Technische Mechanik. Martin Mayr. Statik - Kinematik - Kinetik - Schwingungen - Festigkeitslehre ISBN Leseprobe

Transkript

1 Technische Mechanik Martin Mayr Statik - Kinematik - Kinetik - Schwingungen - Festigkeitslehre ISBN Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel

2 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche 1 Trägheitskraft 145 Die 3 NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft, Zentrifugal- und Zentripetalkraft Die NEWTONschen Grundgesetze (Axiome) von 1687 können als Grundlage der klassischen Mechanik gelten. Erstes Gesetz (Trägheitsgesetz): Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird seinen Zustand zu ändern. Zweites Gesetz (Bewegungsgesetz): Die Änderung der Bewegung ist der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach der jene Kraft wirkt. Drittes Gesetz (Wechselwirkungsgesetz): Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Das dritte Gesetz spielt bereits in der Statik eine wichtige Rolle: Lagerreaktionen, innere Kräfte am positiven und negativen Schnittufer. Das zweite Gesetz ist die eigentliche Grundlage der Kinetik und wird deshalb auch kinetische Grundgleichung genannt. Für konstante Masse lautet das Bewegungsgesetz F = m a, (8.1) Kraftgleich Masse mal Beschleunigung mit F Resultierende aller äußeren Kräfte m a konstante Masse Absolutbeschleunigung (muss für alle Körperpunkte gleich sein; das gilt für den Massenpunkt oder den translatorisch bewegten starren Körper) 1 JEAN LE ROND D ALEMBERT

3 146 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft Bild 8.1 Gleiten auf der schiefen Ebene, Beispiel 8.1 a) Anordnung b) äußere Kräfte auf den Körper Beispiel 8.1 Ein Frachtgut der Masse m =50kg gleitet auf einer Rutsche nach unten, Bild 8.1a. Die Gleitreibungszahl µ beträgt 0,4. Wie groß ist die Beschleunigung a? Lösung: Auf den Körper wirken als äußere Kräfte die Gewichtskraft F G, die Normalkraft F N von der Rutsche auf den Körper und die Reibungskraft F R, Bild 8.1b. Die resultierende äußere Kraft in Bewegungsrichtung beträgt F = F sin α F = F sin α F µ G R G N = F sin α F cos α µ = m g(sin α µ cos α). G G Wir setzen F in Gleichung (8.1) F = m a ein und erhalten m g(sinα µ cos α ) = m a. Hieraus ergibt sich die Beschleunigung zu a = g (sin α µ cos α) 1,5 m/s. * Nach D ALEMBERT fassen wir den Ausdruck m a im Bewegungsgesetz (8.1) als Hilfskraft auf und nennen sie Trägheitskraft F T = m a (8.) Damit ist (8.1) wieder auf die Gleichgewichtsbedingung der Statik bzw. F+ FT = 0 (8.3a) F m a = 0 (8.3b) Bild 8. Erfahrungen mit der Trägheitskraft zurückgeführt. Merke: Die Trägheitskraft wirkt immer der Beschleunigungsrichtung entgegen. Vielleicht erinnern Sie sich bei diesem Satz ans Schlittenfahren: Einer zieht plötzlich ruckartig am Schlitten. Die anderen sind darauf nicht gefasst und purzeln wegen der Trägheitskraft rückwärts herunter, Bild 8..

4 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft 147 Bei der Bewegung auf einer gekrümmten Bahn tritt zusätzlich die Normal- oder Zentripetalbeschleunigung auf. Die zugehörige Trägheitskraft nennen wir Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft): F m a F m a m v Z = n bzw. Z = n = = m r ω (8.4) r Der nach außen gerichteten Zentrifugalkraft hält die zum Drehpunkt gerichtete Zentripetalkraft das Gleichgewicht. Ein Beispiel hierfür ist das Herumschleudern der Kugel beim Hammerwerfen, Bild 8.3a. Auch bei der Kurvenfahrt und beim Fliehkraftregler, Bild 8.3b und c, treten Zentrifugalkräfte auf. Im folgenden Beispiel Freier Fall mit Luftwiderstand verwenden wir die Trägheitskraft bei der Berechnung der Beschleunigung. Beispiel 8. Ein Kletterer löst 150 m über Grund in einer überhängenden Wand einen kugelförmigen Stein aus. Nach wie viel Sekunden schlägt der Stein auf? Der Luftwiderstand ist zu berücksichtigen. Gegeben: Kugelradius R =0 mm Dichte des Steins ρ St =, kg/m 3 Widerstandszahl c W =0,47 Dichte der Luft ρ L =1,93 kg/m 3 Die Widerstandskraft berechnet sich nach der Formel ρ L FW = cw v A ( A : Querschnittsfläche der Kugel; v : Geschwindigkeit). Lösung: Nach Bild 8.4 wirkt die Gewichtskraft F G in Bewegungsrichtung (hier gleichzeitig Beschleunigungsrichtung), also nach unten, Widerstandskraft F W bzw. Trägheitskraft F T wirken der Bewegungs- bzw. Beschleunigungsrichtung entgegen: FT + FW F G = 0 ρ m a+ c v A m g = 1 L W 0 c ρ A m g W L a = g v Bild 8.3 Beispiele für das Auftreten einer Zentrifugalkraft a) Hammerwerfen b) Kurvenfahrt c) Fliehkraftregler mit Rückstellfeder

5 148 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft Wir setzen A =πr, m = ρ St ein und erhalten 4 3 πr 3 Bild 8.4 Kräfte bei freiem Fall mit Luftwiderstand 3 ρl cw v a = g 1 v = g 1 8 ρst R g c mit 3 8 ρst R g 8,7 10 0,0 9,81 m m c = = = 35 3 ρ c 3 1,93 0,47 s s L W. Wenn ν = c wird, ist die Beschleunigung null, der Stein fällt dann mit der konstanten Grenzgeschwindigkeit v max = c 48 m/s. Diese wird exakt erst nach unendlich langer, näherungsweise aber durchaus in endlicher Zeit erreicht. Das Weitere ist ein kinematisches Problem. Es liegt Fall 6 aus Tab..1 der kinematischen Grundaufgaben vor: Fallzeit v * d v t = av () 0 Die Integrationsgrenze (Aufprallgeschwindigkeit) v * erhalten wir wieder aus Fall 6 über * v* v d v c v c s= dv= dv= ln c v av () g c v g 0 0 ( ) v * 0 c * ln c s = v g c c v* v* = 1 = e c c gs/c gs/c 9,81 150/35 v* = c 1 e = 48 m/s 1 e 41 m/s.

6 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft 149 Zurück zur Fallzeit: v* v* dv c dv c c+ v t = = ln av g = g c v () 0 0 c v v * 0 c c+ v * 48 m/s (48+ 41) m/s t = ln = ln 6 s g c v * 9,81 m/s (48 41) m/s Übung 8.1 Im Fahrgeschäft Rotor, Bild 8.5, werden die Fahrgäste im Kreis herum geschleudert und dabei gegen die Wand gedrückt. Als Überraschungseffekt wird während der Fahrt der Boden nach unten weggefahren. Bild 8.5 Fahrgeschäft Rotor aus Übung 8.1 Gegeben: Drehzahl n =33 min 1 ; r =4m; Reibungszahl zwischen Haut und Kleidung bzw. zwischen Kleidung und gepolsterter Wand µ 0 =0,5. Wie groß ist der Sicherheitsfaktor S gegen Herunterrutschen? Übung 8. Ein Eisenbahnwagen ( m = kg) kommt am Beginn eines Ablaufberges mit v 0 =m/s angerollt, Bild 8.6. Dieser hat ein Gefälle von 1:30. Die Rollwiderstandskraft F W beträgt konstant 400 N. 1. Welche Beschleunigung a 1 hat der Wagen auf der Gefällstrecke? Welche Geschwindigkeit v 1 hat er im Punkt 1 und welche Zeit t 1 benötigt er für die Strecke s 1?. Welche Zeit t und welche Strecke s benötigt der Wagen zum Ausrollen auf dem anschließenden horizontalen Gleis? Hinweis: Rechnen Sie so, als ob die Masse m nur translatorisch bewegt würde. Bild 8.6 Eisenbahnwagen aus Übung 8. Übung 8.3 Auf einer Teststrecke fährt ein Fahrzeug in einer Kurve, Bild 8.7: horizontaler Kurvenradius r =10 m, Fahrbahnüberhöhung α =15, Haftreibungszahl µ o =0,6. Bei welcher Geschwindigkeit beginnt das Fahrzeug seitlich nach oben zu rutschen? Hinweis: Vereinfachend gehen wir von einer gleichen Belastung der vier Räder aus. Bild 8.7 Teststrecke aus Übung 8.3

7 150 8Die NEWTONschen Grundgesetze, D ALEMBERTsche Trägheitskraft Übung 8.4 Bild 8.8 zeigt das Fahrgeschäft Enterprise. Zum Einsteigen ist das Drehwerk 7 zur Horizontalen angestellt, während der Fahrt wird es durch einen Hydraulikzylinder langsam auf 85 gebracht. Der Schwerpunkt der besetzten Gondel ist 1 m von der Gondelachse entfernt. Die folgenden Fragen sind für die 85 -Stellung des Drehwerks zu beantworten. 1. Mit dem Wievielfachen seiner Gewichtskraft wird der Fahrgast jeweils am obersten und untersten Punkt in den Sitz gedrückt?. Reicht die Drehzahl 15 min 1 aus, um den Fahrgast, der sich in halber Höhe (d. h. in horizontaler Lage) befindet, auf dem glatten Sitz aus Kunststoff zu halten, oder muss er zusätzlich abgestützt werden ( µ o =0,1)? Hinweis: Zur Vereinfachung kann mit cos5 1 gerechnet werden. Bild 8.8 Enterprise aus Übung Drücken Sie das Bewegungsgesetz mit einfachen Worten aus.. Welchen Vorteil bringt die D ALEMBERTsche Trägheitskraft? 3. In welche Richtung zeigt die Trägheitskraft? 4. Wie bezeichnen wir die Trägheitskraft aus der Drehbewegung, und wie lautet die Formel? 5. Was ist die Zentripetalkraft?