Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung

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1 Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung Satz: Es gilt wieder: (vergleiche 10.2) Geschw. eines Volumenelements bei bezüglich Ursprung v. IS. Analog zu (3.1), (3.3): (3) in (2): Wähle Ursprung v. KS' im Schwerpunkt Bemerkung: Die in (12.5) sind die Projektionen der Winkelgeschwindigkeiten auf die Koordinatenachsen des körperfesten Bezugsystems. Def.: Unter Drehungen, Drehmatrix, orthogonal transformiert sich (i) ein "Tensor 0. Stufe" wie (=Skalar) (invariant) Beispiel: [Einsteinsche Konv.] (ii) ein "Tensor 1. Stufe" wie (=Vektor) (also "wie Ortsvektor") (iii) ein "Tensor 2. Stufe" wie Eselsbrücke: Tensor 2. Stufe verhält sich wie ein "äußeres Produkt" zweier Vektoren, also "Spaltenvektor x Reihenvektor"

2 Volumen ist ein Skalar: Masse ist ein Skalar: Satz: Trägheitstensor verhält sich unter Drehungen wie ein Tensor 2. Stufe laut Def.: sind ortsunabhängig, können aus Integral ausgeklammert werden siehe (13.8) also wie Tensor 2. Stufe Also hängt Form von Θ von Wahl des Koordinatensystems ab, und ändert sich unter Drehungen! Vereinfachungen bei Berechnung von Θ sind möglich: 1. Vereinfachung: Wähle Ursprung von KS im Schwerpunkt 2. Vereinfachung: Satz: Es gibt ein Koordinatensystem KS, in dem der Trägheitstensor Diagonalform hat: Bemerkung: Man bezeichnet die Transformation zu diesem KS als "Hauptachsentransf.", das entsprechende KS als "Hauptträgheitsachsensystem", und die Diagonalelemente als "Hauptträgheitsmomente". Aus der linearen Algebra bekannt: Θ ist reelle, symmetrische 3x3 Matrix: Es existiert eine orthogonale Transf., die Θ diagonalisiert. Die orthogonale Transf. wird dann gerade als Drehung interpretiert.

3 Bemerkung: Die allgemeine Form vereinfacht sich in Hauptachsenbasis zu: Erinnerung (lineare Algebra): Das Auffinden der Hauptträgheitsmomente ist gerade die Bestimmung der Eigenwerte der Matrix Θ : Suche Vektoren mit Matrix Skalar Dies ist äquivalent zum Finden der Nullstellen von Einheitsmatrix Jede Lösung ist eines der Hauptträgheitsmomente Beachte, dass man die normiert und orthogonal wählen kann (diese Wahl ist nur eindeutig, falls ). Bezeichnungen: "unsymmetrischer Kreisel", falls: "symmetrischer Kreisel", falls: "Kugelkreisel", falls:

4 Satz: Ist ein starrer Körper rotationssymmetrisch, liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse und der Körper ist ein symmetrischer Kreisel. Beispiel: Zylinder Drehachse Wähle z-achse entlang Symmetrieachse. Rotationssymmetrie bedeutet: Folglich gilt Kurznotation für 3 getrennte Gleichungen. Also liegt Schwerpunkt auf z-achse. Trägheitstensor: Umbenennung der Integrationsvariablen: Analog: folgt aus oder Folglich: Bemerkung: Die Hauptträgheitsachsen fallen mit den Symmetrieachsen des starren Körpers zusammen.

5 Satz von Steiner Sei Θ der Trägheitstensor, berechnet bezüglich des Schwerpunkts in KS. Sei KS' ein zu KS achsenparalleles Koordinatensystem, das um einen Vektor verschoben ist. Dann gilt für Trägheitstensoren bezüglich KS': Gesamtmasse Terme linear in r liefern da Ursprung von KS im Schwerpunkt liegt. Beispiel: Hantel mit 2 Massen Trägheitsmomente für bezüglich ihrer Mittelpunkte bei Gesamt-TM bezüglich gemeinsamem SP: Für Symmetrie um Hantelachse Für

6 Wiederholung: rollender Reifen auf schiefer Ebene: Auf Seite VR28 wurde angegeben: Kinetische Energie: Potenzielle Energie: Für die Aufstellung von T wurde der Punkt O als Ursprung des körperfesten Koordinatensystems gewählt. Die Angabe bezieht sich auf Rotation um die Rotationssymmetrieachse O. Da dieser Punkt O sich selbst bewegt, ist zusätzlich ein Term erforderlich. Alternativ kann auch A als Ursprung eines Inertialsystems IS' gewählt werden, dessen Ursprung zum Zeitpunkt t am Berührungspunkt liegt. Die momentane Geschw. von A ist null (kein Rutschen), deshalb ist Aber, für muss Trägheitsmoment dann nicht bezüglich O, sondern bezüglich A berechnet werden! Alternative Behandlung des rollenden Zylinders auf schiefer Ebene Lagrange-Funktion: Kinetische Energie: Zylinderlänge Trägheitstensor bezüglich A. a) Gesamtmasse: Dichte in Zylinderkoordinaten: Formale Notation: für ansonsten. und

7 b) Winkelgeschwindigkeit: (egal ob bezüglich O oder A, siehe SK4) Nur wird benötigt: denn c) Trägheitsmoment bezüglich Symmetrieachse des Zylinders, O d) Trägheitsmoment bezüglich Drehung um Punkt A : Satz von Steiner: mit (Einheitsvektor in radialer Richtung) Kinetische Energie bei Drehung um A: Lagrange-Funktion: Lagrange-Gl. 2. Art: konsistent mit (VR29.4)

8 Zusammenfassung: Trägheitstensor (TT) Unter Drehungen, (i) ein "Tensor 0. Stufe" (Skalar) wie (ii) ein "Tensor 1. Stufe" (Vektor) wie (iii) ein "Tensor 2. Stufe" wie transformiert sich (invariant) (Beispiel: Ortsvektor) (Beispiel: Trägheitstensor) Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung: Vereinfachung bei Berechnung des Trägheitstensors: Wähle Ursprung von KS im Schwerpunkt Der Trägheitstensor kann diagonalisiert werden, mittels einer "Hauptachsentransformation" in das "Hauptachsensystem". Seine Eigenwerte sind die "Hauptträgheitsmomente", "unsymmetrischer Kreisel": "symmetrischer Kreisel": "Kugelkreisel": Ein rotationssymmetrischer SK ist ein symmetrischer Kreisel, mit SP auf der Symmetrieachse. Satz von Steiner für achsenparallele Bezugsysteme, mit Ursprung-zu-Ursprung-Vektor