10.5. Räumliche Krümmung und Torsion

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1 10.5. Räumliche Krümmung und Torsion Gegeben sei eine zweimal differenzierbare Parameterdarstellung w einer Raumkure. Wir lassen im Folgenden meist den Parameter t weg, um etwas bequemere Formeln zu bekommen. Der Krümmungsektor ist die infinitesimale Veränderung des Tangenten-Einheitsektors im Vergleich zur Veränderung der Bogenlänge, also der Quotient k: e /s e / wobei e der Tangenten-Einheistektor, s die Bogenlänge und die Geschwindigkeit ist. Die Krümmung der Kure ist die Länge des Krümmungsektors, also κ: k e' /. Sie kennzeichnet die Stärke der Richtungsänderung. (Die Geschwindigkeit 0 wird hier und im Folgenden ausgeschlossen). Da der Krümmungsektor ebenso wie die Ableitung des Tangenten-Einheitsektors in Richtung des Hauptnormalenektors h zeigt, haben wir k κ h. Der Krümmungskreis liegt in der Schmiegebene, hat den Krümmungsradius ρ 1 κ und den Krümmungsmittelpunkt m w + ρ h. Offenbar hat ρ nur dann einen endlichen Wert, wenn e nicht erschwindet. Beispiel 1: Schraubenlinie mit Radius r und Windungshöhe 2 π H.

2 Noch einmal die Parameterdarstellung und die Ableitungen: w( t) r cos( t ) r sin( t) r cos( t ) r sin( t ), w ( t ) r cos( t ), w ( t) r sin( t ), H t H 0 Die skalare Geschwindigkeit ( t ) ist konstant: H 2 + r 2 Schmiegnormalenektor und Parallelogrammfläche: p( t) H r sin( t) H r cos( t ), β( t ) r r 2 w ( t) Tangenten-Einheitsektor, Hauptnormalenektor und Binormalenektor: e( t) r sin( t ) cos( t) r cos( t ), h( t ) sin( t ), 0 H Krümmungsektor und Krümmungsmittelpunkt: k( t) r cos( t ) 2, r sin( t ) 2 0 m( t ) b( t) H sin( t) H cos( t) r cos( t ) H 2 r sin( t ) H 2 r H t Krümmung und Krümmungsradius sind hier ebenfalls konstant: r sin( t ) r cos( t) 0 κ r, ρ 2 2 r Die Krümmung einer zweimal differenzierbaren Kure hängt eng mit deren zweiter Ableitung zusammen. Diese hatten wir als Linearkombination des Tangenten-Einheitsektors e und des Hauptnormalenektors h dargestellt, indem wir die Gleichung (1) w e mit Hilfe der Produktregel differenziert hatten: (2) w e + e. Nach Einsetzen on e k wird daraus () w e + 2 k e + 2 κ h.

3 Dies ist wieder die Zerlegung der ektoriellen Beschleunigung in Tangential- und Normalkomponente. Letztere wird also nicht nur on der Krümmung, sondern auch on der Geschwindigkeit beeinflußt. Bei konstanter Geschwindigkeit ist 0, also zeigt w dann in die gleiche Richtung wie der Normalenektor h. Für den Krümmungsektor k ist das immer der Fall (auch bei ariablem ). Jetzt berechnen wir umgekehrt die Krümmung mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung: Unter Ausnutzung der Gleichung e x e 0 und des Distributigesetzes für das Vektorprodukt folgt aus den Gleichungen (1) und (2): (4) w x w 2 e x e. Als Einheitsektor steht e senkrecht auf seiner Ableitung e. Somit: (5) β w x w 2 e κ. Diision durch ergibt die Krümmung einer Raumkure β (6) κ. Das ist die gleiche Formel wie in der Ebene. Allerdings muß man im ebenen Fall auf das Vorzeichen on β achten. Der Torsionsektor einer Raumkure ist die infinitesimale Veränderung des Binormalenektors b 1 β (w x w ) im Vergleich zur Veränderung der Bogenlänge, also der Quotient b /s b /. Der Torsionsektor steht senkrecht auf b (da dies ein Einheitsektor ist), aber auch auf dem Tangenten-Einheitsektor e. Denn Differenzieren der Gleichung e b 0 führt auf e b + e b 0, und da e κ h ebenfalls senkrecht auf b steht, folgt e b 0 und e b 0. Somit muß b in oder gegen die Richtung des Hauptnormalenektors zeigen. Es gibt also eine skalare Funktion τ mit (7) b τ h. Der Faktor τ ist ein Maß dafür, wie stark sich die Kure aus der Schmiegebene "herauswindet". Wenn wir die letzte Gleichung mit - h/ multiplizieren und h h 1 ausnutzen, bekommen wir die Torsion einer Raumkure (8) τ - 1 b h 1 b h. Die zweite Gleichung folgt aus b h 0, was nach Differentiation b h + b h 0 liefert.

4 Spatprodukt der drei Ableitungsektoren Bei einer dreimal differenzierbaren Parameterdarstellung w können wir die Gleichung () w e + α h mit α 2 κ nochmals differenzieren. Die Produktregel liefert w e + e + α h + α h. Nun berechnen wir das Spatprodukt: und bekommen die w w w (w x w ) w det(w,w,w ) β b ( e + e + α h + α h ) β α b h (wegen b e b e b h 0) β α τ β κ τ β 2 τ Torsion als Funktion der drei Ableitungen τ 1 w w w mit β w x w. 2 β Beispiel 2: Torsion einer Schraubenfeder Für eine Schraubenlinie mit der Parameterdarstellung r cos( t) w( t ) r sin( t) H t berechnen wir erst das Kreuzprodukt p w x w (wie in Beispiel 1) dann das Skalarprodukt mit dem Vektor p( t ) H r sin( t) H r cos( t) r 2 Das Ergebnis ist w ( t) r sin( t) r cos( t ) 0 H r 2 Das Skalarprodukt on w x w mit sich selbst ergibt den Faktor β 2 : β 2 r 2 2 Der Quotient dieser beiden Ausdrücke ist die Torsion:

5 H τ Für eine Schraubenfeder ist also bei einer festen Auslenkung sowohl die Krümmung als auch die Torsion konstant: Ein kleiner Ausschnitt des Kurenbildes sieht an jeder Stelle gleich aus. Allerdings erändern sich Krümmung und Torsion natürlich, wenn man die Feder dehnt (also H erändert). Torsionskomponente und Biegekomponente Eine Belastung f F e in Richtung der Schraubachse bewirkt in einem beliebigen Punkt der Feder das Moment M w x f r F w (M e) e + (M h) h + (M b) b r2 F e + r H F b. Dies ist die Zerlegung des Moments in die Torsionskomponente und die Biegekomponente. 2

6 Geraden- und Ebenentest Allgemein gilt für jede Raumkure: Die Krümmung erschwindet genau dann, wenn der Beschleunigungsektor in die gleiche Richtung wie der Tangentenektor zeigt, die Richtung der Geschwindigkeit also nicht erändert wird. Ist dies an allen Stellen der Fall, so handelt es sich um eine Gerade. Die Torsion erschwindet genau dann, wenn die Kure in einer Ebene (der Schmiegebene) erläuft. Dies prüft man am einfachsten, indem man die Gültigkeit der Gleichung a x + b y + c z d für geeignete Konstanten a, b, c, d und x x( t ), y y( t ), z z( t ) testet. Beispiel : Eine Ellipse im Raum mit den Halbachsen a und b 1.5 wird beschrieben durch die Parameterdarstellung w( t) cos( t ) + sin( t ) 2 cos( t ) sin( t) 1 2 cos( t ) + sin( t ) 2 Hier ist die Torsion (ohne jede weitere Rechnung!) gleich 0, da die Kure in der Ebene durch 0 mit dem Normalenektor (2,1,-2) liegt: Zur Berechnung der Krümmung 1 κ w x w bestimmen wir w und w : 2 x( t ) + y( t ) 2 z( t ) 0

7 w ( t) sin( t ) + cos( t ) cos( t ) sin( t ) 2 sin( t ) cos( t) 2 cos( t ) + sin( t), w ( t) sin( t) + cos( t ) 2 cos( t ) sin( t ) 2 2 Das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren erweist sich nach einer Zwischenrechnung als konstant, womit sich die Lage in einer Ebene bestätigt: p( t ) Die skalare Geschwindigkeit ( t ) w ( t ) ist β( t) und damit ist die Krümmung ( t) κ( t ) cos( t) cos( t) 2 In der Ebene durch die Ellipse erhält man eine erzerrte Astroide als Eolute:

8 Anhang 1: Die Differentiation des begleitenden Dreibeins Sie geschieht mit Hilfe der 1847 on dem französischen Mathematiker F. Frenet aufgestellten Frenetschen Formeln e κ h Geschwindigkeit h κ e + τ b κ Krümmung b τ h τ Torsion Sie sind bei aller Einfachheit und Eleganz grundlegend für die gesamte Differentialgeometrie und erdienen deshalb frenetischen Applaus. Die erste Formel folgt aus den Gleichungen k e / und k κ h, die dritte ist die definierende Gleichung (7). Wir müssen also nur noch die zweite Formel begründen. Unter Beachtung der Produktregel für das Vektorprodukt führt Differentiation on h b x e auf h b x e + b x e κ (b x h) τ (h x e) κ e + τ b. Aus den Frenetschen Formeln folgt (mit einigen Zusatzüberlegungen) der fundamentale Satz, daß die Kure durch die Krümmung und die Torsion bis auf Verschiebung und Drehung ollständig bestimmt ist. (Parametrisiert man nach der Bogenlänge, so ist 1). Im Gegensatz zu Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen Krümmung und Torsion einer Kure nur on ihrem Bild, nicht aber on der gewählten Parameterdarstellung ab! Anhang 2: Schneckenkuren Wie wir wissen, ist das dreidimensionale Analogon zu einer logarithmischen Spirale eine Schneckenkure. Sie entsteht, indem während der Drehung auch auch noch eine exponentiell anwachsende Verschiebung entlang der Drehachse stattfindet. Wir wollen begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion einer solchen Schneckenkure bestimmen. w( t ) cos( ω t ) e t sin( ω t) H Die in der Natur auftretenden Spiralkuren auf Schneckengehäusen haben eine leicht abweichende Darstellung, werden aber durch die obigen Funktionen sehr gut angenähert. Die entstehenden Kuren winden sich auf einem Kegelmantel x 2 + y 2 H 2 z 2 0

9 H, ω 6 H 1, ω 10 H 2, ω 0 In Beispiel 2 on Abschnitt 10.4 hatten wir bereits folgende Größen berechnet: die erste und zweite Ableitung der Funktion w: cos( ω t ) sin( ω t ) ω w ( t ) e t sin( ω t ) + cos( ω t ) ω, H die skalare Geschwindigkeit w : den Schmiegnormalenektor p w x w : w ( t) cos( ω t ) 2 sin( ω t ) ω cos( ω t) ω 2 e t sin( ω t ) + 2 cos( ω t) ω sin( ω t) ω 2 H ( t ) e t H ω 2

10 und dessen Länge β : p( t) e ( 2 t ) ω H ( cos( ω t ) + sin( ω t) ω) H ( sin( ω t ) + cos( ω t) ω) 1 + ω 2 Zur Abkürzung setzen wir β( t) e ( 2 t ) ω H ω ω 2 und erhalten δ : ω 2 + 1, ε : H ω 2 ( t) ε e t 2 t. β( t) δ ε ω e ( ) Daraus berechnen wir die Krümmung κ β und den Krümmungsradius ρ 1 κ : κ( t) Für die Torsion brauchen wir die dritte Ableitung δ ω, ρ( t) e t ε 2 e t ε 2 δ ω cos( ω t) sin( ω t ) ω cos( ω t ) ω 2 + sin( ω t) ω w ( t ) e t sin( ω t) + cos( ω t ) ω sin( ω t ) ω 2 cos( ω t) ω H und das Spatprodukt σ (w x w ) w σ( t) e ( t ) H ω ( 1 + ω 2 ) Damit erhalten wir für die Torsion τ σ die Formel 2 β Ergebnis τ( t) Jede der folgenden Größen ist proportional zu e t : Wachstumsgeschwindigkeit Bogenlänge s Krümmungsradius ρ 1 reziproke Torsion τ e t ε e t ε e ( t ) H ω H ω 2 e t ε 2 ω δ e t ε 2 ω H

11 Weitere Rechnungen ergeben den Tangenten-Einheitsektor e w /, den Binormalenektor b 1 p und den Hauptnormalenektor h b x e : β e( t) cos( ω t ) + sin( ω t) ω H cos( ω t ) + H sin( ω t ) ω ε δ ε sin( ω t ) + cos( ω t ) ω b( t) H sin( ω t ) H cos( ω t ) ω,, ε δ ε H δ ε ε h( t ) sin( ω t ) + cos( ω t ) ω δ cos( ω t ) sin( ω t ) ω δ 0 Das Dreibein rutscht die Windungskure entlang:

12 Anhang : Krümmungskugeln Sie berühren die Kure im jeweiligen Punkt und haben ihre Mittelpunkte auf der sogenannten Krümmungsachse. Das ist die senkrecht zur Schmiegebene (also parallel zum Binormalenektor) erlaufende Gerade durch den jeweiligen Krümmungsmittelpunkt. Der Schnitt jeder Krümmungskugel mit der Schmiegebene in einem festen Punkt ergibt den (gleichen!) Krümmungskreis. Zu jedem Kurenpunkt gibt es unter allen Krümmungskugeln eine im Sinne der Taylorapproximation optimale. Sie heißt Schmiegkugel und hat den Mittelpunkt ms w + ρ h + 1 τ ρ b in der on h und b aufgespannten (also zur Schmiegebene senkrechten) Ebene durch w. Für Kuren auf einer Kugeloberfläche ist diese natürlich die Schmiegkugel in jedem Punkt. Betrachten wir abschließend noch einmal die Schraubenlinie. Dort ist ρ konstant. Deshalb ist ρ 0, und der Krümmungsmittelpunkt ist auch Mittelpunkt der Schmiegkugel. Die Schmiegkugel rollt nach unten