Theoretische Physik C Elektrodynamik

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1 Universität Karlsruhe (TH WS 27/8 Theoretische Physik C Elektrodynamik V: Prof Dr D Zeppenfeld, Ü: Dr S Gieseke Klausur Nr 2 Name/Matrikelnummer/Übungsgruppe: Σ Aufgabe : Vergütungsschicht 4] Die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindex n und n 3 soll mit einer dünnen Schicht eines Mediums n 2 der Dicke d vergütet werden Die Schicht soll bewirken, dass ein monochromatischer Lichtstrahl der Wellenlänge λ beim Übergang von Medium nach Medium 3 nicht reflektiert wird, falls er senkrecht auf die Grenzfläche trifft Nehmen Sie an, dass es sich bei allen Medien um Isolatoren handelt Weiterhin sind die Permeabilitäten überall gleich (µ = µ 2 = µ 3 = µ Bestimmen Sie d und den Brechungsindex n 2 aus den Randbedingungen an den Grenzflächen Aufgabe 2: Felder im Medium = 8] Im folgenden Bild ist ein Zylinder dargestellt, der entweder homogen polarisiert ( X = P oder magnetisiert ist ( X = M Rechts daneben sind dazugehörige elektromagnetische Feldlinien skizziert Es gebe keine freien Ladungen oder Ströme X (a Welches der Felder E, D ist dargestellt, falls X = P? (b Welches der Felder B, H ist dargestellt, falls X = M? Begründen Sie die Antwort in beiden Fällen direkt durch die Maxwell Gleichungen und die entsprechenden Randbedingungen (bw

2 2 Theoretische Physik C Universität Karlsruhe, WS 27/8 Aufgabe 3: Magnetfeld einer azimuthalsymmetrischen Stromdichte = 4] Gegeben ist die Stromdichte j in Kugelkoordinaten j(r,θ,ϕ = j R r sinθ cosθ Θ(R re ϕ, mit der Stufenfunktion Θ(x unde ϕ = ( sinϕ, cosϕ, (a Berechnen Sie das Vektorpotential A(r für r > R Zeigen Sie, dass A(r die Form A(r = A r k sinθ cosθe ϕ hat Hinweis: r r = l l= m= l 4π 2l + wobei r < = min ( r, r, r > = max ( r, r (b Bestimmen Sie das B Feld für r > R r l < r l+ > Y lm (θ,ϕ Y lm (θ,ϕ, Aufgabe 4: Geboostete Wellen = 4] In einem Inertialsystem K misst ein Beobachter das elektromagnetische Feld E(x, t = E e x cos(k x, B(x, t = B e y cos(k x, wobei k µ = (ω/c,,, k, x µ = (ct,x und B = E /c Ein zweiter Beobachter bewegt sich mit einem System K parallel zur y Achse von K mit der Geschwindigkeit v > und misst die elektromagnetischen Felder E und B (a Bestimmen Sie E und B in K (b Drücken Sie das Quadrat des Feldstärketensors F µν F µν durch E und B aus (c Bestimmen Sie den Ausdruck E 2 B 2 c 2 im bewegten System K Formelsammlung Kugelflächenfunktionen: Y = 3 3, Y = 4π 4π cosθ, Y = 8π sinθeiϕ, Y 2 = 5 Y 2 = 8π sinθ cosθeiϕ, Y 22 = 4 ( 5 3 4π 2 cos2 θ 2 5 2π sin2 θe 2iϕ, Y l, m = ( m Y lm Rotation des Feldes A = (Ar, A θ, A ϕ in Kugelkoordinaten: A =er r sinθ θ (sinθa ϕ A θ A r ]+e θ ϕ r sinθ ϕ ] r r (ra ϕ +e ϕ r r (ra θ A ] r θ Transformation von E und B Feld: ( E = γ E +v B γ2 ( β E β, B = γ γ + ( B v E c 2 γ2 ( β B β γ +,

3 Universität Karlsruhe (TH WS 27/8 Theoretische Physik C Elektrodynamik V: Prof Dr D Zeppenfeld, Ü: Dr S Gieseke Lösungen zur Klausur Nr 2 Aufgabe : Vergütungsschicht 4] Da die Wellen senkrecht zu den Grenzflächen einfallen, müssen wir nicht zwischen verschiedenen Polarisationsrichtungen unterscheiden In Medium liege E entlang der x Richtung Das Licht fällt entlang der positiven z Richtung auf die Schicht Mit µ = µ 2 = µ 3 = µ können wir direkt die Brechungsindices n i in die H Gleichungen einsetzen Dann schreiben wir die einfallende Welle als (k E = E e x e i z ωt, B = n ( c E e y e i k z ωt Wir benutzen hier und im folgenden die Relation B = n c kk E Die reflektierte Welle läuft in e z Richtung und lautet dementsprechend E ( k = E e xe i z ωt, B = n ( c E e ye i k z ωt In Medium 2 haben wir auch eine einlaufende und eine reflektierte Welle, (k E2 = E 2 e x e i 2 z ωt, B2 = n ( 2 c E 2e y e i k 2 z ωt, E ( k 2 = E 2 e xe i 2 z ωt, B 2 = n ( 2 c E 2 e ye i k 2 z ωt In Medium 3 gibt es nur eine transmittierte Welle: (k E3 = E 3 e x e i 3 z ωt, B3 = n ( 3 c E 3e y e i k 3 z ωt An den Grenzschichten sollen die Parallelkomponenten von E und H Feld stetig sein Daraus erhalten wir vier Gleichungen Für die Grenzschicht 2: E + E = E 2 + E 2, n (E E = n 2(E 2 E 2, wobei wir direkt z = eingesetzt haben Für die Grenzschicht zwischen Medium 2 und 3 bekommen wir jeweils eine Phase dazu, E 2 e ik 2d + E 2 e ik 2d = E 3 e ik 3d, n 2 E 2 e ik 2d n 2 E 2 e ik 2d = n 3 E 3 e ik 3d Jetzt fordern wir E = Aus den 4 Gleichungen eliminieren wir zunächst (zb E und E 3 und haben damit ein relativ einfaches System von zwei Gleichungen für E 2, E 2, (n 2 n E 2 + (n 2 + n E 2 =, (n 2 n 3 e ik 2d E 2 (n 2 + n 3 e ik 2d E 2 =

4 2 Theoretische Physik C Universität Karlsruhe, WS 27/8 Wir interessieren uns für eine Bedingung an d und n 2 Daher fordern wir nur, dass dieses Gleichungssystem eine Lösung besitzt Die Koeffizientendeterminante muss also verschwinden Damit bekommen wir (n 2 n (n 2 + n 3 (n + n 2 (n 2 n 3 = e2ik 2d Da die linke Seite reell ist, muss auch die rechte Seite reell werden, also e ik 2d = ± Im Fall + bekommen wir die uninteressante Lösung n = n 3, also den Übergang zwischen zwei gleichen Medien ohne Reflexion Im anderen Fall bekommen wir und e 2ik 2d = k 2 d = (m + 2 π oder d = (2m + λ 2 4, (n 2 n (n 2 + n 3 = (n + n 2 (n 2 + n 3 n 2 = n n 3 Aus den Randbedingungen für die ebenen Wellen erhalten wir auch das Brechungsgesetz, in diesem Fall k 2 /k = n 2 /n und damit λ 2 = (n /n 2 λ 2 Damit lautet unser Ergebnis n 2 = n n 3, d = (2m + n n 2 λ 4 Aufgabe 2: Felder im Medium = 8] Das dargestellte Feld ist divergenzfrei, da die Anzahl der Feldlinien, die in ein Volumen hineinfließen auch wieder hinausfließt D(2 = σ Ohne Oberflächenladung ist = E (2, bzw D ( = ǫ /ǫ 2 D (2 Die Tangentialkomponente wird damit von innen nach aussen grösser (ǫ i > ǫ a, was auf der Skizze deutlich zu erkennen ist Es handelt sich also um das D Feld (a Für die dielektrische Verschiebung D = ǫ E + P gilt bei Abwesenheit von freien Ladungen D =, ist also divergenzfrei Während das elektrische Feld nicht divergenzfrei ist, E = P/ǫ, die Polarisationsladungen stellen neue Quellen für das elektrische Feld dar Weiterhin gilt beim Übergang von Medium ( nach (2 D ( die Senkrechtkomponente von D ( also stetig Während E (b Hier ist B divergenzfrei, denn es gilt immer B = = µ ( H + M Daraus ergibt sich auch, dass B and der Grenzfläche stetig ist Die Bedingung für die Tangentialkomponente ergibt sich aus der Rotationsgleichung Ohne Oberflächenströme ergibt sich hier, dass H stetig sein soll Damit muss aber B = µh einen Sprung machen, B ( = µ /µ 2 B (2 Auch hier wird die Tangentialkomponente dann von innen nach aussen grösser (µ i > µ a Es handelt sich hier also um das B Feld

5 Universität Karlsruhe WS 27/8 Theorie C 3 Aufgabe 3: Magnetfeld einer azimuthalsymmetrischen Stromdichte = 4] (a Wir berechnen direkt das Vektorpotential mit A(r = µ j(r 4π r r d3 r Wir setzen die Entwicklung von / r r nach Kugelflächenfunktionen (s Aufgabenblatt ein Da wir A nur für r > R suchen, gilt immer r> = r, r < = r Damit bekommen wir A(r = µ 2l + l,m r l+ Y lm(θ,ϕ d 3 r r l Ylm (θ,ϕ j(r =I Die Stufenfunktion beschränkt lediglich dier Integration Mit der Beobachtung 5 ( Y 2 (Ω + Y 2, (Ω = 8π sinθ cosθ e iϕ + e iϕ 5 = 2i sinθ cosθ sinϕ, 8π 5 Y 2 (Ω Y 2, (Ω = 2 sinθ cosθ cosϕ, 8π (Ω ist der Raumwinkel (θ,ϕ können wir den Integranden umformen, I = j R dr r l+3 R dω i(y 8π 2 (Ω + Y 2, (Ω 2 5 Y lm (Ω Y 2 (Ω Y 2, (Ω Das Integral über Ω lösen wir mit Hilfe der Orthogonalitätsrelation dω Y lm (ΩY l m (Ω = δ ll δ mm und erhalten insgesamt I = j R R l+4 2(l + 4 8π 5 i(δ l,2 δ m, + δ l,2 δ m, (δ l,2 δ m, δ l,2 δ m, Setzen wir nun in A(r ein, so bleiben uns wegen der Kronecker Symbole jeweils nur zwei Terme aus der Summe, beide mit l = 2 Das ergibt A(r = j R µ R π 5 5 r 3 A(r hat also die gesuchte Form i(y 2 (Ω + Y 2, (Ω (Y 2 (Ω Y 2, (Ω = j µ R 5 6r 3 2 sinθ cosθ sinϕ 2 sinθ cosθ cosϕ A(r = j µ R 5 3r 3 sinθ cosθe ϕ = A r 3 sinθ cosθe ϕ

6 4 Theoretische Physik C Universität Karlsruhe, WS 27/8 (b Wir berechnen B(r in Kugelkoordinaten direkt aus B = A in Kugelkoordinaten Da A(r = (,, A ϕ (r,θ tragen nur zwei Terme zur Rotation bei, B =er r sinθ θ (sinθa ϕ e θ r r (ra ϕ ( A 2 sinθ cos 2 θ =e r r sinθ r 3 + sin3 θ A r 3 e θ r = j µ R 5 ( (3 cos 2 3r 4 θ e r + 2 sinθ cosθe θ ( 2 sinθ cosθ r 3 Aufgabe 4: Geboostete Wellen = 4] (a k x ist ein Lorentz Skalar, also k x = k x Dav parallel zur y Achse,v = ve y giltv B = undv E = Damit ergibt sich für E einfach E = γ E = γe cos(k x e x Für B brauchen wire y e x = e z Wir erhalten durch Einsetzen in die Transformationsformeln (s Aufgabenblatt zunächst B = cos(k x γb e y + γ ve e z c 2 γ2 v 2 ] γ + c 2 B e y = B cos(k x (γ γ2 β 2 ] e y + γβe z γ + Weiterhin ist = {}}{ γ 2 ( β 2 γ + γ γ2 β 2 γ + = γ(γ + γ2 β 2 = γ + γ + Also bleibt als Ergebnis B = B cos(k x ] e y + γβe z (b Es gilt F µν F µν = F µν g µρ g νσ F ρσ = F F + F i g ρ + g iσ F ρσ + F i g iρ g σ + = F ρσ + F i j Die Vorzeichen kommen aus den Termen des metrischen Tensors, die in der Summe beitragen Weiterhin ist (F i 2 = (E i 2 /c und (F i j 2 = (B K 2 Damit ergibt sich für die 4 Terme F µν F µν = ( E/c 2 ( E/c 2 + 2( B 2 = 2 c 2 ( E 2 B 2 c 2 g iρ g jσ F ρσ (c Da F µν F µν ein Lorentz Skalar ist, muss gelten, dass Wir können die Probe machen: sowie E 2 B 2 c 2 = cos 2 (k x E 2 B 2 c 2 = E 2 B 2 c 2 E 2 B 2 c 2 = cos 2 (k x γ 2 E 2 E2 c 2 ( + γ2 β 2 c 2 E 2 E2 c 2 c2 ] ] =, = E 2 cos2 (k x γ 2 ( β 2 = =