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1 Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober 2008) Bearbeitungszeit: 150 Minuten Gesamtpunktzahl: 33 Punkte Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt, das Sie abgeben, Ihren Namen. Erlaubte Hilfsmittel: Ein beidseitig handbeschriebenes Blatt sowie die mathematische Formelsammlung von Bronstein. Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Nur für Diplomstudiengang: Brauchen Sie einen Schein? (JA / NEIN ) Aufgabe Bonus Punkte Korrektur

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3 Aufgabe 1 : Kleine Schwingungen (8 Punkte) Im Schwerefeld der Erde sei ein Ring der Masse M und des Radius R, so aufgehängt, dass er frei in der Ringebene schwingen kann (siehe Skizze). Das Trägheitsmoment I P des Ringes bezüglich der Rotation um den Aufhängepunkt P ist durch I P = 2MR 2 gegeben. Eine Perle der Masse m kann reibungslos entlang des Rings gleiten P θ 1 M R Q θ 2 R m (a) (3 Punkte) Finden Sie die Lagrangefunktion des Systems. Wählen Sie dazu die in der Skizze angedeuteten Winkel θ 1 und θ 2 als verallgemeinerte Koordinaten. (b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen im Limes kleiner Schwingungen folgende Form haben: 0 = θ 1 + Aθ 1 + B θ 2 (1) 0 = θ 1 + Cθ 2 + θ 2 (2) mit A = ( ) M + m g 2M + m R, B = m 2M + m und C = g R. [Hinweis: Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen können Sie bereits die Lagrangefunktion im Limes kleiner Schwingungen betrachten.] (c) (3 Punkte) Nehmen Sie nun m = M an. Finden Sie die Eigenfrequenzen ω 1 und ω 2 des Systems. Berechnen und skizzieren Sie die entsprechenden Eigenmoden.

4 Aufgabe 2 : Schwach gedämpfter harmonischer Oszillator (7 Punkte) Betrachten Sie einen schwach gedämpften harmonischen Oszillator mit Antrieb f(t): [ 2 t + 2γ t + ω0 2 ] x(t) = f(t), mit ω0 > γ > 0. (3) (a) (1 Punkt) Wie lautet die allgemeine Form der Lösung, x h (t), der homogenen Differentialgleichung (d.h. der Differentialgleichung (3) mit f(t) = 0). (b) (1 Punkt) Geben Sie eine Formel an, die für einen beliebigen Antrieb f(t) die Auslenkung x(t) [d.h. die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3)] durch die Greensche Funktion G(t) ausdrückt. (c) (3 Punkte) Die Greensche Funktion des schwach gedämpften harmonischen Oszillators kann in der Form G(t) = θ(t)e γtsin Ωt Ω, mit Ω = ω0 2 γ2 geschrieben werden. Betrachten Sie nun einen Antrieb der Form f(t) = θ(t)f 0 sin ω 0 t. Nutzen Sie die Formel von Teilaufgabe (b), um die Lösung des getriebenen harmonischen Oszillators für verschwindende Dämpfung (γ = 0) und die Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 zu finden. Diskutieren Sie das Ergebnis im Limes t. [Hinweis: sin x sin y = 1 2 [cos (x y) cos (x + y)].] (d) (2 Punkte) Wir betrachten nun den Fall eines schwach gedämpften harmonischen Oszillators mit einem Antrieb der Form f(t) = f 0 sin ωt. Skizzieren Sie (Rechnung wird nicht verlangt) die Amplitude des getriebenen Oszillators als Funktion der Antriebsfrequenz ω für die Fälle (i) γ 0 und (ii) γ = 0. Erläutern Sie den Bezug zwischen Ihrer Skizze für (ii) und Ihrem Ergebnis für x(t) in Aufgabe (c).

5 Aufgabe 3 : Halbkugel auf Ebene (9 Punkte) Wir betrachten eine Halbkugel der Masse M mit Radius R und einer homogenen Massenverteilung. Der Schwerpunkt S der Halbkugel befindet sich auf der Symmetrieachse mit einem Abstand σ = 3 8R vom Ursprung (siehe linke Skizze). (a) (3 Punkte) Berechnen Sie das Trägheitsmoment I S bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt, die senkrecht zur Symmetrieachse steht. [Ergebnis: I S = MR ] [Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse (siehe Skizze) und nutzen Sie Kugelkoordinaten für die Integration. Mithilfe des Steinerschen Satzes findet man dann das geforderte Trägheitsmoment.] (b) (2 Punkte) Wir betrachten nun obige Halbkugel, die auf einer horizontalen Ebene aufliegt (siehe rechte Skizze). Das Schwerefeld zeigt nach unten. Die Halbkugel werde um einen Winkel φ aus der Ruhelage ausgelenkt und danach losgelassen, wobei wir annehmen, dass sie auf der Ebene abrollt. Der (veränderliche) Auflagepunkt A der Halbkugel auf der Ebene bestimmt dann die momentane Rotationsachse (in der Skizze senkrecht zur Zeichenebene). Berechnen Sie das Trägheitsmoment I A bezüglich der Rotation um diese Achse. [Bemerkung: Das Trägheitsmoment hängt von φ ab, da der Abstand d zwischen Auflagepunkt A und Schwerpunk S vom Winkel φ abhängt.] (c) (2 Punkte) Stellen Sie die Lagrangefunktion L der Bewegung auf. ( [Ergebnis: L = MR cos φ) φ MgR cos φ ] (d) (2 Punkte) Diskutieren Sie die Bewegung für kleine Auslenkungen und finden Sie die Eigenfrequenz des Systems. z x S σ } y R φ σ d S A

6 Aufgabe 4 : Hamilton-Jakobi für schiefen Wurf (9 Punkte) Wir betrachten ein 2-dimensionales System mit Koordinaten q = (q 1,q 2 ) und Impulsen p = (p 1,p 2 ) und zeitunabhängiger Hamilton-Funktion H( q, p). In der Hamilton-Jakobi-Theorie wird H( q, p) mittels einer Erzeugenden der Form F 2 = S( q, P,t) in eine neue Hamilton-Funktion H( Q, P) transformiert, wobei F 2 so zu wählen ist, dass H := 0 identisch gilt. Folglich sind die neuen Koordinaten und Impulse Erhaltungsgrößen, P = α = (α 1,α 2 ) = konst, Q = β = (β1,β 2 ) = konst. Die Hamilton-Jakobi-Gleichung für die Erzeugende S lautet dann H( q, p = S q ) + S t = 0. (4) Ferner gelten die Transformationsgleichungen Q = S P, S p = q. (5) (a) (1 Punkt) Ein Teilchen der Masse m mit kartesischen Koordinaten q = (q 1,q 2 ) bewege sich in 2 Dimensionen unter Einfluss der Schwerkraft, die in die negative q 2 -Richtung zeige. Wie lautet die Hamilton-Funktion H( q, p)?. Existieren zyklische Koordinaten? (b) (2 Punkte) Wählen Sie zur Behandlung dieses Systems mittels Hamilton-Jakobi-Theorie folgenden Separationsansatz für die Erzeugende: S( q, α) = α 1 q 1 + W (q 2 ; α) α 2 t. (6) Stellen Sie mittels der Hamilton-Jakobi-Gl. (4) für S eine Differentialgleichung für W auf. Zeigen Sie, dass deren Lösung folgende Form hat [die auftretende Integrationskonstante kann Null gesetzt werden]: W (q 2, α) = 1 2 [ 2m(α2 2gm 2 mgq 2 ) α 2 ] 3/2 1. (7) 3 (c) (2 Punkte) Stellen Sie die oben angegebenen Gleichungen für Q i = β i explizit auf. Zeigen Sie mittels der Gleichung für β 2 folgenden Zusammenhang: [ 2m(α2 mgq 2 ) α 2 ] 1/2 1 = mg(β2 + t). (8) (d) (1 Punkt) Finden Sie (mittels Gl. (8), und der in (c) erhaltenen Gleichung für β 1 ) die Zeitabhängigkeit der alten Koordinaten, q i = q i ( α, β,t). (e) (1Punkt) Finden Sie mittels Gleichung (5) für p i die Zeitabhängigkeit der Impulse, p i = p i ( α, β,t). (f) (2 Punkte) Betrachten Sie folgende Anfangsbedingungen bei t = 0: q 1 (0) = 0, q 2 (0) = h, p 1 (0) = p 0, p 2 (0) = 0. (9) Drücken Sie die Erhaltensgrößen α 1,α 2,β 1 und β 2 durch h und p 0 aus. Welche physikalische Interpretation haben α 1 und α 2?