Dynamik der gkb: die Zentripetalkraft

Transkript

1 PD Dr. N.Grinberg - Physik, Kl.0, Zentripetalkraft Dynamik der gkb: die Zentripetalkraft Eine Kraft, egal welcher Natur, die einen Körper auf eine kreisförmige Laufbahn zwingt, nennt man Zentripetalkraft. Dabei gilt das.newtonsche Gesetz (Grundgleichung der Mechanik): F z = m a z Die Zentripetalbeschleunigung a z wird durch den Grenzwert v t 0 t gegeben. Wir betrachten das Zeitintervall t 0 = 0 (der Körper befindet sich im oberen Punkt, s. Abbildung links), t = t und v 0 = v (0) bzw. v = v (t). Abb. : die LB und die Geschwindigkeitsvektoren (links) / v = v (t) v (0) (rechts) Die Vektorendifferenz v wird durch den roten Vektor dargestellt, s. Abb. rechts (vergrößert). Wir bestimmen, der Reihe nach, den Betrag und die Richtung der Zentripetalbeschleunigung a z.. Betrag: Vektoren v 0 = v (0) und v = v (t) haben den gleichen Betrag v 0 = v = v, denn die Bahngeschwindigkeit bleibt bei einer gleichförmigen Bewegung die ganze Zeit über konstant. Die beiden Vektoren schließen einen Winkel ϕ = ω t = ω t ein, s. Abb. rechts. Hier ist ω die Winkelgeschwindigkeit. Die in der Abbildung eingezeichnete Höhe durch die Spitze P (0) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

2 PD Dr. N.Grinberg - Physik, Kl.0, Zentripetalkraft Abb. : Hilfskonstruktion Betrachten wir nun das Obere Dreieck. Es hat die Hypotenuse v 0 = v und den Winkel ϕ an P (0). Die gegenüber liegende Kathete hat die Länge v. Def. von Sinus: Gegenkathete Hypotenuse = sin ( ϕ). Also gilt: v = v sin ( ( ) ϕ) oder ( ) v = v sin ϕ = v sin ωt. Der Grenzübergang liefert: ( ) v sin v t 0 t = lim ωt. t 0 t Aus dem Mathematikunterricht ( ) soll bekannt sein, dass sin (x) x ist für kleine x-werte (sin (0) = ). Also ist sin ωt ωt und folglich ( ) v sin ωt = v t 0 t ω = vω. Je nachdem, welche Größen gegeben sind, kann man auf eine der folgenden äquivalenten Formeln für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung zugreifen: a z = vω = v R = ω R = ( ) π R = (π f) R bzw. ( ) F z = mvω = m v π R = mω R = m R = m (π f) R. Richtung der Zentripetalbeschleunigung: Der Vektor v schließt mit der Vertikalen einen Winkel von ϕ. Die gleiche Richtung hat natürlich auch der Quotient v t. Bei dem Grenzübergang für t 0 strebt der Winkel ϕ = ω t gegen 0. Deswegen steht der Vektor a z senkrecht auf v 0 und ist zum Mitelpunkt der Kreislaufbahn gerichtet. Abb. 3: Richtung von v

3 PD Dr. N.Grinberg - Physik, Kl.0, Zentripetalkraft 3 AB gleichförmige Kreisbewegung: Zentripetalkraft d f = bzw. = f v = πrf = πr v = ωr ω = π a z = vω = v R = ω R = ( ) π R = (πf) R. F z = ma z = mvω = m v R = mω R = m ( ) π R = m (πf) R A. Ein Käfer (m = g) rotiert windgeschützt auf der Flügelspitze (r = 5 m) einer Windkraftanlage, die für eine Umdrehung s braucht. Mit welcher Kraft muss sich der Käfer mit seinen kleinen Käferbeinchen an dem Flügel festhalten, damit er darauf sitzen bleibt? ( ) π F z = m R ( ) π = N A. Der Wurfhammer beim Hammerwerfen der Frauen hat eine Masse von m = 4, 0 kg und ist 0 cm lang. Die Armlänge beträgt 70 cm. Vor dem Abwurf erreicht die Kugel des Hammers eine Geschwindigkeit von 5 m s. Welche Zentripetalkraft muss die Werferin auf die Kugel des Hammers ausüben? Vergleiche diesen Wert mit der Gewichtskraft, die die Sportlerin erfährt, wenn ihre Masse 65 kg betragt. F z = m v R = = 35.8 N F G = mg = = N. A3. Ein Hammerwerfer schwingt eine Eisenkugel der Masse 7 kg, die an einer, m langen Schnur hängt, mit der Geschwindigkeit v = m/s bei gestreckten Armen um seine eigene Achse (Armlänge 80 cm). Bestimme die hierfür benötigte Zentripetalkraft. Vergleiche dein Ergebnis mit der Antwort zu Aufgabe. F z = m v R = = 43.5 N

4 PD Dr. N.Grinberg - Physik, Kl.0, Zentripetalkraft 4 AB3 gleichförmige Kreisbewegung, Dynamik d: elastische Kraft / Haftreibungskraft als Zentripetalkraft A. Eine Kugel mit der Masse m = 00 g liegt auf einer rotierenden Scheibe. Sie wird durch einen Faden gehalten. Wie großmuss die Fadenkraft sein, wenn die Scheibe 30 Umdrehungen in der Minute macht und der Radius 5 cm misst? Die Reibung ist zu vernachlässigen. f = 30 = 0, 5 Hz min m = 0, kg, R = 0, 5 m Daraus folgt: F z = m (πf) R = 0. (π 0.5) 0.5 = 0.48 N. A. Ein Massenstück mit m = 0, kg wird auf einer Feder mit D = 0, 3 N cm waagerecht geschleudert. Die Kreisfrequenz beträgt f = Hz. Um viele cm verlängert sich die Feder, wenn ihre Länge ohne Belastung 30 cm ausmacht. Die Gewichtskraft ist zu vernachlässigen. m = 0, kg D = 30 N m f = Hz l 0 = 0, 3 kg Lösungsplan: In diesem Fall ist F z die elastische Kraft, diese wird durch F el = D l (Betrag) gegeben. Hier ist l die Verlängerung der Feder. Wir bezeichnen zwecks Abkürzung x = l. Es ist einerseits F el = Dx = 30x, andererseits gilt Gleichsetzen ergibt: R = l 0 + x F z = m (πf) R = 0. (π ) (0.3 + x). F z = F el 0. (π ) (0.3 + x) = 30x

5 PD Dr. N.Grinberg - Physik, Kl.0, Zentripetalkraft 5 Auflösen nach x : Allgemeine Lösung: x = 30x =.04x x = = cm..04 Dx = m (πf) (l 0 + x) Dx = m (πf) l 0 + m (πf) x ( D m (πf) ) x = m (πf) l 0 x = Daraus folgt insbesondere die Bedingung m (πf) D m (πf) l 0. D m (πf) > 0 f < D π m oder D ω < m, was auf die Grenzen des Modells ohne Gewichtskraft hinweist. A3. An einer Straßenkreuzung bewegen sich Autos in einem Kreis um einen Blumenbett mit dem Radius R = 0 m. Bei welcher Höchstgeschwindigkeit kriegen die Autos noch die Kurve beim guten Wetter (µ H = 0, 8)? R = 0 m µ H = 0, 8. Lösungsplan: In diesem Fall ist F z die Haftreibungskraft, diese wird durch F HR = µ H mg gegeben. Gleichsetzen von F Z und F HR, Kürzen von m und Auflösen nach v = v max ergibt: m v R = µ Hmg v max = µ H gr = = 8.94 m s = 3.09 km h. A4. Mit welcher Geschwindigkeit kann der Oststadtkreisel (R = 6, 3 m) a) bei trokener Fahrbahn (µ H = 0, 65) b) bei nasser Fahrbahn (µ H = 0, 40) höchstens durchfahren werden? Gib die Antworten in km h an. Lsg: a) v max = µ H gr = = 46.6 km h b) v max = µ H gr = = km h.