4. Dynamik der Massenpunkte und starren Körper

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1 4. Dynamik der Massenpunkte und starren Körper Bisher: Die Ursache von Bewegungen blieb unberücksichtigt Im Folgenden: Es sollen die Ursachen von Wirkungen untersucht werden. Dynamik: Lehre von den Kräften 1

2 4.1 Der Kraftbegriff in der Physik Die Kraft ist die alleinige Ursache für die Änderung des Bewegungszustandes eines freien Körpers die Änderung der äußeren Form die Änderung der inneren Struktur eines festgehaltenen Körpers Auf einen Körper können auch mehrere Kräfte gleichzeitig wirken. Daher kann es vorkommen, dass ein Körper keine Veränderung erfährt, obwohl Kräfte auf ihn wirken. Die Kräfte befinden sich dann im Gleichgewicht. Die Kräfte sind eine Folge von 4 grundsätzlichen Arten von Wechselwirkungen zwischen den Bausteinen der Materie. Diese sind Gravitationswechselwirkung schwache Wechselwirkung elektromagnetische Wechselwirkung starke Wechselwirkung 2

3 4.1.1 Die Kraft als Vektor Verschiedene Kräfte unterscheiden sich durch 1. Ihren Betrag 2. Ihre Richtung 3. Ihren Angriffspunkt. Das ist der Punkt, in dem sie am Körper angreifen. - Kraft und Richtung kennzeichnen die Kraft als Vektor - Die Wirkungslinie der Kraft ist die Gerade, auf welchem der Kraftvektor liegt - Bei Betrachtung von Punktmassen ist die Unterscheidung nach ihrem Angriffspunkt überflüssig. 3

4 4.1.2 Die Zusammensetzung von Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt Greifen an einem Punkt mehrere Kräfte an, so ist die Resultierende Kraft nach den Regel der Vektoraddition zu berechnen. Betrachtet man 2 Kräfte, die an einem Körper angreifen, so gilt F F 1 F 2 Der Betrag der Resultierenden Kraft ist: F F F2 2F1 F2 cos ist der Winkel zwischen den beiden Kraftvektoren. Stehen diese senkrecht aufeinander, so gilt F 2 F 1 F 2 2 Zwei entgegengesetzt gerichtete gleich große Kräfte heben sich auf. 4

5 4.1.2 Die Zusammensetzung von Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt 5

6 4.1.2 Die Zusammensetzung von Kräften mit gemeinsamen Angriffspunkt Greifen in einem Punkt mehrere Kräfte an, so kann man die Vektoren zu einem Krafteck zusammenfügen und erhält als resultierende Kraft einen Vektor, der vom Anfang des ersten Vektors zur Pfeilspitze des letzten Vektors verläuft. 6

7 4.1.2 Zerlegung der Kräfte in Komponenten Eine auf einen Körper wirkende Kraft kann in mehrere Kräfte aufteilt werden. Beispiel: Ein senkrecht stehender Mast wird durch zwei Spannseile gehalten, von denen das waagerechte die Zugkraft F 1 = 2500 N ausübt. Mit welcher Kraft F 2 muss das schräge Seil gespannt sein, und wie groß ist die im Mast vertikal gerichtete Druckkraft F? Lösung: F 2 = 5000 N F = 4330 N 7

8 4.2 Die Newtonschen Axiome Die Newtonschen Axiome sind auch als Grundgesetze der Mechanik bekannt. 8

9 4.2.1 Das 1. Newtonsche Axiom Das Trägheitsgesetz Trägheitsgesetz (1. Newtonsches Axiom) Jeder Körper verharrt in Ruhe oder im Zustand der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt oder die Resultierende der angreifenden Kräfte gleich Null ist. Es gilt: v const. für F 0 Eine Schlussfolgerung des Trägheitsgesetzes ist: Ändert ein Körper seinen Bewegungszustand, bewegt er sich also beschleunigt oder verzögert, so ist hierfür stets die Kraft die Ursache 9

10 4.2.2 Das 2. Newtonsche Axiom Das Grundgesetz der Dynamik Mittels dem abgebildeten Experiment, kann man feststellen, dass die Beschleunigung die ein Körper erfährt direkt proportional der einwirkenden Kraft ist. F ~ a Lässt man im obigen Experiment die Zugkraft konstant, vergrößert jedoch die Masse des Wagens, so stellt man fest, dass die Beschleunigung außer von der Kraft noch von einer Eigenschaft des beschleunigten Körpers abhängig ist. Diese Eigenschaft wird durch den Proportionalitätsfaktor F/a bestimmt. 10

11 4.2.2 Das 2. Newtonsche Axiom Das Grundgesetz der Dynamik Es wird eine Größe m eingeführt, die man als Masse bezeichnet m F a m kg Die Masse kennzeichnet die Eigenschaft der Körper, sich der Änderung ihres Bewegungszustandes zu widersetzen. Ihre Größe ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers. Aus der obigen Beziehung ergibt sich das Grundgesetz der Mechanik, das 2. Newtonsche Axiom: Die Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung. F ma Einheit der Kraft oder vektoriell m s F ma F 1kg 1N ( Newton ) 2 11

12 4.2.2 Das 2. Newtonsche Axiom Das Grundgesetz der Dynamik / Beispiel Eine gegebene Kraft erzeugt bei Anwendung auf eine Standardmasse m 1 = 1 kg eine Beschleunigung von 5 m/s 2. Wenn die gleiche Kraft auf einen Karton mit der Masse m 2 wirkt, erfährt dieser eine Beschleunigung von 11 m/s 2. Beide gleiten auf einer glatten Oberfläche. a) Wie groß ist die Masse m 2? b) Wie groß ist die Kraft? Lösung: a) m 2 = 0,45 kg b) F = 5 N 12

13 4.2.3 Das 3. Newtonsche Axiom Das Wechselwirkungsgesetz Jede Kraft ist Ausdruck einer Wechselwirkung zwischen wenigsten zwei physikalischen Systemen (Körpern). 3. Newtonsches Axiom Das Wechselwirkungsprinzip Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräften (Wirkung und Gegenwirkung) sind gleich groß und einander entgegengesetzt gerichtet. actio = reactio (Wirkung = Gegenwirkung) Ist F 12 die vom Körper 1 auf Körper 2 ausgeübte Kraft und F 21 die vom Körper 2 auf Körper 1 ausgeübte Kraft, so gilt F F oder F F

14 4.3 Ausgewählte Kräfte Auf Körper greifen eine Reihe von Kräften an. Einige von ihnen sind: Gewichtskraft Gravitationskraft Federkraft Reibungskraft Zwangskraft Radialkraft Trägheitskraft 14

15 4.3.1 Die Gewichtskraft Die Gewichtskraft F G ist die Kraft, mit der ein im Schwerefeld der Erde an einem Faden aufgehängter Körper den Faden spannt. F G mg Die Erdbeschleunigung g hat in unseren Breiten einen Wert von 9,81 m/s 2. An den Polen ist g um etwa 0,25% größer und am Äquator um ca. 0,25% kleiner als in unseren Breiten. 15

16 4.3.1 Die Gewichtskraft - Aufgabe Gegeben ist die obige Abbildung. Die Massen seien m 1 = 4,0 kg m 2 = 6,0 kg Lösung: a) a = 3,9 ms -2 b) F = 23,5 N a) Welchen Betrag die die Beschleunigung der Körper? b) Wie groß ist der Betrag vom Seil übertragenden Kraft? 16

17 4.3.2 Die Dichte Die Dichte r eines Stoffes ist der Quotient aus Masse und dem von der Masse eingenommenen Volumen r m V g m r 3 17

18 4.3.3 Die Radialkraft Um einen Körper auf einer Kreisbahn vom Radius r zu halten ist die Radialbeschleunigung erforderlich. Ihr entspricht nach dem Grundgesetz der Dynamik eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Radialkraft. F r ma r 2 m r Betrag F r ma r 2 m r mv r 2 18

19 4.3.4 Die Gravitationskraft Die Gravitationskraft ist die Kraft der gegenseitigen Anziehung zwischen allen Körpern mit Masse. Newtonsches Gravitationsgesetz Die zwischen zwei Massen bestehende Anziehungskraft ist den beiden Massen direkt und dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional. F m m 1 r 2 - Gravitationskonstante 2 19

20 4.3.4 Die Gravitationskraft - Aufgabe Berechnen Sie den Betrag der Gravitationskraft a) zwischen 2 Ziegelsteinen (Masse jeweils 3,5 kg), deren Massenmittelpunkte den Abstand 1,0 m haben b) Zwischen einem derartigen Ziegelstein auf der Erdoberfläche und der Erde (Erdradius r E = km, m E = kg) Lösung: a) F G = 8, N b) F G = 34,5 N 21

21 4.3.5 Die Federkraft Eine Schraubenfeder kann durch eine geeignet angreifende Kraft verformt werden. Durch die Verformung entsteht in der Feder eine elastische Kraft, die diese Verformung rückgängig zu machen versucht. Diese Kraft wird Federkraft genannt. Sie ist proportional der Dehnung Dx = x x 0. F k Dx k( x x ) 0 k Federkonstante 22

22 4.3.5 Die Federkraft - Aufgabe An einer vertikal aufgehängten Schraubenfeder hängt ein Körper der Masse m = 2,4 kg, wodurch sich die Feder um 6,0 cm verlängert hat. a) Berechnen Sie die Federkonstante! b) Wie groß muss eine zusätzliche, nach unten gerichtet Kraft F ZU sein, um die Feder um weitere 2,5 cm zu verlängern? Lösung: a) k = 0,39 kn/m b) F zu = 9,8 N 23

23 4.3.6 Die Reibungskraft - Reibungsvorgänge treten in vielfältiger Form auf. - Es sind Wechselwirkungsvorgänge zwischen Körpern und anderen physikalischen Systemen, die sich relativ zueinander bewegen oder bewegen sollen. - Es entstehen Kräfte, die die Relativbewegung der sich reibenden Teile zu hemmen versuchen. 24

24 Haftreibung Ein Körper ruhe auf einer festen Unterlage. Er werde durch eine Normalkraft F N, die senkrecht auf den sich berührenden Flächen steht, gegen die Unterlage gepresst. Bleibt der Körper trotz einer parallel zur den Flächen angreifenden Zugkraft in Ruhe, so spricht man von Haftreibung Die Haftreibung kann einen bestimmten Höchstwert nicht überschreiben F HR,max F Haftreibungszahl 0 0 N Die Haftreibungszahl wird in Versuchen ermittelt. 25

25 Gleitreibung Gleitet oder rutscht ein fester Körper auf einen anderen, so wird diese Bewegung durch Gleitreibung behindert. Die auf einen Körper einwirkende Gleitreibungskraft ist stets seiner Geschwindigkeit entgegen gerichtet. F GR G F G N Gleitreibu ngszahl Die Gleitreibungszahl ist bei gleichen Materialien jeweils kleiner als die Haftreibungszahl. Die Gleitreibungszahl ist für kleine Geschwindigkeiten nahezu konstant; Für größere Geschwindigkeiten nimmt sie ab. 26

26 Gleitreibung - Aufgabe Beim Eisschießen werde ein Eisstock der Masse m = 5,3 kg mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 7,5 m/s auf die horizontale Eisfläche aufgesetzt. Die Gleitreibungszahl betrage G = 0,065. Welche Strecke legt der Eisstock bis zum Stillstand zurück? Lösung: s = 44 m 27

27 Rollreibung Die Rollreibung ist der Widerstand der auftritt, wenn ein runder Körper (Ball oder Reifen) auf einer flachen Oberfläche rollt. Sie wird hauptsächlich hervorgerufen durch die Verformung des Körpers und der Körperfläche oder von beiden. F R r F r N Rollreibun gszahl 28

28 4.4 Kraftstoß und Impuls Der Geschwindigkeitszuwachs eines Körpers hängt von der Größe der angreifenden Kraft und von der Zeitdauer ihrer Einwirkung ab. Der Kraftstoß ist das Produkt FDt. Der Kraftstoß berechnet sich aus dem Zeitintegral der Kraft. Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit: p mv dv d mv F m dt dt dp dt Die zeitliche Änderung des Impulsvektors ist der einwirkenden Kraft proportional und geschieht in der Richtung, in der jene Kraft angreift. 30

29 4.5 Die schiefe Ebene Die ursprüngliche Kraft, die auf den Körper wirkt ist die Gewichtskraft: F G mg Diese kann zerlegt werden, in die Hangabtriebskraft F H und in die Normalkraft F N F F H N mg sin mg cos 31

30 4.5 Die schiefe Ebene Haften auf der schiefen Ebene Ein Körper haftet (ruht) auf der schiefen Ebene, wenn die Hangabtriebskraft gleich der Haftreibungskraft ist. FH 0F N Gleiten auf der schiefen Ebene Ein Körper gleitet auf der schiefen Ebene, wenn die Hangabtriebskraft größer als die Gleitreibungskraft ist. Die Differenz beider Kräfte wird zur Beschleunigung des Körpers genutzt. 32

31 4.5 Die schiefe Ebene Aufgabe 1 Ein Körper soll bei gegebener Haftreibungszahl 0 auf einer geneigten Ebene ruhen. Wie groß darf der Neigungswinkel der Ebene höchstens sein? Lösung: arctan 0 33

32 4.5 Die schiefe Ebene Aufgabe 2 Mit welcher Beschleunigung rutscht ein Körper bei einer Gleitreibungszahl G eine geneigte Ebene hinab. Lösung: a x g sin G cos 34

33 4.5 Die schiefe Ebene Aufgabe 3 Auf einen Körper mit der Masse 100 kg, der auf einer geneigten Ebene liegt, die mit der Waagerechten den Winkel 40 bildet, wirkt eine Horizontalkraft von 1,5 kn. Zu bestimmen sind a) Die Kraft, die den Körper auf die Ebene drückt, b) Die Reibungskraft des Körpers auf der Ebene c) Die Beschleunigung, mit der der Körper angehoben wird. Die Reibungszahl ist = 0,1. Lösung: a) F Q = 1715 N b) F R = 171,5 N c) a = 3,4 m/s 2 35

34 4.6 Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen Bewegen sich zwei Bezugssysteme gegeneinander beschleunigt, so hat dies Konsequenzen für die Kräfte, die zur Beschreibung der jeweiligen Relativbewegung eines Körpers in den einem oder in dem anderen Bezugssystem benötigt werden. Es wird zwischen eingeprägten Kräften und Trägheitskräften unterschieden. Eingeprägte Kräfte sind Ausdruck der Wechselwirkung des Körpers mit anderen physikalischen Systemen (z.b. Gewichtskraft, Federkraft, Reibungskraft). Sie sind nicht vom Bezugssystem abhängig. Trägheitskräfte wirken auf Körper, die sich in einem beschleunigten Bezugssystem befinden. Sie sind der Beschleunigung des Bezugssystems entgegengesetzt gerichtet und können nur von einem mitbeschleunigten Beobachter wahrgenommen werden. 36

35 4.6.1 Trägheitskräfte in einem geradlinig beschleunigten Bezugssystem Betrachtung man die Abbildung, so gilt für die Ortskoordinaten einer Punktmasse m in beiden System: x x s, y y, z z Differenziert mal zweimal nach der Zeit t, so folgt: x x s, y y, z z Die Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen den Komponenten des Beschleunigungsvektors in beiden Bezugssystemen r r s In Bewegungsrichtung unterscheiden sich den Beschleunigungen in den Systemen S und S um den Betrag der Beschleunigung des Systems S. 37 s

36 4.6.1 Trägheitskräfte in einem geradlinig beschleunigten Bezugssystem r r s Die Gleichung umgestellt. Man erhält F F ms F F T wird mit m multipliziert und nach Auf die Punktmasse wirkt im beschleunigten System zusätzlich zu den eingeprägten Kräften, eine der Beschleunigung des Bezugssystems entgegengesetzt gerichtete Kraft, die Trägheitskraft F T ms ma r 38

37 4.6.2 Das D Alembertsche Prinzip Übertragung des statischen Kräftegleichgewichts auf die Dynmaik Es werden Treibende Kräfte Zwangskräf te Z und zusätzlich Trägheitsk räfte ma betrachtet. F gilt Es F Z ma 0 Das Prinzip von D Alembert besagt: Bei jeder Bewegung eines starren Körpers halten sich in jedem Augenblick die wirkenden Kräfte und die Trägheitskräfte das Gleichgewicht. 39

38 4.6.3 Trägheitskräfte in rotierenden Bezugssystemen Die Radialkraft oder auch Fliehkraft ist die Trägheitskraft in rotierenden Bezugssystemen F F Z als Für die dazugehörige Zentrifugalbeschleunigung gilt: Z 2 m r Betrag 2 m r a a Z als z mv r 2 2 r Betrag 2 r 40 v r 2

39 4.6.3 Trägheitskräfte in rotierenden Bezugssystemen Die Corioliskraft Bewegt sich in einem rotierenden Bezugssystem eine Punktmasse tritt zusätzlich eine Trägheitskraft auf, die Corioliskraft. Die Kraft steht senkrecht zur Richtung der Drehachse und senkrecht zur Geschwindigkeit der Punktmasse FC 2mv Winkel zwischen Drehachse F 2mv und Richtung der Geschwindigkeit sin C 41

40 4.6.4 Inertialsysteme Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen das Trägheitsgesetz gilt. In ihnen sind Körper bei Abwesenheit äußerer Kräfte in Ruhe oder bewegen sich gleichförmig und geradlinig. Beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen bleibt das mechanische Geschehen unverändert. 42