E1 Mechanik Lösungen zu Übungsblatt 2

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1 Ludwig Maimilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik en u Übungsblatt 2 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Drehbewegung einer Schleifscheibe Es werde die Schleifscheibe (der Durchmesser betrage 16 cm) eines Winkelschleifers aus der Ruhe mit einer konstanten Winkelbeschleunigung von 4 rad beschleunigt. s 2 a) Wie lange dauert es bis die Bahngeschwindigkeit am Rand der Scheibe 5 m/s beträgt? b) Welche Frequen hat nun die Rotationsbewegung? a) Die Winkelbeschleunigung, α ω/ t. Durch Integration erhält man, analog ur Bewegung entlang einer Geraden, ω α t + w und v ωr wobei R der Radius der Schleifscheibe ist. Daraus folgt v R αt + ω t 15, 6s b) ω v/r und ω 2πf also ist die Frequen, f 995s 1 Aufgabe 2 Schräger Schuss Ein Projektil werde von einer 2 m hohen Klippe abgeschossen (Siehe Abbidung). Die Anfangsgeschwindigkeit betrage 5 m/s und die Abschussrichtung sei 6 ur Horiontalen. Was ist die Reichweite des Schusses? (Der Luftwiderstand kann vernachlässigt werden) 1

2 Die Anfangsgeschwindigkeiten in - bw. y-richtung sind wie folgt: v v cos α 25m/s v y v sin α 25 3m/s y y + v y t 1 2 gt2 v t Beim Auftreffen ist y t 1/2 v y g ± 1 g vy 2 + 2gy Physikalisch sinnvoll ist t 12, 9s Daraus folgt v t 35m Aufgabe 3 Koordinatentransformationen Es sei das Kraftfeld F ( r) in kartesischen Koordinaten gegeben wie folgt: F ( r) G( 2 + y ) 3/2 y Geben Sie F ( r) in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten an. In Kugelkoordinaten ist r 2 + y Ausserdem ist e r r r, also ist F ( r) Gr 3 y G r 2 e r + e θ + e φ In Zylinderkoordinaten ist r cos(ϕ) und y r sin(ϕ), also ist F ( r) G(r 2 cos 2 (ϕ) + r 2 sin 2 (ϕ) + 2 ) 3/2 y Gr (r ) 3/2 e G r + e ϕ (r ) 3/2 e G (r ) 3/2 y Aufgabe 4 Miniaturgolfbahn Eine Miniaturgolfbahn sei wie ein rechtwinkliges L geformt. Die Ecke des L ist eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α ur Horiontalen, während die beiden Linien des L gerade und flach sind. Die schiefe Ebene schliesse das Anfangsbahnstück unter dem Winkel γ ab (Siehe Skie). Der Abschlagpunkt des Balls und das Loch seien jeweils in der Mitte der Bahn, die die Breite B hat. Der Abschlag des Balls soll eakt parallel ur Bahn verlaufen. In dieser Aufgabe soll möglichst in allgemeinen Formeln nur die Bewegung des Balls auf der schiefen Ebene betrachtet werden. (Zur Vereinfachung soll der Ball als Massepunkt angenommen werden, der reibungsfrei über die Bahn gleitet.) 2

3 a) Wählen Sie ein Koordinatensystem, das die Symmetrie der Miniaturgolfbahn und der erwarteten Ballbewegung ausnutt! b) Wie groß ist der Abstand der Punkte, an denen der Ball auf die schiefe Ebene trifft und diese wieder verlässt, wenn die Bahnbreite B ist? c) Die Startgeschwindigkeit des Balls auf der schiefen Ebene sei v und γ 45. Welche Kräfte wirken auf den Ball? Zerlegen Sie diese in Komponenten beüglich der schiefen Ebene. d) Berechnen Sie v für α 45, γ 45 und Bahnbreite B 1 cm. a) Wähle Koordinatensystem wie in untenstehender Abbildung, d.h. Ursprung im inneren Eckwinkel der Bahn, -Achse entlang schiefer Ebene um äußeren Eckwinkel der Bahn, y-achse entlang der Kontaktlinie von schiefer Ebene und flacher Bahn, -Achse senkrecht auf der schiefen Ebene. 3

4 b) Die erforderliche Wurfweite auf der schiefen Ebene ergibt sich aus der Bahnbreite B und dem Winkel γ u w! B 2 sin(9 γ) B 2 cos(γ) c) Auf der schiefen Ebene wirkt auf den Ball die Gewichtskraft, FG. Im gewählten Koordinatensystem haben die senkrechte und die parallele Komponente von F G die folgende Darstellung: F mg sin α und F mg cos α Und somit ist F G mg sin α cos α und F G mg. Also erfährt der Ball eine Kraft F mg sin(α) entlang der -Achse (d.i. die schiefe Ebene), die auf den Ursprung des Koordinatensystems eigt. In y-richtung erfährt der Ball keine Kraft, und in -Richtung wirkt die Kraft immer senkrecht ur schiefen Ebene, hat also keinen Einfluss auf die Bewegung des Balls. Deshalb wird der Ball gleichförmig entlang der -Achse beschleunigt, und hat eine konstante Geschwindigkeit in y-richtung. Aus der Vorlesung wissen wir, dass die Wurfweite für einen senkrechten Wurf gegeben ist durch: s v2 4 g

5 In unserem Fall fängt der Wurf bei an, statt am höchsten Punkt des Wurfes. Dadurch verdoppelt sich die Flugeit und die Wurfweite. Ausserdem wird g in unserem Koordinatensystem u g sin(α). Also ist d) Aus Teilen b) und c) ist. Auflösen nach v ergibt w 2 v2 v Einseten ergibt v 3, 1 m/s. w 2 v2 g sin(α) Bg sin(α) 4 g sin(α) B 2 cos(γ) ( 1 sin(γ) + 1 ) cos(γ) 5