1. Bewegungsgleichung

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1 1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

2 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Die Erfahrung zeigt: Wenn die Kräfte, die an einem Körper angreifen, nicht im Gleichgewicht sind, ändert sich seine Geschwindigkeit. Beschleunigung und Kraft haben die gleiche Richtung. Der Betrag der Beschleunigung ist proportional zum Betrag der Kraft. F a Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

3 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 2. Newtonsches Gesetz: Zwischen der an einem Körper angreifenden Kraft F und seiner Beschleunigung a besteht der Zusammenhang F=m a Die Proportionalitätskonstante m wird als träge Masse des Körpers bezeichnet. Ein Punkt, der als Idealisierung für einen Körper mit träger Masse dient, heißt Massenpunkt. Ein Massenpunkt ist ein Punkt, dem eine träge Masse zugeordnet ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

4 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Bewegungsgleichungen: Wenn am Massenpunkt mehrere Kräfte angreifen, so ist die Resultierende zu bilden: F=m a In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: F x =m a x, F y =m a y, F z =m a z Diese Gleichungen werden als Bewegungsgleichungen bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

5 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Aus den Bewegungsgleichungen lässt sich die Bewegung des Massenpunkts bestimmen, wenn die Kräfte und die Anfangsbedingungen gegeben sind. Wenn die Bewegung gegeben ist, so lassen sich aus den Bewegungsgleichungen die benötigten Kräfte ermitteln. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

6 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Inertialsystem: Das Newtonsche Grundgesetz gilt nicht in beliebigen Bezugssystemen. Ein Bezugssystem, in dem das Grundgesetz gilt, wird als Inertialsystem bezeichnet. Bei technischen Anwendungen kann die Erde in der Regel als Inertialsystem angesehen werden. Jedes Bezugssystem, das sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

7 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Beispiel: Eine Kommode soll verschoben werden. Gegeben: Gewicht G der Kommode Haftungskoeffizient μ 0 = 0,25 und Reibungs koeffizient μ = 0,1 Winkel θ = 30 Gesucht: Beschleunigung, die auftritt, wenn die Haftung gerade überschritten wird θ Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

8 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Nötige Kraft: Damit sich die Kommode in Bewegung setzt, muss die Haftung überwunden werden. Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 : F cos(θ) H=0 F y =0 : F sin (θ) G +N =0 Bedingung für Gleiten: H >μ 0 N Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt: H=F cos(θ), N =F sin(θ)+g y θ x F G N H Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

9 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Einsetzen in die Bedingung für Gleiten ergibt: F cos (θ)>μ 0 ( F sin(θ)+g ) Daraus folgt für die Kraft: F (cos(θ) μ 0 sin(θ))>μ 0 G Für cos(θ) μ 0 sin(θ)>0 gilt: F > μ 0 G cos(θ) μ 0 sin(θ) Gleiten: Wenn die Kraft F die Bedingung für Gleiten erfüllt, tritt Gleiten auf. Statt der Haftungskraft wirkt die kleinere Gleitreibungskraft. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

10 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Bewegungsgleichungen: F x =m a x : F cos(θ) R=m a x F y =m a y : F sin (θ) G + N=0 Gleitreibungsgesetz: R=μ N F θ G y x Aus der Bewegungsgleichung in y-richtung folgt: N R N=F sin(θ)+g Einsetzen in das Gleitreibungsgesetz ergibt: R=μ N =μ (F sin(θ)+g ) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

11 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Einsetzen in die Bewegungsgleichung in x-richtung führt auf: F cos(θ) μ F sin(θ) μg F (cos (θ) μ sin(θ)) μ G a x = = m m > ( μ cos (θ) μsin (θ) 0 cos (θ) μ 0 sin (θ) μ ) G m = ( μ cos(θ) μ sin(θ) 0 cos(θ) μ 0 sin(θ) μ ) g Die Beschleunigung hängt nicht von der Masse der Kommode ab. Zahlenwert: Mit μ0 = 0,25, μ = 0,1 und θ = 30 ergibt sich: a x >[ cos (30 ) 0,1sin(30 ) 0,25 cos(30 ) 0,25sin(30 ) 0,1 ] g=0,1753 g=1,720 m /s2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

12 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Allgemeines Vorgehen: Freischneiden des betrachteten Systems Einführen eines geeigneten Koordinatensystems Aufstellen der Bewegungsgleichungen: Kraft-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten sind positiv, wenn die zugehörigen Vektoren in Richtung positiver Koordinatenachsen zeigen. Auflösen nach den gesuchten Größen Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

13 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Beispiel: Skifahrer Ein Skifahrer fährt auf einem Hang mit dem konstanten Neigungswinkel α. Gesucht: Endgeschwindigkeit ve Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v(t) Geschwindigkeit-Ort-Gesetz v(s) g α Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

14 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Kräfte am Skifahrer: Reibungskraft: Luftwiderstandskraft: R=μ N L= 1 2 c W ρ Av 2 (Luftwiderstandsbeiwert c W, Luftdichte ρ, Bezugsfläche A) y x R N α mg L Bewegungsgleichungen: F x =m a x : m g sin(α) L R=m a F y =0 : N m g cos(α)=0 N =m g cos(α) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

15 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Endgeschwindigkeit v E : Wenn die Endgeschwindigkeit erreicht wird, gilt a = 0. Dann lautet die Bewegungsgleichung in x-richtung: m g sin (α) L E R=0 2 Mit L E = 1 und folgt: 2 c ρ Av w E R=μ N =μ m g cos(α) m g (sin (α) μ cos (α) ) 1 2 c ρ Av 2 w E=0 v E= 2 m g c W ρ A ( sin (α) μ cos(α)) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

16 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Beschleunigung: Aus der Bewegungsgleichung in x-richtung folgt für die Beschleunigung: a(v)=g (sin (α) μ cos (α)) 1 2 c W ρ A m v2 = c W ρ A 2 m ( v E 2 v 2 ) Die Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit ab. Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und das Geschwindigkeit- Ort-Gesetz können mit den in Kapitel angegebenen Beziehungen ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

17 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: Für die Anfangsbedingung t0 = 0 und v 0 = 0 gilt: v t (v)= 0 d v a( v) = 2 m v c W ρ A 0 = 2 m c W ρ Av E artanh ( v v E ) Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt: c W ρ A v E t 2 m d v v 2 E v = 2 m [ 1 artanh ( v=v v 2 c W ρ A v E v E )] v=0 =artanh ( v ) v v(t )=v ( E tanh c W ρ A v E t ) E 2 m Die Geschwindigkeit strebt asymptotisch gegen die Endgeschwindigkeit v E. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

18 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Geschwindigkeit-Ort-Gesetz: Für die Anfangsbedingungen s0 = 0 und v 0 = 0 gilt: v s (v)= 0 v d v a( v) = 2 m v c W ρ A 0 v d v v 2 E v = m 2 c W ρ A [ ln (v 2 E v 2 v=v ) ] v=0 = m ( ln (v 2 c W ρ A E v 2 ) ln (v E2 ))= m c W ρ A ln ( v 2 E v 2 ) 2 v E = m c W ρ A ln ( 1 ( v v E )2) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

19 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt: c W ρ A m s=ln ( 1 ( v )2 ) v E exp( c W ρ A m s ) =1 ( v )2 v E v(s)=v E 1 exp ( c W ρ A m s ) Die Geschwindigkeit strebt asymptotisch gegen die Endgeschwindigkeit v E. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

20 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Zahlenbeispiel: m = 75 kg μ = 0,1 cw A = 0,15 m 2 ρ = 1,25 kg/m 3 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

21 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

22 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Die d'alembertsche Trägheitskraft: Das Newtonsche Grundgesetz kann auch in der Form geschrieben werden. Die Kraft F m a=0 F T = m a wird als d'alembertsche Trägheitskraft bezeichnet. Die d'alembertsche Trägheitskraft ist eine Scheinkraft, die entgegen der Beschleunigung gerichtet ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

23 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Dynamisches Gleichgewicht: Durch das Einführen der Trägheitskraft lässt sich das Newtonsche Grundgesetz formal auf eine Gleichgewichtsbedingung zurückführen: F F T =0 Dieses Gleichgewicht wird als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

24 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Vorgehen: Der zu untersuchende Körper wird freigeschnitten. Neben den äußeren Kräften werden zusätzlich die d'alembertschen Trägheitskräfte eingetragen. Die Bewegungsgleichungen folgen dann wie in der Statik aus der Bedingung, dass die Summe aller Kräfte null sein muss. Der Lösungsweg mit Hilfe des dynamischen Gleichgewichts ist besonders günstig, wenn die Beschleunigungen bekannt sind. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

25 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Beispiel: Kommode Freischneiden der Kommode: θ F y ma x G R Dynamisches Gleichgewicht: F x D =0 : F cos(θ) R m a x =0 F y D =0 : F sin(θ) G+ N =0 x N Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

26 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Beispiel: Kreisbewegung Damit sich ein Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt, muss an ihm eine auf den Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft angreifen. Sie ist im dynamischen Gleichgewicht mit der Trägheitskraft der Zentripetalbeschleunigung, die als Zentrifugalkraft oder Fliehkraft bezeichnet wird. Z F =Z P =m a n Z P ω m Z F Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

27 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Beispiel: Parabelflug Bewegt sich ein Massenpunkt auf einer Wurfparabel, dann ist die Gewichtskraft im Gleichgewicht mit der Trägheitskraft. Daher herrscht an Bord eines Flugzeugs, dessen Flugbahn einer Wurfparabel entspricht, Schwerelosigkeit. F T = mg mg Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

28 1.3 Geführte Bewegung Bei einer geführten Bewegung wird der Massenpunkt gezwungen, sich auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu bewegen. Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade des Massenpunktes eingeschränkt. Die Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Zahl der Koordinaten, die notwendig sind, um die Lage des Massenpunktes eindeutig zu beschreiben. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

29 1.3 Geführte Bewegung Fläche: 2 Freiheitsgrade Kurve: 1 Freiheitsgrad η s ξ P P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

30 1.3 Geführte Bewegung Neben den eingeprägten Kräften treten Zwangskräfte auf, die die geforderte Bindung an die Fläche oder Kurve bewirken. Die Zwangskräfte stehen senkrecht auf der Fläche oder Kurve. Die Zwangskräfte werden auch als Führungskräfte bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

31 1.3 Geführte Bewegung Beispiel: Achterbahn Gegeben: Masse des Wagens m s g Radius R Anfangsgeschwindig keit v(s=0) = v 0 ϕ R Gesucht: A ψ B Bahngeschwindigkeit v(s) Zwangskraft N(s) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

32 1.3 Geführte Bewegung Es wird nur die Bewegung auf dem Viertelkreis um A untersucht. Die Untersuchung der Bewegung auf dem Viertelkreis um B erfolgt genauso und bleibt zur Übung überlassen. Dynamisches Gleichgewicht am freigeschnittenen Wagen: F s D =0 : m a t +m g sin(ϕ)=0 ma t r F r D =0 : N +m a n m g cos(ϕ)=0 N ma n Kinematik: a n = v2 R ϕ ϕ mg s Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM A

33 1.3 Geführte Bewegung Bahngeschwindigkeit: Mit ϕ = s/r folgt aus dem dynamischen Gleichgewicht in tangentialer Richtung: Die Bahnbeschleunigung ist ortsabhängig. Daher gilt für die Bahngeschwindigkeit: v(s)= v 0 Das Integral berechnet sich zu a t (s )=g sin ( s R ) s s sin ( =[ s ) 0 R d s R cos ( s g sin ( s R ) d s s =s R =R( 1 cos ( s )) )] s =0 R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

34 1.3 Geführte Bewegung Damit gilt: v(s)= v 2 ( 0+2 R g 1 cos ( s )) R Zwangskraft: Mit der kinematischen Bedingung folgt aus dem dynamischen Gleichgewicht in radialer Richtung: [ N (s )=m g cos ( s ) R v 2 0 [ =m g 3cos ( s ) R v 2 0 R 2 g ( 1 cos ( s R ))] g R 2 ] Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

35 1.3 Geführte Bewegung Zahlenwerte: v 0 = 10 m/s R = 20 m Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

36 1.4 Massenpunktsysteme Ein Massenpunktsystem besteht aus einer endlichen Zahl von Massenpunkten, die über kinematische oder physikalische Bindungen miteinander in Verbindung stehen. Kinematische Bindungen sind geometrische Beziehungen zwischen den Koordinaten der Massenpunkte. Physikalische Bindungen beschreiben Zusammenhänge zwischen den Abständen der Massenpunkte und den Kräften. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

37 1.4 Massenpunktsysteme Vorgehen: Wahl der Freiheitsgrade Freischneiden der einzelnen Massenpunkte: Die Bindungskräfte treten als zusätzliche unbekannte Kräfte auf. Aufstellen der Bewegungsgleichungen für jeden Massenpunkt Berücksichtigung der Bindungsgleichungen Auflösen der Gleichungen nach den gesuchten Größen Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

38 1.4 Massenpunktsysteme Beispiel: Flaschenzug Aufgabenstellung: Die beiden Massenpunkte m1 und m 2 sind durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselose Rollen läuft. Wie groß sind die Beschleunigungen und die Seilkräfte, wenn das System sich selbst überlassen wird? m 1 g m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

39 1.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s1 und s 2 der beiden Massenpunkte werden ab der Ausgangslage positiv nach unten gemessen. Beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen werden Kräfte, die in Richtung der als positiv gewählten Koordinatenrichtung zeigen, positiv gezählt. m 1 s 2 m 2 s 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

40 1.4 Massenpunktsysteme Kräfte am freigeschnittenen System: Da die Rollen masselos sind, sind alle Seilkräfte gleich groß. S S S Bewegungsgleichungen: F s1 =m 1 a 1 : m 1 g 2 S=m 1 a 1 (1) F s2 =m 2 a 2 : m 2 g S=m 2 a 2 (2) m 1 g m 2 g s 2 s 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

41 1.4 Massenpunktsysteme Bindungsgleichung: Das dehnstarre Seil stellt eine kinematische Bindung zwischen den beiden Massenpunkten her. A D E Diese Bindung verlangt, dass sich die Länge des Seils nicht ändert. B C F In der Ruhelage gilt: L=L AB L BC L CD L DE L EF s 2 In der ausgelenkten Lage gilt: s 1 L=L AB s 1 L BC L CD s 1 L DE L EF s 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

42 1.4 Massenpunktsysteme Daraus folgt: Für die Beschleunigungen gilt: 2 s 1 s 2 =0 Mit den beiden Bewegungsgleichungen und der kinematischen Bindung stehen drei Gleichungen zur Verfügung, um die drei Unbekannten zu bestimmen. Auflösen nach den gesuchten Größen: a 2 = s 2 = 2 s 1 = 2 a 1 (3) (1) - 2 (2) (m 1 2 m 2 ) g=m 1 a 1 2 m 2 a 2 mit (3) (m 1 2 m 2 ) g=(m 1 +4 m 2 ) a 1 a 1 = m 1 2 m 2 m 1 +4 m 2 g, a 2 =2 2 m 2 m 1 m 1 +4 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

43 1.4 Massenpunktsysteme Für m 1 = 2m 2 ist das System im Gleichgewicht. Die Seilkraft kann aus Gleichung (2) bestimmt werden: S =m 2 (g a 2 )=m 2 m 1 +4 m 2 4 m 2 +2 m 1 m 1 +4 m 2 g= 3 m 1 m 2 m 1 +4 m 2 g Durch die kinematische Bindung wird die Anzahl der Freiheitsgrade von zwei Freiheitsgraden auf einen Freiheitsgrad reduziert. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

44 1.4 Massenpunktsysteme Beispiel: Feder-Masse-System Aufgabenstellung: Die Masse m1 hängt an einer masselosen Feder mit der Federkonstanten c 1. Die Masse m2 ist über eine masselose Feder mit der Federkonstanten c 2 mit der Masse m 1 verbunden. Gesucht sind die Beschleunigungen der Massenpunkte in Abhängigkeit von den Lagekoordinaten. c 1 m 1 c 2 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

45 1.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s1 und s 2 der beiden Massen werden ab der Ausgangslage positiv nach unten gemessen. In der Ausgangslage sind die Federn entspannt. c 1 m 1 s 1 c 2 m 2 s 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

46 1.4 Massenpunktsysteme Bewegungsgleichungen: F s1 =m 1 a 1 : m 1 g+f 2 F 1 =m 1 a 1 F 1 F s2 =m 2 a 2 : m 2 g F 2 =m 2 a 2 m 1 Bindungsgleichungen: Die Federn sind physikalische Bindungen. s 1 F 2 m 1 g F 2 Feder 1: F 1 =c 1 s 1 m 2 Feder 2: F 2 =c 2 (s 2 s 1 ) s 2 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

47 1.4 Massenpunktsysteme Auflösen: Einsetzen der physikalischen Bindungen in die Bewegungsgleichungen führt auf: m 1 s 1 = m 1 g (c 1 +c 2 ) s 1 + c 2 s 2 m 2 s 2 = m 2 g + c 2 s 1 c 2 s 2 Es handelt sich um ein System von zwei gekoppelten linearen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung. Für die Gleichgewichtslage gilt: (c 1 +c 2 ) s 1 c 2 s 2 = m 1 g c 2 s 1 + c 2 s 2 = m 2 g Durch die physikalischen Bindungen wird die Anzahl der Freiheitsgrade nicht verringert. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

48 1.5 Schwerpunktsatz Betrachtet wird ein Massenpunktsystem. Innere und äußere Kräfte: F i m i Die zum System gehörenden Massenpunkte werden durch eine gedachte Systemgrenze von Körpern außerhalb des Systems abgegrenzt. F i1 F 1i m 1 F 1 F i2 F 2i F 12 F 21 F 2 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

49 1.5 Schwerpunktsatz Äußere Kräfte: Äußere Kräfte haben ihre Ursache außerhalb des Systems: Eingeprägte Kräfte: Gewichtskraft Lagerkräfte Zwangskräfte Die aus den auf die Masse mit Index i wirkenden äußeren Kräften resultierende Kraft wird mit F i bezeichnet. Innere Kräfte: Innere Kräfte werden durch kinematische oder physikalische Bindungen verursacht. Sie werden durch Freischneiden sichtbar gemacht. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

50 1.5 Schwerpunktsatz Die innere Kraft, die der Massenpunkt j auf den Massenpunkt i ausübt, wird mit F ij bezeichnet. Wegen Actio = Reactio sind Fij und F ji entgegengesetzt gleich groß: F ij F ji =0 Bewegungsgleichungen für die Massenpunkte: Für jeden Massenpunkt i gilt: m i r i =F i j F ij Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte, die am Massenpunkt i angreifen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

51 1.5 Schwerpunktsatz Summation über alle Massenpunkte ergibt: m i r = i F i F ij i i i j Die Summe der äußeren Kräfte ergibt die resultierende äußere Kraft: F i =F i In der doppelten Summe über die inneren Kräfte gibt es zu jedem Summand F ij den entsprechenden Summanden F ji. Daher verschwindet die Summe über die inneren Kräfte, so dass gilt: m i r i =F i Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

52 1.5 Schwerpunktsatz Schwerpunkt: Der Ortsvektor r S des Schwerpunktes ist definiert durch r S = 1 m i m i r i Dabei ist m= m i die gesamte Masse des Systems. i Aus der Definition des Schwerpunktes folgt m r S = i Zweimaliges Ableiten nach der Zeit führt auf m r S = i m i r i m i r i Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

53 1.5 Schwerpunktsatz Damit ist gezeigt: m r S =F Der Der Schwerpunkt eines eines Systems Systems von von Massenpunkten bewegt bewegt sich sich so, so, als als ob ob die die gesamte gesamte Masse Masse in in ihm ihm vereinigt vereinigt wäre wäre und und alle alle äußeren äußeren Kräfte Kräfte an an ihm ihm angriffen. angriffen. Die Art der Bindungen spielt dabei keine Rolle: starre Bindungen Federn Gravitationskräfte zwischen den Massenpunkten Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

54 1.5 Schwerpunktsatz Beispiel: m H m L A Aufgabenstellung: Der LKW der Masse ml zieht einen Anhänger der Masse m H. Der LKW fährt mit der konstanten Beschleunigung a0 an. Wie groß ist die Kraft FA, die an den Antriebsrädern angreifen muss? Wie groß ist die Kraft FD in der Deichsel? Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

55 1.5 Schwerpunktsatz Zahlenwerte: ml = 20 t, m H = 15 t, a 0 = 2 m/s 2 Antriebskraft: m H m L x F A Schwerpunktsatz: Zahlenwert: F x=m a x : F A=(mH+mL ) a0 F A =( ) kg 2 m/s 2 =70 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

56 1.5 Schwerpunktsatz Deichselkraft: m H F D x Bewegungsgleichung für den Anhänger: F x =m a x : F D =m H a 0 Zahlenwert: F D =15000 kg 2 m/s 2 =30 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM