Theoretische Physik: Mechanik

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1 Seite 1 Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 Fakultät für Physik Technische Universität München Inhaltsverzeichnis 1 Trägheitsmoment & Satz von Steiner 2 2 Trägheitstensor einer dünnen Scheibe 2 3 Drehende Scheibe 2 4 Drehende Scheibe auf Pendel 3 5 Seilrollen 4 6 Schwingende Scheibe 4

2 Übungen Gramos zu Theoretische Qerimi, Jakob PhysikUnfried I - Mechanik Seite 2 im Sommersemester 2013 Blatt 9 vom Abgabe: Trägheitsmoment & Satz von Steiner Aufgabe 38 2Punkte Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zylinders um seine Symmetrieachse. Der Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Zylinder habe den Radius R und die Masse M. Benutzen Sie dann den Satz von Berechnen Steiner Sie das umträgheitsmoment das Trägheitsmoment eines Zylinders um eineum Achse seinezusymmetrieachse. berechnen welche Der Zylinder parallel habe zur den Radius Symmetrieachse R und die Masse in M. einem Benutzen Abstand Sie dann r verläuft. den Satz von Steiner um das Trägheitsmoment um eine Achse zu berechnen welche parallel zur Symmetrieachse in einem Abstand r verläuft. Lösung: Das Trägheitsmoment entlang der Symmetrieachse beträgt 2 Trägheitstensor einer dünnen Scheibe Z Z R Z 2 I A = x 2 + y 2 dxdydz = l r 3 dr d' = M R R = 1 2 MR2 Berechnen Sie den Trägheitstensor für eine dünne, homogene Scheibe mit Radius Das Trägheitsmoment R und Masse M. entlang Nehmen der zweiten Sie dabei Achsean, beträgt dass sich der Drehpunkt in der Mitte der Scheibe befindet und dass die z-achse mit der I B = I A + Mr 2 = 1 Symmetrieachse der Scheibe übereinstimmt. Die Massendichte der Scheibe ist gegeben 2 M(R2 +2r durch 2 ) { M δ(z) wenn x Aufgabe y 2 R 2 ρ(x, y, z) = πr 2 (1) 0 sonst 2Punkte ZweiDabei Kugeln ist die unddelta-distribution der Satz von Steiner δ durch folgenden Zusammenhang definiert Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und gleicher homogener Dichteverteilung, welche am Punkt T zusammengeklebt sind. Berechnenδ(z)f(z)dz Sie den gesamten = f(0) Trägheitstensor relativ zum Schwerpunkt (2) der beiden Kugeln am Punkt T. 3 Drehende Scheibe Eine kreisförmige Scheibe mit Radius R, Gesamtmasse M und Trägheitsmoment Θ = 1 2 MR2 dreht sich um ihre feste horizontale Symmetrieachse. Über die Scheibe läuft ohne zu rutschen ein masseloses Seil der Länge l. an den Seilenden sind die Massen m 1 und m 2 befestigt (siehe Skizze). Das System steht unter dem Einfluss der Schwerkraft. Lösung: (a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion L und wählen Sie dabei zunächst z 1,z 2 und φ als generalisierte Koordinaten. Der Trägheitstensor einer einzelnen Kugel relativ zu ihrem Schwerpunkt is aufgrund der Kugelsymmetrie ik = I 0 ik 1

3 L = T Es folgen die Lagrangegleichungen und die Frequenz Aufgabe 45 Drehende Scheibe V = A Mg 4R 3 cos. =0) A 4R + Mg sin =0, 3 4R 2 = Mg 3 MR 2 sin = 8g 3 R sin r sin! 8g +! 2 =0,! = 3 R Eine kreisförmige Scheibe mit Radius R, Gesamtmasse M, und Trägheitsmoment = 1 2 MR2 dreht sich um seine feste horizontale Symmetrieachse. Über die Scheibe läuft ohne Schlupf ein masseloses Seil der Länge l. An den Seilenden sind die Massen m 1 und m 2 befestigt (siehe Skizze). Das System steht unter dem Einfluss der Schwerkraft. 3Punkte Seite 3 3 (b) Eliminieren Sie aufgrund der Zwangsbedingungen die Variablen z 2 und φ. Achten sie dabei auf die Vorzeichen. (c) Bestimmen sie die Lagrange-Funktion L(z 1, z 1 ) und daraus die Bewegungsgleichung. Geben sie die allgemeine Lösung an. 4 Drehende Scheibe auf Pendel Betrachten Sie ein ebenes Pendel, das aus einer masselosen Stange der Länge L und einer Scheibe mit Masse M und Radius R besteht, die am Ende der Stange in ihrem Mittelpunkt gelagert ist. Die Stange erlaubt Schwingungen in der Ebene und die Scheibe kann sich um ihre Symmetrieachse (die senkrecht zur Schwingungsebene liegt) drehen. (siehe Skizze) (a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion L(,,, ) Bestimmen sie die Lagrangefunktion L(φ, φ, ψ, ψ). Bestimmen Sie die beiden Bewegungsgleichungen. der Winkel ' << 1 Mit (d.h. welcher sin )ist? Frequenz pendelt die Scheibe, wenn sie nur leicht (b) Bestimmen Sie die beiden Bewegungsgleichungen. Mit welcher Frequenz pendelt die Scheibe, wenn ausgelenkt wird (d.h. φ << 1 sin φ φ)? Lösung: (a) (b) V = MLgcos ' T = 1 2 ML2 ' MR2 2 L = T V = 1 2 ML2 ' 2 + MLgcos ' MR2 2 d ' =0

4 5 Seilrollen (e) Ein freies Teilchen ( =0im Inertialsystem) spürt in einem rotierenden Bezugssystem die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft.Diesesindgegebendurch = ( ) = 2 = = =4 ( ) = 2 Seite 4 (f) Nehmen wir an, eine Lagrangefunktion ( 1 1 )seinichtexplizitzeitabhängigunddie Kräfte seien konservativ. Kann es sein, dass die Gesamtenergie trotzdem nicht erhalten ist? ja nein (g) Das Hamilton sche Variationsprinzip sagt aus, dass die Hamiltonfunktion minimal ist Eine Punktmasse m 3 hängt diean physikalische einem Trajektorie Ende eines die Wirkung masselosen minimiertseils fester Länge, das die Lagrangefunktion für die wirkliche Trajektorie minimal ist über eine fixierte, reibungsfreie und masselose Scheibe läuft. Am anderen Ende des Seils ist eine Aufgabe weitere 2: Seilrollen derartige [14 Punkte] Scheibe befestigt, übe die ein zweites masseloses Seil fester Länge Eineläuft. Punktmasse An disem 3 hängt anseil einemsind Ende zwei eines masselosen Punktmassen Seils fester Länge, m 1 und das über meine 2 befestigt fixierte, (siehe reibungsfreie, masselose Scheibe läuft. Am anderen EndedesSeilsisteineweiterederartigeScheibe Skizze). Auf alle drei massen wirkt die Schwerkraft senkrecht nach unten. befestigt, über die ein zweites masseloses Seil fester Länge läuft. An diesem Seil sind zwei Punktmassen 1 und 2 befestigt (siehe Skizze). Auf alle drei Massen wirkt die Schwerkraft senkrecht nach unten. (a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion ( ). Verwenden Sie hierzu die Zwangsbedingungen + 3 = konst. und = konst., um die Variablen und 2 zu eliminieren. Das Ausmultiplizieren von quadratischen Termen ist für die Lösung der Aufgabe nicht nötig. [11 Punkte] (a) Bestimmen sie die Lagrangefunktion L(x 1, x 3, x 1, x 3 ). Verwenden sie hierzu die Zwangsbedingungen (b) Geben sie anhand derum Langrange-Funktion x und x 2 zu an, eliminieren. welche Variable für 1 = 2 zyklisch ist. Bestimmen Sie die entsprechende Erhaltungsgröße. [5 Punkte] Hinweis: Das Ausmultiplizieren quadratischer Terme ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht nötig. 3 (b) Geben sie anhand der Lagrange-Funktion an, welche Variable für m 1 = m 2 zyklisch ist. Bestimmen sie die entsprechnde Erhaltungsgröße. 6 Schwingende Scheibe Eine duünne Scheibe mit Radius R der Masse M wird von einer masselosen Schnur gehalten, wobei ein Ende der Schnur an der Decke festgemacht, und das andere Ende mit einer harmonischen Feder mit Federkonstante k verbunden ist (das Potenzial der Feder beträgt also V Feder = (k/2) (Auslenkung der Feder) 2 ). Die Scheibe darf unter dem Einfluss der Gravitationsbeschleunigung g entlang der z-achse über die Änderung der Federauslenkung auf der Schnur rollen, jedoch nicht rutschen. Des Weiteren ist ihre Schwerpunktsbewegung auf die Vertikale beschränkt, d.h. entlang der in der Skizze gezeichneten z-achse. (a) Finden Sie die Lagrange Funktion L(φ, φ) fu?r das gegebene System (φ: siehe Skizze). Hinweis: Das Tra?gheitsmoment der Scheibe ist gegeben durch 1/2MR 2. Desweiteren führt die Einschränkung, dass die Seillänge konstant und

5 Aufgabe 3: Schwingende Scheibe[14 Punkte] Seite 5 Eine dünne Scheibe mit Radius der Masse wird von einer masselosen Schnur gehalten, wobei ein Ende der Schnur an der Decke festgemacht, und das andere Ende mit einer harmonischen Feder mit Federkonstante verbunden Gramos ist (das Potenzial Qerimi, der Feder Jakob beträgt also Unfried =( 2) (Auslenkung der Feder) 2 ). Die Scheibe darf unter dem Einfluss der Gravitationsbeschleunigung entlang der -Achse über die Änderung der Federauslenkung auf der Schnur rollen, jedoch nicht rutschen. Des Weiteren ist ihre Schwerpunktsbewegung auf die Vertikale beschränkt, d.h. entlang der in der Skizze gezeichneten - Achse. (a) Finden Sie die Lagrange Funktion ( ) für das gegebene System ( : sieheskizze). Hinweis: Das Trägheitsmoment der Scheibe ist gegeben durch Des Weiteren führt die Einschränkung, dass die Seillänge konstant und nur die Länge der Feder variabel ist, dazu, dass Rollen um den Winkel in einer Höhenverschiebung = des Schwerpunktes der Scheibe und in einer Änderung der Auslenkung der Feder um =2 resultiert. Wählen Sie den Winkel so, dass =0der entspannten Feder entspricht (siehe Skizze (a)). Ebenso soll =0 die Position des Schwerpunkts bei entspannter Feder sein. (9 Punkte) nur die Länge der Feder variabel ist, dazu, dass Rollen um den Winkel φ in einer Höhenverschiebung z S = Rφ des Schwerpunktes der Scheibe und in einer Änderung der Auslenkung der Feder um l F = 2Rφ resultiert. Wählen Sie den (b) Leiten Winkel Sie dieφ Bewegungsgleichung so, dass φ = her. 0 der (3 Punkte) entspannten Feder entspricht (siehe Skizze (a)). Ebenso soll z (c) Zeigen Sie, dass die S = 0 die Position des Schwerpunkts Gleichgewichtslage gegeben ist durch 0 bei entspannter Feder = 4 sein..(2punkte) Lösung (b) Leiten sie die Bewegungsgleichung her. a) Wähle so, dass = 0 für die entspannte Feder. Dann gilt (wenn = 0 die Position des Schwerpunkts bei entspannter Feder ist) = und für die Dehnung der Feder =2 4kR (c) Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage gegeben ist durch φ 0 = Mg 5