 4 9 m. Für wesentlich höhere Frequenzen, Wellenlängen 9 m bricht die makroskopische Theorie zusammen, da die Wellenlänge in die Größenordnung der atomaren Abstände kommt. T6 -

23 T6.77) ergibt a = c + ǫω) ) E I) c EI). Weiter folgt E R) E I) + E I) ǫω) E T) x) E I) ǫω) e i x/δ x/δ T6.79) B T) x) c EI) e i x/δ x/δ. Betrachten wir zunächst den Fall eines idealen Leiters: σ. Für ω gilt dann lim δ = lim σ σ lim σ Also dringen die Felder nicht in das Metall ein: c = σω ǫ ) ǫω) =. lim σ ET) x) = = lim σ BT) x). Dies bestätigt unsere Überlegungen zu den idealisierten Randbedingungen vom Beginn dieses Abschnitts. Weiter folgt E R) = E I). Die Grenzfläche ist ein idealer Spiegel, Reflektionskoeffizient R =. Wie ändern sich diese Ergebnisse im realen Fall σ <? Jetzt hängt das Verhalten sehr stark von der Frequenz ab. Betrachten wir zunächst den Limes ω. Dann gilt Mit T6.79) ergibt dies δ, ǫω). E R) + E I) = E T) x) = B T) x) = c EI = const. Auf der Oberfläche und im Leiter verschwindet das elektrische Feld und das Magnetfeld geht glatt durch. Wir haben das Verhalten der Felder gemäß Elektrostatik und Magnetostatik wiedergefunden. T6-3

24 Jetzt betrachten wir einen Zwischenbereich von Frequenzen, für den gilt ǫω) σ ǫ ω, endlich, δ = ω σ c ǫ ω sehr viel kleiner als makroskopische Abmessungen. Dann dringen die Felder in das Metall ein und werden dort exponentiell gedämpft. Die Amplitude von E T) x) ist sehr viel kleiner als die von cb T) x) Bild = Platzhalter In diesem Fall können wir wieder näherungsweise einfache Randbedingungen annehmen: Da E T) praktisch verschwindet, können wir die Tangentialkomponente von E auf der Oberfläche gleich Null setzen. Da die Strom führende Schicht δ sehr dünn ist, können wir sagen, dass die Tangentialkomponente von H = B springt, um einen Betrag, der durch einen Oberflächenstrom gegeben ist. Schließlich sehen wir auch, dass die reflektierte Welle eine etwas kleinere Amplitude hat als die einfallende Welle. Der Reflektionskoeffizient ist E I) ) Re E R) R = ) E I Re ) 4 ǫ ω ǫω) σ, ǫ R angenommen). Also hängt der Reflektionskoeffizient eines Metalls direkt mit seiner Leitfähigkeit zusammen. Weil Silber eine hohe Leitfähigkeit hat, versilbert man Spiegel. Die Differenz zwischen der einfallenden Intensität und der reflektierten Intensität wird im Metall absorbiert, d.h. durch den Ohm schen Widerstand der in der Oberflächenschicht δ fließenden Ströme in Wärme verwandelt. Zum Schluss sei noch erwähnt, dass der hier diskutierte Effekt den Namen Skin Effekt trägt: Die Ströme fließen in einer dünnen Haut des Metalls. δ ist die Skin-Dicke. T6-4