Repetitorium D: Starrer Körper

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1 Fakultät für Physik T: Klassische Mechanik, SoSe 206 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Repetitorium D: Starrer Körper Mo-Fr, ; Tutor: Michael Renger (b)[2](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Aufgabe : Schlag auf Doppelkugel [4+2] Punkte: (a)[3]; (b)[3]; []; (d)[2]; (e)[2]; (f)[3]; (g)[2](bonus) (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Vollkugel (Masse M, Radius R) bzgl. einer Achse durch den Schwerpunkt. Hinweis: Je nach Rechenweg, kann folgendes Integral nützlich sein: ˆ dx sin 3 (x) = cos(x) + 3 cos3 (x). () (b) Bestimmen Sie nun den Trägheitstensor I = I i δ ij bzgl. des Schwerpunkts im Hauptachsensystem mit den Achsen (e, e 2, e 3 ) von zwei fest verbundenen Vollkugeln (Massen M, Radien R) (siehe Skizze). (Hinweis: Der Satz von Steiner kann hier nützlich sein.) Die genauen numerischen Werte von I und I 2 = I 3 sind im Folgenden nicht von Belang, Sie brauchen sie in Ihre nachfolgenden Rechnungen nicht einzusetzen. Nehmen Sie nun an, dass der starre Körper um die e 3 -Achse mit Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert. Geben Sie den Drehimpuls L im körperfesten System an. Wir betrachten weiterhin den um die e 3 -Achse mit Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden Körper. Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Orientierung der Hauptachsen parallel zu den Koordinantenachsen im Laborsystem (e e x, e 2 e y, e 3 e z ). Ein Übeltäter schlägt nun zu diesem Zeitpunkt mit einem Hammer von oben auf die Mitte der rechten Kugel (Punkt A in der Skizze). Die Kraft, die bei diesem Schlag auf den starren Körper ausgeübt wird, modellieren wir durch: F = W δ(t)e 3. (d) Berechnen Sie den Schwerpunktsimpuls P(t) = t dt Ṗ(t ) des Körpers im Laborsystem nach dem Schlag.

2 (e) (f) Zeigen sie, dass das durch den Schlag ausgeübte Drehmoment auf den Körper gegeben ist durch M = RW δ(t)e 2. Verwenden sie die Eulerschen Gleichungen um die Lage der Rotationsachse ω unmittelbar nach dem Schlag zu bestimmen. [Hinweis: Die Eulerschen Gleichungen sind gegeben durch: wobei (i, j, k) eine zyklische Permutation von (, 2, 3) ist.] I i dω i dt + (I k I j )ω j ω k = M i, (2) (g) Bonus: Die Erschütterung des starren Körpers hat zur Folge, dass sich unmittelbar nach dem Schlag die Verbindung zwischen den beiden Kugeln löst. Bestimmen Sie die Schwerpunktgeschwindigkeit v der rechten Kugel nach dem Lösen im Laborsystem. Aufgabe 2: Halbkugel auf Ebene [9] Punkte: (a)[3]; (b)[2]; [2]; (d)[2]; Wir betrachten eine Halbkugel der Masse M mit Radius R und einer homogenen Massenverteilung. Der Schwerpunkt S der Halbkugel befindet sich auf der Symmetrieachse mit einem Abstand σ = 3R vom Ursprung (siehe linke Skizze). 8 z x S σ } y φ σ R d S A (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment I S bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt, die senkrecht zur Symmetrieachse steht. [Ergebnis: I S = MR ] [Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse (siehe Skizze) und nutzen Sie Kugelkoordinaten für die Integration. Mithilfe des Steinerschen Satzes findet man dann das geforderte Trägheitsmoment.] (b) Wir betrachten nun obige Halbkugel, die auf einer horizontalen Ebene aufliegt (siehe rechte Skizze). Das Schwerefeld zeigt nach unten. Die Halbkugel werde um einen Winkel φ aus der Ruhelage ausgelenkt und danach losgelassen, wobei wir annehmen, dass sie auf der Ebene abrollt. Der (veränderliche) Auflagepunkt A der Halbkugel auf der Ebene bestimmt dann die momentane Rotationsachse (in der Skizze senkrecht zur Zeichenebene). Berechnen Sie das Trägheitsmoment I A bezüglich der Rotation um diese Achse. Hinweis: Das Trägheitsmoment hängt von φ ab, da der Abstand d zwischen Auflagepunkt A und Schwerpunk S vom Winkel φ abhängt. Stellen Sie die Lagrangefunktion L der Bewegung auf. ( Ergebnis: L = MR2 7 3 cos φ) φ2 + 3 MgR cos φ 8 2

3 (d) Diskutieren Sie die Bewegung für kleine Auslenkungen und finden Sie die Eigenfrequenz des Systems. Aufgabe 3: Vollzylinder rollt in Hohlzylinder [2] Punkte: (a)[]; (b)[]; [2]; Ein Vollzylinder mit Radius a und Masse M rollt in einem fixierten Hohlzylinder mit Radius R ab. (a) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment I S bezüglich seiner Symmetrieachse. des Vollzylinders (b) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment I R des Vollzylinders bezüglich der instantanen Rotationsachse, entlang der den Hohlzylinder berührt. a ϕ R Bestimmen Sie die kinetische Energie des Vollzylinders als Funktion von ϕ. Aufgabe 4: Rollender Kegel [8] Punkte: (a)[4]; (b)[4]; Betrachten Sie einen Kegel mit Masse M, Höhe h und Basisradius R. (a) (optional) Zeigen Sie, dass im Schwerpunktsystem die Hauptträgheitsmomente des Kegels durch I = I 2 = 3 20 M(R2 + 4 h2 ) und I 3 = 3 0 MR2 gegeben sind. Hinweis: berechnen Sie den Trägheitstensor zunächst bezüglich einem Koordinatensytesm dessen Ursprung an der Kegelspitze liegt, und nutzen Sie dann den Steinerschen Satz. (b) Der Kegel rolle nun gleichmäßig und ohne Schlupf auf einer horizontalen Ebene ab; nach einer Zeit T hat er wieder seine Anfangsposition erreicht. Bestimmen Sie die kinetische Energie des Kegels als Funktion von h, R M und T. Hinweis: Finden Sie zunächst die Winkelgeschwindigkeit ω um die momentane Drehachse (wo sich Kegel und Tisch berühren), ausgedrückt im körperfesten Schwerpunkt- und Hauptachsensystem. Aufgabe 5: Schwerer symmetrischer Kreisel [0] Punkte: (a)[2]; (b)[3]; [3]; (d)[2]; Wir betrachten einen schweren symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld der Erde. Sein Unterstützungspunkt liege auf der Figurenachse, im Abstand s vom Schwerpunkt. Seine Masse sei M, und I = I 2 = I I 3 seine Hauptträgheitsmomente, berechnet bezüglich eines Hauptachsensystems durch den Unterstützungspunkt. Die Lagrange-Funktion kann durch die Euler-Winkel (φ, θ, ψ ausgedrückt werden und hat folgende Form: L = 2 I( θ 2 + φ 2 sin 2 θ) + 2 I 3( ψ + φ cos θ) 2 gms cos θ. 3

4 (a) Die Lagrange-Funktion ist unabhängig von φ, ψ und t. Wie lauten die entsprechenden Erhaltungsgrößen p φ, p ψ und E? (b) Schreiben Sie damit die Bewegungsgleichung für θ(t) um als eine Gleichung der Form 2 u2 + V eff (u) = 0, mit u = cos θ. (3) Wie lautet das effektive Potential, ausgedrückt durch die Erhaltungsgrößen Erhaltungsgrößen p φ, p ψ und E? Geben Sie eine formale Lösung der Bewegungsgleichung (3) für θ(t) an. Skizzieren Sie das effektive Potential für Beispielparameter Ihrer Wahl und diskutieren Sie damit das qualitative Verhalten der Nutationsbewegung. (d) Ein aufrecht stehender (θ = 0) symmetrischer Kreisel ist stabil, wenn eine bestimmte kritische Winkelgeschwindigkeit ω 3 überschritten wird. Berechnen Sie ω 3. Anmerkung: Man spricht hier von einem schlafenden Kreisel. Wird der Kreisel zunächst in rasche Rotation (ω 3 > ω 3) versetzt, ist die aufrechte Lage stabil. Wenn die Winkelgeschwindigkeit aufgrund von Reibung unterhalb diese kritischen Schwelle abgefallen ist, wacht der Kreisel auf und beginnt zu torkeln. Aufgabe 6: Freier Kreisel im Lagrange-Formalismus [2] Punkte: (a)[2]; (b)[4]; [2.5]; (d)[.5]; (e)[2] (a) Betrachten Sie einen homogenen Quader der Masse m, dessen Seiten, mit Längen 2a, 2a und 4a, parallel zu den Achsenrichtungen e, e 2 bzw. e 3 eines körperfestes Koordinatensystems mit Ursprung im Quaderschwerpunkt ausgerichtet sind (siehe Skizze). Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente I I, I 2 I 22 und I 3 I 33 des Quaders. Warum gilt I = I 2 I 3? 4a x 2a x 3 2a x 2 Wir betrachten nun eine freie Kreiselbewegung des Quaders relativ zum Schwerpunkt. Dieser liege fest im Ursprung eines raumfesten Koordinatensystems mit Einheitsvektoren e x, e y, e z, dessen z-achse parallel zum erhaltenen Drehimpuls des Kreisels sei (L = le z ). Die Projektionen der körperfesten Einheitsvektoren auf die z-achse, ausgedrückt durch die Eulerwinkel, lauten: e z e = sin θ sin ψ, e z e 2 = sin θ cos ψ, e z e 3 = cos θ. (b) Unter Vernachlässigung der Schwerkraft lauten die drei Eulerschen Gleichungen für die freie Kreiselbewegung, mit I I = I 2 I 3, wie folgt: I ω + (I 3 I)ω 2 ω 3 = 0, I ω 2 + (I I 3 )ω ω 3 = 0, I 3 ω 3 = 0. (4) Bestimmen Sie über die Eulerschen Gleichungen die drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω(t) = (ω (t), ω 2 (t), ω 3 (t)) T des Quaders mit den Anfangsbedingungen ω(t = 0) = (0, ω, ω 3 ) T im körperfesten System und zeigen Sie, dass die Projektion von ω auf die (x,x 2 )- Ebene einen Kreis beschreibt. Wie lautet der Radius dieses Kreises? 4

5 Der Drehimpuls L kann auf zwei Arten dargestellt werden: im körperfesten Koordinatensystem durch L = Î ω und im raumfesten Systems als L = le z. Verwenden Sie diese Darstellung, um die Eulerwinkel ψ und θ ausschließlich in Abhängigkeit von I, I 3, l, ω und der Zeit t auszudrücken. (d) Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System können durch die Eulerwinkel ausgedrückt werden: ω = φ sin θ sin ψ + θ cos ψ, ω 2 = φ sin θ cos ψ θ sin ψ, ω 3 = φ cos θ + ψ. Leiten Sie einen Ausdruck für φ ausschließlich in Abhängigkeit von I, I 3, l, ω und der Zeit t her. Verwenden Sie die Anfangsbedingung φ(t = 0) = 0. (e) Interpretieren Sie θ, ψ und φ. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an, welche auch die raumfesten Einheitsvektoren zeigt, sowie e 3 und ω. [Gesamtpunktzahl Aufgaben: 57] 5