Technische Mechanik 3

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1 Technische Mechanik 3 2. Kinematik eines Massenpunktes 2.1. Grundbegriffe, kartesische Koordinaten 2.2. Geradlinige Bewegung 2.3. Ebene Bewegung, Polarkoordinaten 2.4. räumliche Bewegung, natürliche Koordinaten 2.5. Relativbewegung, Bewegtes Koordinatensystem

2 2.1. Grundbegriffe - Ortsvektor Beschreibung der Bewegung eines Punktes im Raum Kinematik Kinematik nur Geometrie der Bewegungen, keine Bewegungsursache Punkt P bewegt sich im Raum Ortsvektor des Punktes P: r r r t beschreibt die Bahn des Punktes P Dimension von r : [m], [km],... TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 2

3 Geschwindigkeit zwei benachbarte Lagen P und P P - zur Zeit t ; P - zur Zeit t t Die Geschwindigkeit ist der Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors v= lim t 0 r t t r t t v= lim t 0 r t = d r d t = ṙ Die Geschwindigkeit ist ein Vektor Die Geschwindigkeit zeigt stets tangential zur Bahn und in Richtung der Bewegung TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 3

4 Geschwindigkeit Für beliebige Größe b mit ḃ -Ableitung nach der Zeit d b d t = ḃ Dimension: [m/s], [km/s], [km/h],... Umrechnung: 1 km h =1000 m 3600 s = 1 3,6 Maß für zurückgelegten Weg (Strecke): s (skalare Größe) Betrag von r : r = s Betrag von v : v =v= lim t 0 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 4 m s s t = ds dt =ṡ oder 1 m s = 3,6 km h

5 Beschleunigung Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: a= lim t 0 v t t v t t a= lim t 0 v t = d v d t = v= r Die Beschleunigung ist ein Vektor Dimension: [ m s 2] TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 5

6 Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesische Koordinaten raumfestes Koordinatensystem mit Einheitsvektoren (Basisvektoren) e x, e y, e z hängen nicht von der Zeit t ab. => Inertialsystem Ortsvektor (Parameterdarstellung der Bahn): Geschwindigkeit r t =x t e x y t e y z t e z (durch Ableiten nach t) v t =ṙ t =ẋ t e x ẏ t e y ż t e z Beschleunigung (2. Ableitung nach t) a t = v t = r t =ẍ t e x ÿ t e y z t e z TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 6

7 Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesische Koordinaten Komponenten der Geschwindigkeit: v x =ẋ, v y = ẏ, v z =ż Betrag der Geschwindigkeit: v =v= ẋ 2 ẏ 2 ż 2 Komponenten der Beschleunigung: a x =ẍ, a y = ÿ, a z = z Betrag der Beschleunigung: a =a= ẍ 2 ÿ 2 z 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 7

8 2.2 Geradlinige Bewegung einfachste Form der Bewegung große praktische Bedeutung nennen Sie Beispiele... x Achse entlang der Bewegungsgeraden r, v, a - nur x -Komponenten, kann skalar geschrieben werden. x t, v t = ẋ, a t = v = ẍ wenn v, a negativ in die negative x-richtung wenn a 0 => Verzögerung TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 8

9 Kinematische Grundaufgaben Gegeben: Weg x t Gesucht: v t, a t => Lösen durch Differenzieren, relativ einfach Gegeben: Beschleunigung a t Gesucht: v t, x t => Lösen durch Integration, mathematisch schwieriger allgemein: a=a t,v, x Wir betrachten nur Fälle, bei denen a nur von einer Größe abhängt: a = a t : 4. a = a v 5. a = a x 1. a = 0, 2. a = a 0, 3. a = a t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 9

10 Kinematische Grundaufgaben 1. a = 0 a t = v = dv dt = 0 v = v 0 = const. gleichförmige Bewegung x t - durch Integration von v v = v 0 = dx dt Es ist eine Zusatzbedingung erforderlich, in der Regel Anfangsbedingung. Für t = t 0 ist x =x t 0 = x 0 Je nach Problem kann man bestimmt oder unbestimmt integrieren. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 10

11 Kinematische Grundaufgaben 1. a = 0 a) unbestimmte Integration Trennen der Variablen v = v 0 = dx dt dx=v 0 dt dx = v 0 dt x = v 0 t C 1 aus Anfangsbedingung x t=t 0 =v 0 t 0 C 1 =x 0 C 1 =x 0 v 0 t 0 x t = x 0 v 0 t t 0 b) bestimmte Integration x x 0 t d x = t 0 v 0 d t Unterscheidung zwischen der Variablen und der oberen Grenze x x 0 = v 0 t t 0 x t = x 0 v 0 t t 0 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 11

12 Kinematische Grundaufgaben 2. a = a 0 gleichmäßig beschleunigte Bewegung Anfangsbedingungen für t 0 = 0 (zweckmäßig): Geschwindigkeit v dv = a 0 dt v 0 Weg ẋ 0 = v 0 x 0 = x 0 x dx = v dt x 0 t d v = 0 a 0 d t v t = v 0 a 0 t t d x = v 0 a 0 t d t x t =x 0 v o t a 0 t 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 12

13 Kinematische Grundaufgaben 2. a = a 0 a t = a 0 v t = v 0 a 0 t x t = x 0 v 0 t a 0 2 t 2 a-t-diagramm v-t-diagramm x-t-diagramm TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 13

14 2. a = a 0 - Beispielaufgabe Beispiele: freier Fall senkrechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Beispielaufgabe: Freier Fall aus Höhe ohne Anfangsgeschwindigkeit Gegeben: H H = 12 m (4. Stock), g=9,81 m s 2 Gesucht: Aufprallgeschwindigkeit TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 14

15 Kinematische Grundaufgaben 3. a = a(t) Anfangsbedingungen: Geschwindigkeit durch Integration Weg nochmalige Integration Beispiel v t 0 = v 0, x t 0 = x 0 t dv = a t dt v t = v 0 t 0 dx = v t dt t x t = x 0 t 0 a t d t v t d t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 15

16 Kinematische Grundaufgaben 4. a = a(v) Beschleunigung ist Funktion der Geschwindigkeit, z.b. Strömungswiderstand Anfangsbedingungen: v t 0 = v 0, x t 0 = x 0 Geschwindigkeit durch Trennen der Variablen a v = dv dt dt = dv a v bestimmte Integration t t 0 v d t = v 0 d v a v v t = t 0 v 0 d v a v = f v TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 16

17 Kinematische Grundaufgaben 4. a = a(v) Wenn man nach v auflösen kann (F ist Umkehrfunktion zu f) folgt für den Weg: t x t = x 0 t 0 F t d t v = F t oder direkt x(v) mit der Kettenregel dx = v v a dv x v = x 0 v 0 a = dv dt = dv dx v a v d v dx dt = dv dx v TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 17

18 4. a = a(v) - Beispiel Bewegung von Körpern in reibungsbehafteten Flüssigkeiten Gegeben: a = k v, k bekannte Konstante Anfangsbedingungen: v 0 = v 0, x 0 = x 0 Gesucht: v t, x t, x v sowie a t, v t, x t Diagramme TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 18

19 Kinematische Grundaufgaben 5. a = a(x) Beschleunigung ist eine Funktion des Weges. Anfangsbedingungen: v t 0 = v 0, x t 0 = x 0 Geschwindigkeit mit der Kettenregel a = dv dt = dv dx dx dt = dv dx v Trennen der Variablen v dv = a x dx Integration 1 2 v 2 = 1 2 v 0 x 2 x 0 a x d x = f x v x = 2 f x TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 19

20 Kinematische Grundaufgaben 5. a = a(x) Aus v = dx durch Trennen der Variablen und Integration dt dt = dx v = dx 2 f x x t x = t 0 x 0 d x 2 f x = g x Wenn man g x nach x auflösen kann ( G ist Umkehrfunktion zu g ): x = G t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 20

21 Harmonische Schwingung 5. a = a(x) - Beispiel Gegeben: a = 2 x, bekannte Konstante Anfangsbedingungen: v 0 = 0, x 0 = x 0 Gesucht: v x, t x, x t, v t,a t sowie x t, v x Diagramme TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 21

22 2.3. Ebene Bewegung, Polarkoordinaten Koordinaten r, Basisvektoren e r e, e r = e = 1 e r zeigt immer auf den Punkt P Ortsvektor: r = r e r er e Die Richtungen von und sind zeitabhängig! e r t,e t werden mitdifferenziert. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 22

23 2.3. Ebene Bewegung, Polarkoordinaten Änderung von e r und e - nur Drehung d e r t = d d e t e r = d e r dt = d dt e = e d e t = d d e r t e = d e dt = d dt e r = e r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 23

24 Geschwindigkeit allg. ebene Bewegung Durch Differenzieren v = ṙ = ṙ e r r ė r v = ṙ = ṙ e r r e radiale Komponente: zirkulare Komponente: v r = ṙ v = r v r, i.a. nicht tangential zur Bahn Winkelgeschwindigkeit = [ ] = 1 s TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 24

25 Beschleunigung allg. ebene Bewegung Durch Differenzieren von v = ṙ = ṙ e r r e a = v = r e r ṙ ė r ṙ e r e r ė a = r r 2 e r r 2 ṙ e radiale Komponente: zirkulare Komponente: a r = r r 2 a = r 2 ṙ a r, i.a. auch nicht tangential zur Bahn Winkelbeschleunigung = [ ] = 1 s 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 25

26 Beispiel - allg. ebene Bewegung Eine Stange der Länge l rotiert um A mit dem Zeitgesetz = k t 2 Auf der Stange rutscht ein Gleitkörper nach dem Gesetz r = l 1 k t 2 Gegeben: l = 2 m, k = 0,2 s 2 Gesucht: Geschwindigkeit und Beschleunigung für 1 = 45 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 26

27 Sonderfall - Kreisbewegung r = const ṙ = 0 r = r e r, v=r e, a= r 2 e r r e Geschwindigkeit nur zirkulare Komponente: Beschleunigung: v = v = r in tangentialer Richtung: in radialer Richtung: a = r a r = r 2 Spezialfall = const v = r, a = 0, aber a r = r 2 = v2 r a r bewirkt Änderung der Richtung der Geschwindigkeit. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 27

28 Beispiel - Kreisbewegung Beispiel: = const Beispiel: = = const TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 28

29 Sonderfall - Zentralbewegung Beschleunigungsvektor ist stets auf einen Punkt, das Zentrum gerichtet Koordinatenursprung in Z dann Zikularkomponente a = 0 a = 0 = r 2 ṙ = 1 d r dt r 2 = 0 r 2 = const anschauliche Interpretation: r überstreicht in der Zeit dt die Fläche Flächengeschwindigkeit da dt = 1 2 da = 1 2 r r d r 2 d dt = 1 2 r 2 2 =const entspricht 2. Keplerschen Gesetz für Planetenbewegungen TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 29

30 2.5. Räumliche Bewegung In kartesischen Koordinaten (raumfestes System): r t = x t e x y t e y z t e z v t = ṙ = ẋ t e x ẏ t e y ż t e z a t = v = r = ẍ t e x ÿ t e y z t e z In zylindrischen Koordinaten, e z unabhängig von der Zeit, r ist die Projektion von r in der x-y-ebene: r = r e r z e z v = ṙ = ṙ e r r e ż t e z a t = v = r = r r 2 e r r 2 ṙ e z e z TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 30

31 Räumliche Bewegung natürliche Koordinaten Mitbewegtes Koordinatensystem: e t in Tangentialrichtung e n in Richtung der Hauptnormalen e b in Richtung der Binormalen (begleitendes Dreibein) Tangente und Hauptnormale liegen in der sogenannten Schmiegungsebene mit Radius ρ und Krümmungsmittelpunkt M Mit Bogenlänge s t : r=r s t d r = ds, d r tangential d r=ds e t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 31

32 Räumliche Bewegung natürliche Koordinaten Geschwindigkeit: v t = ṙ = d r dt = d r ds ds dt v = v = ds dt = ṡ v = v e t zeitliche Änderung der Einheitsvektoren (analog polare Koordinaten): d e t = d e n = ds e n, ė t = d e t dt = 1 Beschleunigung: a = v = v e t v ė t =a t e t a n e n ds dt e n = v e n a= v e t v2 e n TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 32

33 Räumliche Bewegung natürliche Koordinaten Bahnbeschleunigung in Richtung der Tangente Normalbeschleunigung in Richtung der Hauptnormalen a t = v a n = v 2 vgl. Sonderfall Kreisbewegung v = ṡ = r a t = v = r = r a n = v 2 r = r 2 TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 33

34 Räumliche Bewegung natürliche Koordinaten Analogie zwischen den kinematischen Größen gradlinige Bewegung x v = ẋ a = v = ẍ räumliche Bewegung in natürlichen Koordinaten s v = ṡ a = v = s Formeln für die Fälle a(t), a(v), a(x) können für a t angewendet werden. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 34

35 Beispiel natürliche Koordinaten P bewegt sich in der x-y-ebene auf der Bahnkurve y(x): y = 2 x2 Gegeben: Konstante Geschwindigkeit v 0 Allgemeiner Krümmungsradius in der Ebene: 1 = d 2 y dx 2 [ 1 dy dx 2 ]3 2 Gesucht: Beschleunigung TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 35

36 Beispiel Kreisbahn in natürlichen Koordinaten Auf einer vertikalen Kreisbahn geführter Massenpunkt wird in A aus der Ruhelage losgelassen. Gegeben: g, R Gesucht: Geschwindigkeit und Beschleunigung f TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 36

37 2.5. Relativbewegung Bewegtes kartesisches Koordinatensystem Für einige Bewegungen ist es zweckmäßig, den Ort, etc. auf ein bewegtes Koordinatensystem zu beziehen. Person im Flugzeug / auf Schiff, etc. Robotik xyz-system ist raumfest -System bewegt sich in Bezug auf das ruhende xyz-system nur translatorisch Ortsvektor: r = r 0 r 0P TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 37

38 Translatorisch bewegtes Koordinatensystem r = r 0 r 0P Darstellung der Vektoren in den Koordinatensystemen r = x e x y e y z e y r 0P = e e e Nur Translation: e, e, e unabhängig von t Absolutgeschwindigkeit: Führungsgeschwindigkeit: Relativgeschwindigkeit: v a = ṙ = ṙ 0 ṙ 0P v f = ṙ 0 v r = ṙ 0P v a = v f v r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 38

39 Translatorisch bewegtes Koordinatensystem Beschleunigung (erneutes Ableiten) Absolutbeschleunigung: a a = v = r 0 r 0P Führungsbeschleunigung: a f = r 0 Relativbeschleunigung: a r = r 0P Damit Absolutbeschleunigung a a = a f a r Zur Erinnerung: Da sich die Einheitsvektoren nicht verändern, verschwindet ihre Ableitung. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 39

40 Beispiel Verschiebung Der Nullpunkt des bewegten Koordinatensystems bewege sich auf einer Kreisbahn, Radius R, in der Ebene z = 0. Gegeben: R = 5m, = t, =2 rad s r 0P = 1m ; 3m ; 0 m T, Gesucht: r t, v t, a t TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 40

41 Koordinatentransformation bei Drehung des Koordinatensystems e, e, e hängen von t ab. ξηζ-system dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω Hier nur Drehung um die z-achse. Die Komponentendarstellung des (Orts-) Vektors hängt von der Basis bzw. dem Koordinatensystem ab Basis {e x, e y, e z }: r = x P y P z P xyz Basis {e, e, e }: r = P P P TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 41

42 Koordinatentransformation bei Drehung des Koordinatensystems Wir suchen die Transformation r xyz = T r Zunächst Projetion der Koordinaten,, auf x, y, z : e = cos e x sin e y 0 e z e = sin e x cos e y 0 e z e =0 e x 0 e y e z In Matrixform erhält man somit: r = x P y P z P xyz cos sin 0 = sin cos P P P r xyz =T r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 42

43 Koordinatentransformation bei Drehung des Koordinatensystems Entsprechend gilt für die Drehung um x: r = x P y P z P xyz = P 0 cos sin P 0 sin cos P Drehung um die y-achse: r = x P y P z P xyz = cos 0 sin sin 0 cos P P P TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 43

44 Eigenschaften der Transformationsmatrix Für die Drehmatrix um eine Achse gilt: Auf der Diagonalen stehen cos und 1 Auf den zu cos gehörenden Nebendiagonaleinträgen stehen sin und sin Die Transformationsmatrixen sind orthogonal. es gilt: T T = T 1 Achtung: Endliche Drehungen sind keine Vektoren. Die Reihenfolge der Drehungen hat einen Einfluss auf die Endlage. Infinitesimale Drehungen und Winkelgeschwindigkeiten sind Vektoren. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 44

45 Translation und Rotation des Koordinatensystems Ortsvektor: r = r 0 r 0P e, e, e hängen von t ab. ξηζ-system dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω Absolutgeschwindigkeit: v a = ṙ = ṙ 0 ṙ 0P mit r 0P = e e e folgt ṙ 0P = e e e ė ė ė (Produktregel) TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 45

46 Translation und Rotation des Koordinatensystems zeitliche Änderung der Einheitsvektoren: ė = e, ė = e, ė = e damit ė ė ė = e e e = e e e = r 0P insgesamt erhält man: ṙ 0P = d r 0P = dt e e e r 0P erster Summand zeitliche Ableitung von in Bezug auf das bewegte -System: r 0P d * r 0P dt = e e e TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 46

47 Translation und Rotation des Koordinatensystems Damit ist ṙ 0P = d * r 0P dt r 0P Diese Formel gilt entsprechend für beliebige Zeitableitungen von Vektoren. Absolutgeschwindigkeit: v a = v f v r v a = ṙ = v 0 r 0P d * r 0P dt mit v 0 = ṙ 0 Führungsgeschwindigkeit: v f = v 0 r 0P Relativgeschwindigkeit: v r = d * r 0P dt = e e e TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 47

48 Translation und Rotation des Koordinatensystems Absolutbeschleunigung: zweiter Summand: d dt r 0P = r 0P ṙ 0P = r 0P d * r 0P dt dritter Summand: v r = d * v r dt a a = v a = v f v r = v 0 d dt r 0P v r r 0P = r 0P v r r 0P v r d * v r dt mit v 0 =a 0 wird die Absolutbeschleunigung: a a = a 0 r 0P r 0P d * v r dt = e e e 2 v r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 48

49 Translation und Rotation des Koordinatensystems Absolutbeschleunigung: Führungsbeschleunigung: a a = a f a r a c a f = a 0 r 0P r 0P Relativbeschleunigung: a r = d * v r dt = d 2* r 0P dt 2 Coriolisbeschleunigung: a c = 2 v r steht senkrecht auf und v r a c =0, wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: =0 v r =0 v r (Winkelgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit sind parallel.) TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 49

50 Sonderfall: Ebene Bewegung Hier Drehung um z- oder ζ-achse = e = e z Interpretation als Polarkoordinaten möglich. Mit r 0P = r e r folgt : r 0P = r e r 0P = r e r 0P = r 2 e r Führungsgeschwindigkeit: Führungsbeschleunigung: v f = v 0 r e a f = a 0 r e r 2 e r TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 50

51 Fahrgeschäft Krake Beispiel: Ebene Bewegung Kreisscheiben TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 51

52 Zusammenfassung Die Kinematik beschreibt Bewegungen ohne auf die Ursachen (Kräfte) einzugehen. Aus dem Ort erhält man durch Ableiten nach der Zeit die Geschwindigkeit und Beschleunigung v = d r t a = v = d 2 r t dt dt 2 Mit den kinematischen Grundaufgaben können Bewegungen berechnet werden, bei denen z.b. a(v) bekannt ist. Bewegte Koordinatensysteme können die Beschreibung einer Bewegung erleichtern. Bei bewegten Koordinatensysteme treten neben der Relativgeschwindigkeit (-beschleunigung) mit der Führungsgeschwingdigkeit (-beschleunigung) weitere Terme auf. TM3, SS 2016 R. Kral / G. Kolarov 52