einer Raumkurve, wobei t als Zeitparameter interpretiert wird. w( t ) beschreibt also den kinematischen Kurvendurchlauf (κ ι ν ε µ α = Bewegung).

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1 10.4. Raumkurven Kinematik Wir betrachten eine zweimal differenzierbare Parameterdarstellung w( t) x( t ) y( t ) z( t ) einer Raumkurve, wobei t als Zeitparameter interpretiert wird. w( t ) beschreibt also den kinematischen Kurvendurchlauf (κ ι ν ε µ α Bewegung). Die vektorielle Geschwindigkeit eines sich auf der Kurve bewegenden Punktes zur Zeit t erhält man durch die Ableitung w ( t ), also durch Differenzieren aller Koordinatenfunktionen. Geometrisch beschreibt w ( t ) einen Tangentialvektor an die Kurve zur Zeit t und im Punkt w( t ). Die Tangente an der Stelle t ist T( t ) w( t ) + R w ( t ). In Schnittpunkten kann eine Kurve verschiedene Tangentialrichtungen haben! Der Betrag der vektoriellen Geschwindigkeit ist die skalare Geschwindigkeit v( t ) w ( t ), bei Raumkurven also v( t ) x ( t) 2 + y ( t ) 2 + z ( t) 2. Im Folgenden verzichten wir bei Skalarprodukten auf das Transpositionszeichen T. Beispiel 1: In 80 Tagen um die Erde Bei jeder Bewegung auf einem (kugelförmigen) Globus ist die Länge des Ortsvektors konstant: w( t ) c bzw. w( t ) w( t) c 2. Im Falle einer glatten Bewegung ergibt Differentiation mit Hilfe der mehrdimensionalen Produktregel 2 w ( t ) w( t) 0, d.h. der Tangentenvektor w ( t ) steht senkrecht auf dem Ortsvektor w( t ) - im Einklang mit der Beobachtung, daß die Bewegungskurve auf einer Kugel stets senkrecht zum Radiusvektor verläuft. Man nennt solche Kurven sphärisch (Sphäre Kugeloberfläche).

2 Die vektorielle Beschleunigung ist die infinitesimale Veränderung des Geschwindigkeitsvektors, also die zweite Ableitung w ( t ). Sind w ( t ) und w ( t ) linear unabhängig, so heißt die im Punkt w( t ) von w ( t ) und w ( t ) aufgespannte Ebene S( t ) w( t ) + R w ( t ) + R w ( t) Schmiegebene der Kurve zur Zeit t, weil sie sich der Kurve dort am besten "anschmiegt". Man kann zeigen, daß S( t ) sich als Grenzfall von Ebenen durch je drei Kurvenpunkte w( t ), w ( t + h ) und w ( t + k ) ergibt, wenn h und k gegen 0 gehen. Zur Beschreibung der Schmiegebene in Normalform dient der Schmiegnormalenvektor p( t ) w ( t ) x w ( t ), der definitionsgemäß senkrecht (perpendicular) auf der Schmiegebene steht. Seine Länge β( t ) p( t) ist gleich dem Flächeninhalt des von w ( t ) und w ( t ) aufgespannten Parallelogramms. Für den Fall ebener Kurven (wo die dritte Koordinate verschwindet) stimmt die früher definierte Größe β( t ) x ( t ) y ( t ) x ( t ) y ( t) bis aufs Vorzeichen mit dem neu definierten β( t ) überein. Die Unterscheidung zwischen Linksund Rechtskurven ist im Raum nicht mehr sinnvoll. Beispiel 2: Schmiegebene einer Schnecke Parameterdarstellung, erste und zweite Ableitung, Schmiegnormalenvektor: w( t ) e t cos( ω t ) e t sin( ω t) e t H

3 w ( t) w ( t ) e t cos( ω t) e t sin( ω t ) ω e t sin( ω t) + e t cos( ω t ) ω e t H e t cos( ω t) 2 e t sin( ω t) ω e t cos( ω t) ω 2 e t sin( ω t ) + 2 e t cos( ω t) ω e t sin( ω t ) ω 2 e t H p( t) 2 t H ω ( cos( ω t ) + sin( ω t) ω ) 2 t H ω ( sin( ω t ) + cos( ω t) ω ) e ( 2 t ) ω ( 1 + ω 2 ) e ( ) e ( ) Geschwindigkeit (nach Vereinfachung mittels sin 2 + cos 2 1): Parallelogrammfläche (nach Vereinfachung): v( t ) e t 1 + ω 2 + H 2 β( t) e ( 2 t ) ω 1 + ω 2 + H ω 2 ω 8, H 4 Rotierende Schmiegebenen

4 Der Beschleunigungsvektor steht hier fast, aber nicht genau senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Das Skalarprodukt zwischen beiden Vektoren ist für ω 8, H 4: die skalare Geschwindigkeit v( t ) w ( t ) ist die skalare Beschleunigung a( t ) w ( t ) ist und folglich ist der Zwischenwinkel konstant: 81 e ( 2 t ) 9 e t 4241 e t arccos Das begleitende Dreibein π , Für jede zweimal differenzierbare Parameterdarstellung w( t ) bekommt man an allen Stellen t mit v( t) 0 den Tangenten-Einheitsvektor e( t ) w ( t )* w ( t ) durch Normieren des Tangentenvektors w ( t ). Ist e ( t ) nicht der Nullvektor, so steht e( t ) wegen e( t ) 1 senkrecht auf dem Hauptnormalenvektor h( t ) e ( t )* und senkrecht auf beiden steht der Binormalenvektor b( t ) e( t ) x h( t ). v( t ) e ( t) e ( t) Alle drei Einheitsvektoren zusammen bilden eine Orthonormalbasis, das sogenannte begleitende Dreibein der Kurve. Man denkt es sich in dem jeweiligen Kurvenpunkt "an die Kurve geheftet" und hat damit ein lokales, mit dem wandernden Kurvenpunkt verbundenes Koordinatensystem. Die vier Vektoren w ( t ), w ( t ), e( t ) und h( t ) liegen allesamt in der von w( t ) nach 0 verschobenen Schmiegebene. Denn eine nochmalige Anwendung der mehrdimensionalen Produktregel zeigt, daß w ( t ) eine Linearkombination von e( t ) und e ( t ), also auch von e( t ) und h( t ) ist: w ( t ) ( v( t ) e( t )) v ( t ) e( t ) + v( t ) e ( t ). Kinematisch bedeutet dies, daß die vektorielle Beschleunigung w ( t ) orthogonal in die Tangentialbeschleunigung v ( t ) e( t) und die Normalbeschleunigung v( t ) e ( t ) v( t ) e ( t ) h( t) zerlegt wird.,

5 Wir betrachten wieder die obige Schneckenkurve für ω 8 und H 4. Tangenten-Einheitsvektor: dessen Ableitung: deren Betrag: und der Hauptnormalenvektor: e( t ) e ( t ) e ( t) 1 cos( 8 t) 8 sin( 8 t) sin( 8 t) + 8 cos( 8 t) sin( 8 t ) cos( 8 t) cos( 8 t) sin( 8 t ) , 9 v( t ) ( ) e t 8 e t 65 sin( 8 t ) + 8 cos( 8 t) 65 h( t) cos( 8 t ) 8 sin( 8 t) 65 0 Mit der Ableitung der Geschwindigkeit ergibt sich für die zweite Ableitung w ( t) v ( t) 9 e t 63 sin( 8 t ) cos( 8 t) e t 63 cos( 8 t) sin( 8 t) die folgende Orthogonalzerlegung w ( t ) v ( t ) e( t ) + v( t ) e ( t ): 1 8 cos( 8 t) sin( 8 t ) 9 9 w ( t ) 9 e t 1 8 sin( 8 t) + cos( 8 t ) + 8 e t sin( 8 t ) + 8 cos( 8 t ) 65 cos( 8 t ) 8 sin( 8 t ) 65 0

6 Zur Bestimmung des begleitenden Dreibeins gibt es zwei verschiedene Wege. Beide beginnen mit der Berechnung des Tangenten-Einheitsvektors e(t). Methode A Man bildet die Ableitung von e( t ) und normiert den entstehenden Vektor, um den Hauptnormalenvektor h( t ) zu erhalten. Dann bekommt man den Binormalenvektor als Kreuzprodukt von e( t ) und h( t ) (ohne zu normieren). Vorteil: Man erhält auf schnellstem Wege den Hauptnormalenvektor und muß nur ein Kreuzprodukt bilden. Nachteil: Beim Normieren entstehen Wurzeln im Nenner, die beim anschließenden Differenzieren Mühe bereiten können. Methode B Man beschafft sich zuerst den Binormalenvektor b( t ), indem man das Kreuzprodukt des Geschwindigkeitsvektors mit dem Beschleunigungsvektor bildet und dann normiert: p( t ) w ( t ) x w ( t ), b( t ) p( t )*. Danach bekommt man den Hauptnormalenvektor als ein weiteres Kreuzprodukt h( t ) b( t ) x e( t ). (Warum ist dieser Vektor bereits normiert?) Vorteil: Man muß erst nach dem Differenzieren normieren. Nachteil: Man muß zwei Kreuzprodukte bilden. Beide Verfahren funktionieren bei beliebigen Parameterdarstellungen. Beachten Sie aber, daß sich nur von Null verschiedene Vektoren normieren lassen. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Beschleunigung jedoch der Nullvektor. In diesem Fall bewegt sich der Punkt entlang einer Geraden. Es gibt dann keine eindeutige Schmiegebene.

7 Beispiel 2: Schraubenlinien Bei Rotation um eine Achse und gleichzeitiger Verschiebung entlang der Achse entsteht eine Schraubenlinie, Wendeltreppe oder Helix (manchmal fälschlich Spirale genannt). Jede der folgenden Parameterdarstellungen erzeugt die gleiche (glatte) Kurve, nämlich eine Schraubenlinie mit Radius 1 und Ganghöhe (Windungsabstand) 2 π H. a) Gleichmäßiger Durchlauf von unten nach oben, drei Umdrehungen: w( t) cos( t ) sin( t), 4 t t π b) Umgekehrter Durchlauf von oben nach unten: w ( 6 π t) cos( t) sin( t ), H ( 6 π t ) t π

8 c) Beschleunigter umgekehrter Durchlauf: w( t 2 ) cos( t 2 ) sin( t 2 ), t π H ( 6 π t 2 ) In allen drei Fällen ist das Kurvenbild natürlich das gleiche, nämlich eine Wendeltreppe. Ortsvektor, Geschwindigkeitsvektor und Beschleunigungsvektor für w( t ): w( t) cos( t) sin( t ) sin( t), w ( t ) cos( t), H t H w ( t) cos( t ) sin( t ) 0 Die Beschleunigungsvektoren zeigen in diesem Beispiel nicht nur senkrecht von der Kurve weg, sondern auch senkrecht auf die Drehachse. Der Grund dafür ist die konstante skalare Geschwindigkeit: v( t ) H Für jede Kurve, bei der v( t ) w ( t ) konstant ist, steht w ( t ) senkrecht auf w ( t ) und zeigt deshalb in die gleiche Richtung wie der Hauptnormalenvektor. In unserem Beispiel stimmen die beiden Vektoren sogar überein. Die Berechnung des begleitenden Dreibeins vereinfacht sich durch diese Zusatzinformationen erheblich: sin( t) cos( t) H sin( t) e( t ) v( t) -1 cos( t ), h( t ) sin( t), b( t ) v( t ) -1 H cos( t ) H 0 1

9 Beispiel 3: Eine monomiale Kurve Betrachten wir eine Parameterdarstellung, in der die erste Komponente eine Gerade, die zweite eine Parabel und die dritte eine kubische Parabel beschreibt! x( t) t, y( t ) t 2 2 t 3, z( t), 0 t 3 Parameterdarstellung, erste und zweite Ableitung, Geschwindigleit: t w( t) t 2 1 0,,, 2 t 3 w ( t ) 2 t w ( t ) 2 v( t ) t 2 2 t 2 4 t 3 Methode A 1. Tangenten-Einheitsvektor e(t) durch Normierung der 1. Ableitung 2. Hauptnormalenvektor h( t ) durch Normieren der Ableitung des Tangenten-Einheitsvektors 3. Binormalenvektor b( t ) als Kreuzprodukt von e( t ) und h( t ) 1 4 t 2 t e( t ) v( t) -1 2 t, e ( t ) v( t) t 2, h( t ) v( t) t 2, b( t ) v( t) -1 2 t 2 2 t 2 t 2 4 t 2 t 1 Methode B 1. Tangenten-Einheitsvektor e( t ) wie vorher 2. Binormalenvektor b( t ) als normiertes Kreuzprodukt von 1. und 2. Ableitung 3. Hauptnormalenvektor h( t ) als Kreuzprodukt von b( t ) und e( t ) führt zum selben Ergebnis, nur in anderer Reihenfolge.