Kinetik des starren Körpers

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1 Technische Mechanik II Kinetik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010

2 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2. Kinematik des starren Körpers 3. Kinetik des Massenpunktes 4. Kinetik des starren Körpers Bewegungsgleichungen - Schwerpunktsatz - Drehimpulssatz - Trägheitstensor Arbeit und Energie Analogie zwischen Translation und Rotation 5. Besondere Bewegungsvorgänge Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/19

3 Bewegungsgleichungen 1/13 Modell des Mehrteilchensystems Starrer Körper System aus N Teilchen m i r 0 r i s i konstante Masse des i-ten Teilchens Ortsvektor des Schwerpunktes im Inertialsystem Ortsvektor des i-ten Teilchens im Inertialsystem Vektor vom Schwerpunkt zum i-ten Teilchen ( s i = const) Masse des Gesamtsystems: m = m i Position des Schwerpunkts: r 0 = 1 m m i r i Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/19

4 Bewegungsgleichungen 2/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) m i F ij Fji m j m i r i = F i + F ij = F ji j=1 F ij z r i r 0 F i 0 Schwerpunktsatz x y Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm angriffen: m r 0 = F i Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/19

5 Bewegungsgleichungen 3/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) r i = r 0 + s i m i s i = 0 m i ṡ i = 0 x z y r i r 0 m i s i 0 Die kinetische Energie eines N-Teilchensystems ist die Summe aus der kinetischen Energie der Schwerpunktbewegung und der kinetischen Energie der Relativbewegung der Teilchen um den Schwerpunkt: m i 2 v2 i = m 2 v2 0 + m i 2 ṡ2 i Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 5/19

6 Bewegungsgleichungen 4/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Drehimpuls Physikalische Größe zur Beschreibung der Richtung und Geschwindigkeit der Bewegung eines Massenpunktes um einen Referenzpunkt: L 0 = r mv Drehimpulssatz für den einzelnen Massenpunkt Die zeitliche Änderung des Drehimpulses entspricht dem Moment der an einem Massenpunkt angreifenden Kräfte bezüglich desselben Referenzpunktes: dl 0 = M = r F dt Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/19

7 Bewegungsgleichungen 5/13 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Drehimpulssatz für Mehrteilchensysteme Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines Mehrteilchensystems entspricht dem Moment der von außen einwirkenden Kräfte bezüglich desselben Referenzpunktes: dl 0 ges = M 0 dt r i m i r i = r i F i Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 7/19

8 Bewegungsgleichungen 6/13 Starrer Körper im Raum 0 Körperschwerpunkt v P P ω r P = r 0 + s P s P v 0 v P = v 0 + ω s P L 0 = s ṡ dm L 0 = m m s (ω s)dm x z y r P r 0 0 Drehimpuls des starren Körpers ( ) L 0 = s 2 ω (s T ω)s dm = Θ 0 ω m Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/19

9 Bewegungsgleichungen 7/13 Trägheitstensor (y 2 + z 2 )dm xy dm xz dm Θ 0 = yx dm (x 2 + z 2 )dm yz dm zxdm zy dm (x 2 + y 2 )dm Massenträgheitssmomente: Θ xx, Θ yy, Θ zz (Maß für die Drehträgheit eines Körpers) Deviationsmomente: Θ xy = Θ yx, Θ xz = Θ zx, Θ yz = Θ zy (Maß für das Bestreben eines Körpers, seine Drehachse zu verändern) Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/19

10 Bewegungsgleichungen 8/13 Trägheitstensor (Forts.) Trägheitsmatrix bzgl. der Hauptträgheitsachsen Θ Haupträgheitsmomente: Θ = 0 Θ 2 0 Θ 1, Θ 2, Θ Θ 3 Eigenschaften von Hauptträgheitsachsen In den Hauptträgheitsachsen ist eines der Trägheitsmomente Θ i, i = 1, 2, 3, maximal bzw. minimal gegenüber allen anderen Koordinatenrichtungen. In den Hauptträgheitsachsen verschwinden die Deviationsmomente Θ xy = Θ yx, Θ xz = Θ zx, Θ yz = Θ zy. Die Hauptträgheitsachsen e i, i = 1, 2, 3, sind normal zueinander. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/19

11 Bewegungsgleichungen 9/13 Trägheitstensor (Forts.) Regeln zum Auffinden von Hauptträgheitsachsen Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist diese eine Hauptträgheitsachse. Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptträgheitsachse. Besitzt ein Körper zwei zueinander orthogonale Symmetrieebenen, so ist die Schnittgerade der beiden Symmetriebenen eine Hauptträgheitsachse. Dazu orthogonale Achsen in jeweils eine der beiden Symmetrieebenen sind ebenfalls Hauptträgheitsachsen. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/19

12 Bewegungsgleichungen 10/13 Trägheitstensor (Forts.) Parallelverschiebung der Koordinatenachsen Satz von Steiner Θ A xx Θ A yy Θ A zz = Θ 0 xx + m ( y0a 2 + ) z2 0A = Θ 0 yy + m ( x 2 0A + ) z2 0A = Θ 0 zz + m ( x 2 0A + ) y2 0A Θ A xy Θ A xz Θ A yz = Θ 0 xy mx 0A y 0A = Θ 0 xz mx 0A z 0A = Θ 0 yz my 0A z 0A Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/19

13 Bewegungsgleichungen 11/13 Trägheitstensor (Forts.) Verdrehung der Koordinatenachsen Verdrehung um die z-achse Θ xx = Θ 0 xx cos 2 φ + 2Θ 0 xy sin φcos φ + Θ 0 yy sin 2 φ Θ yy = Θ 0 xx sin 2 φ 2Θ 0 xy sinφcos φ + Θ 0 yy cos 2 φ Θ zz = Θ 0 zz Θ xy = Θ 0 xx cos φsinφ + Θ 0 ( xy cos 2 φ sin 2 φ ) + Θ 0 yy cos φsinφ Θ xz = Θ 0 xz cos φ + Θ 0 yz sin φ Θ yz = Θ 0 yz cos φ Θ 0 xz sin φ Verdrehung um die x- bzw. y-achse erfolgt auf analoge Weise Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/19

14 Bewegungsgleichungen 12/13 Starrer Körper in der Ebene Massenträgheitsmoment: Θ 0 = m s 2 dm Satz von Steiner Θ A = Θ 0 + ma 2 a Abstand zwischen dem Schwerpunkt 0 und dem Bezugspunkt A Drehimpuls: L = Θ ϕ Drehimpulssatz für die ebene Bewegung Θ ϕ = M Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/19

15 Bewegungsgleichungen 13/13 Starrer Körper in der Ebene (Forts.) Trägheitsradius Entfernung eines als Punktmasse gedachten Ersatzkörpers von der Drehachse A, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment Θ A hat wie ein originales, ausgedehntes Bauteil mit der Gesamtmasse m: Θ A k = m Reduzierte Masse Masse eines im vorgegebenen Abstand r von der Drehachse A angebrachten punkt- oder ringförmigen Ersatzkörpers, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment Θ A hat wie das originale Bauteil: m red = ΘA r 2 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/19

16 Arbeit und Energie 1/3 Modell des Mehrteilchensystems Arbeitssatz für Mehrteilchensysteme Die Summe der Arbeiten aller äußeren und aller inneren Kräfte entspricht der Änderung der gesamten kinetischen Energie des Systems: W 01 = W a 01 + W i 01 = T 1 T 0 Arbeit der äußeren Kräfte: W a 01 = Arbeit der inneren Kräfte: W i 01 = r i1 r i0 r i0 F T i dr i r i1 j=1 F ij T dr i Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 16/19

17 Arbeit und Energie 2/3 Modell des Mehrteilchensystems (Forts.) Starre Bindung: F T ijdr i = 0 j=1 W i 01 = 0 Arbeitssatz für Systeme mit starren Bindungen Die Summe der Arbeiten der äußeren Kräfte entspricht der Änderung der gesamten kinetischen Energie des Systems: W 01 = W a 01 = T 1 T 0 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/19

18 Arbeit und Energie 3/3 Starrer Körper im Raum 0 Körperschwerpunkt v P P ω r P = r 0 + s P s P v 0 v P = v 0 + ω s P T = 1 v 2 dm 2 m x z y r P r 0 0 Kinetische Energie des starren Körpers T = T trans + T rot = 1 2 mv ωt Θ 0 ω Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/19

19 Analogie zwischen Translation und Rotation Gegenüberstellung Translation s Weg v = ṡ Geschwindigkeit a = v = s Beschleunigung m Masse F Kraft p = mv Impuls ma = F Kräftebilanz T = 1 2 mv2 Kinetische Energie W = Fds Arbeit P = Fv Leistung Rotation um raumfeste Achse ϕ Winkel ω = ϕ Winkelgeschwindigkeit α = ω = ϕ Winkelbeschleunigung Θ Massenträgheitsmoment M Moment L = Θω Drehimpuls Θω = M Momentenbilanz T = 1 2 Θω2 W = Mdϕ P = Mω Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 19/19