Blatt 05.3: Green sche Funktionen

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1 Fakultät für Physik T: Klassische Mechanik, SoSe 06 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Blatt 05.3: Green sche Funktionen Ausgabe: Freitag, ; Abgabe: Freitag, , 3:00 (b)[](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgabe : Eigenschaften der δ-funktion [5] Punkte: (a)[](e); (b)[](e); [](E); (d)[](e); [](M). Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der δ-funktion: (a) δ(ax) = δ(x) a (b) dxf(x)δ (x) = f (0), wobei δ (x) die Ableitung der δ-funktion bezeichnet. Veranschaulichen Sie sich die Form von δ (x) wie folgt: berechnen und zeichnen Sie die Ableitung der Lorentz-Funktion δ ɛ (x), die im Limes ɛ 0 eine δ-funktion liefert: δ ɛ (x) = ɛ π, mit lim x + ɛ δ ɛ(x) = δ(x). () ɛ 0 Zeigen Sie, dass Integration der Darstellung () eine Ergebnis liefert, das für ɛ 0 die θ-funktion ergibt. Damit haben Sie gezeigt, dass θ (x) = δ(x) gilt. (d) Zeigen Sie mittels der Darstellung (), dass δ(x a ) = [δ(x a) + δ(x + a)]. Hinweis: a entwickeln Sie zunächst δ ɛ (x a ) für kleine ɛ/ a. Finden Sie eine Funktionen δ(x), für die dx δ(x) = gilt, aber für die die Gleichung dxf(x) δ(x) = f(0) nicht für beliebige f(x) gilt! Beispielaufgabe : Green sche Funktion des gedämpften freien Teilchens [0] Punkte: (a)[](e); (b)[](m); [](E); (d)[](a); [](E); (f)[](e); (g)[](m); (h)[](e). Eine freies gedämpftes Teilchen mit Masse m =, unter Einfluß einer externen Kraft F (t), gehorche der Bewegungsgleichung ẍ + γẋ = F (t). () (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung x h (t) der zugehörigen homogenen Gleichung. (b) Die Green sche Funktion G des Teilchens erfüllt die Gleichung G + γġ = δ(t). Finden Sie mittels dem Ansatz G(t) = θ(t)g(t) eine stetige Lösung dieser Gleichung.

2 Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie in der Green schen Funktion des übergedämpften harmonischen Oszillators (HO), G HO (t) = θ(t) eλ +t e λ t mit λ ± = γ γ λ + λ ± 4 ω 0 und γ > ω 0, den Grenzübergang ω 0 0 durchführen. (d) Wählen Sie nun für die Kraft in (a) einen Rechteckspuls folgender Form (mit ɛ > 0): 0 für t < 0 (Bereich I), F ɛ (t) = /ɛ für 0 t ɛ (Bereich II), 0 für ɛ < t (Bereich III). Skizzieren Sie den Kraftverlauf für verschiedenen Werte von ɛ und überlegen Sie sich, daß für ɛ 0 tatsächlich eine δ-funktion ( idealer Kraftstoß ) entsteht. Finden Sie eine stetige Lösung x(t) der Bewegungsgleichung (), die die Randbedingungen erfüllt, dass im gesamten Bereich I x(t) = ẋ(t) = 0 gilt. [Hinweis: bei t = 0 müssen die Lösungen der Bereiche I und II stetig ineinaner übergehen; dasselbe gilt bei t = ɛ für die Lösungen der Bereiche II und III.] Zeigen Sie, dass die Lösung x(t) im Limes ɛ 0 die Green sche Funktion G(t) aus ((b),) liefert. (f) Die δ-funktion läßt sich auch mittels anderer Formen für den Kraftpuls F ɛ (t) durch einen geeigneten Limes darstellen. Wiederholen Sie Teilaufgabe ((d)) für F α (t) = θ(t)αe αt (mit α > 0). Welcher Limes muss hier genommen werden, damit F α einen δ-puls darstellt? Das Teilchen sei beim Einschalten einer äußeren Kraft F (t) = θ(t)f(t) zur Zeit t = 0 am Ort x 0 ausgesetzt und habe die Geschwindigkeit ẋ 0. Geben Sie mittels der Green schen Funktion aus Teilaufgabe ((b)) die Lösung der Bewegungsgleichung für ein beliebiges f(t) an. (g) Auf das Teilchen, das zunächst bei x = 0 in Ruhe sei, wirke nun ab t = 0 die Kraft F (t) = θ(t)f 0 sin(ωt + φ). Finden Sie den Bewegungsverlauf x(t) des Teilchens für t > 0. (h) Diskutieren Sie das Resultat von (g) im Limes großer Zeiten, t /γ? Was ist dort der Mittelwert x, gemittelt über eine Periode der Antriebskraft? Diskutieren Sie (für beliebige Zeiten) auch den Fall φ = 0 im Limes schwacher Dämpfung, γ 0, und skizzieren Sie dafür die Geschwindigkeit ẋ(t). Warum wechselt diese niemals ihr Vorzeichen, obwohl die Kraft oszilliert? Beispielaufgabe 3: Testfragen [4] Punkte:.[](E);.[](E); 3.[](E); 4.[](E). Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben. Sie sollten sie ohne längeres nachdenken oder nachschlagen in ein paar Minuten beantworten können.. Skizzieren Sie die Resonanzkurve eines schwach gedämpften harmonischen Oszillators.. Was ist eine Greensche Funktion? Wie kann mit ihrer Hilfe die Lösung einer Differentialgleichung für beliebige Inhomogenitäten gefunden werden? 3. Wie findet man die Richtung einer Zwangskraft?

3 4. Was ist dxδ(x) sin(x); dxδ(x) cos(x); dxδ (x) sin(x); dxδ (x) cos(x)? [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 9] Hausaufgabe : Fourier-Transfomation [5] Punkte: (a)[](e)+[](s,bonus); (b)[](e); [](E); (d)[](e). Die Fourier-Transformierte f(ω) = F[f(t)](ω) ist definiert durch: F[f(t)](ω) = f(ω) = f(t) = dt e iωt f(t) (3) dω π e iωt f(ω). (4) (a) Finden Sie F [ ] t +a (ω), für a R. Hinweis: Spalten Sie die komplexe Exponentialfunktion in trigonometrische Funktionen auf und benutzen Sie Integraltabellen (z.b. Bronstein). [Alternativ: (Bonus) [](S) Berechnen Sie das Fourier-Integral mittels Konturintegration!] Zeigen Sie, dass die Rücktransformation Ihres Ergebnisses für f(ω) wieder liefert. t +a (b) Finden Sie F [θ(t)e γt sin Ωt] (ω) für γ > 0. Ableitung im Orginalbereich: Zeigen Sie durch Ableitung von Gl. (4), dass [ ] d n f(t) F (ω) = ( iω) n f(ω). dt n Hinweis: Benutzen Sie die Integraldarstellung der δ-funktion. (d) Ableitung im Bildbereich: Zeigen Sie durch Ableitung von Gl. (3), dass F [t n f(t)] (ω) = ( i) n dn f(ω) dω n. Hausaufgabe : Kritisch gedämpfter Oszillator mit Rechteck-Antriebspuls [9] Punkte: (a)[3](m); (b)[](m); [](E); (d)[](e); [](M); (f)[](a,bonus). (a) Für den kritisch gedämpften harmonischen Oszillator, ẍ + γẋ + γ x = f(t), (5) werde die Antriebskraft zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet und sei danach konstant, f(t) = θ(t)f. Finden Sie die Lösung der Bewegungsgleichung mit den Anfangsbedingungen x(t) = 0 und ẋ(t) = 0 für t < 0. Hinweise: Die allgemeine homogene Lösung hat die Form x h (t) = (A+Bt)e γt. Nutzen Sie als partikuläre Lösung die asymptotische Lösung von (5) für t. Finden Sie ferner die Lösung x(t) für den Fall, dass für t < 0 eine konstant treibende Kraft f wirkt, die zum Zeitpunkt t = 0 ausgeschaltet wird, also f(t) = fθ( t). 3

4 (b) Lösen Sie Gl. (5), mit Randbedingungen x(t) = 0 und ẋ(t) = 0 für t < 0, für einen normierten Rechteckspuls der Form f T (t) = θ(t)θ(t t). Zeichnen Sie für γt die Lösung im T gesamten Bereich 0 < t <. Hinweis: das Ergebnis aus (a), ausgewertet bei t = T, dient als Anfangswert für den Bereich t > T. Zeigen Sie durch Einsetzen, dass G(t) = θ(t)e γt t die Green sche Funktion des kritisch gedämpften harmonischen Oszillators ist, d.h. folgende Gleichung erfüllt: [ d dt + γ d ] dt + γ G(t) = δ(t). (6) (d) Zeigen Sie, dass Ihr Ergebnis aus (b) im Limes T 0 die Green sche Funktion aus reproduziert. Warum ist das so? (f) Für einen beliebigen Antrieb f(t) lässt sich die Lösung von Gl. (5) schreiben als x(t) = x h (t) + x p (t), mit x p (t) = dt G(t t ) f(t ). Nutzen Sie nun diese Form, um die in (b) geforderte Lösung nochmal zu berechnen. (Bonus) Alternative Berechnung der Green schen Funktion: Finden Sie durch Fourier-Transformation der Bewegungsgleichung in zunächst die Fourier-Transformierte G(ω), und finden Sie dann G(t), indem Sie das Fourier-Integral mittels Konturintegration berechnen. Hausaufgabe 3: Lagrange-Gleichungen erster Art: Massepunkt auf Kugel [8] Punkte: (a)[](e); (b)[](a); [](E); (d)[](m); [](E). Ein Massepunkt mit Masse m werde zum Zeitpunkt t = 0 auf die Oberfläche einer am Ursprung zentrierten Kugel mit Radius R gesetzt, an einen Punkt r(0) mit Kugelkoordinaten r(0) = R, θ(0) = θ 0 < π/ und φ(0) = 0. Er gleite anschließend unter dem Einfluß der Schwerkraft, K = mge z, reibungslos auf der Kugeloberfläche nach unten. Dabei übt diese auf ihn eine Zwangskraft Z aus, die sein Einsinken in die Kugel verhindert. Mit zunehmender Gleitgeschwindigkeit nimmt die vom Massenpunkt empfundene, nach aussen gerichtete Zentrifugalkraft zu, und die Zwangskraft somit ab. Wenn letztere gleich Null wird, hebt der Massepunkt von der Kugeloberfläche ab. Finden den Winkel θ c, bei dem dies geschieht, indem Sie die Zwangskraft mittels Lagrange-Gleichungen der. Art behandeln. Gegen Sie dabei wie folgt vor: (a) Geben Sie die Zwangsbedingung g(r) = 0 an, die gilt, solange sich die Masse auf der Kugeloberfläche befindet. Geben Sie die Lagrange-Gleichungen erster Art an und zeigen Sie, dass die Zwangskraft die Form Z = λ(t)r hat. (b) Um die Lagrange-Gleichungen explizit zu lösen, nutzen wir Kugelkoordinaten: r = e x r cos φ sin θ + e y r sin φ sin θ + e z r cos θ e r = e x cos φ sin θ + e y sin φ sin θ + e z cos θ e θ = e x cos φ cos θ + e y sin φ cos θ e z sin θ e φ = e x sin φ + e y cos φ. Drücken Sie r in Kugelkoordinaten aus. Zeigen Sie dazu zuerst, dass ė r = θe θ + φ sin θe φ ; ė θ = θe r + φ cos θe φ ; ė φ = φ(sin θe r + cos θe θ ) 4

5 Zeigen Sie, dass die Zerlegung der Lagrange-Gleichungen in Kugelkoordinaten folgende Gleichungen liefert: m( r r sin θ φ r θ ) + mg cos θ = λr (7) m(ṙ θ r sin θ cos θ φ + r θ) = mg sin θ (8) m(ṙ φ sin θ + r φ θ cos θ + r φ sin θ) = 0 (9) g(r) = 0. (0) (d) Vereinfachen Sie obiges Gleichungsystem, indem Sie die Zwangsbedingung g(r) = 0 nutzen und berücksichtigen, dass für die gegebenen Anfangsbedingungen der Winkel φ konstant bleibt, φ(t) = 0, sodass sich die Bewegung ausschließlich in der x-z-ebene abspielt. Finden Sie θ (t) als Funktion von θ(t) und θ 0, indem Sie die vereinfachte Gl. (8) integrieren und die Anfangsbedingung einsetzen. Finden Sie so die Zwangskraft Z als Funktion von θ. Wie lautet Sie bei t = 0? Bestimmen Sie den Winkel θ c, bei dem der Massepunkt abhebt. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: ] 5